2011年合工大《矩阵理论》考试范围与重要习题.pdf

2011 年合工大 矩阵理论 考试范围与重要习题年合工大 矩阵理论 考试范围与重要习题 1 两个子空间的直和 两个子空间的直和 例 设 1 V和 2 V分别是齐次方程组 12 0 n xxx 和 12 n xxx 的解空间 证 明错误 未找到引用源 错误 未找到引用源 12 VVV 证明 因方程组 12 0 n xxx 和 12 n xxx 只有零解 故 12 0VV 从而 21 VV 21 VV 且 21 VV 是错误 未找到引用源 错误 未找到引用源 的子空间 即 21 VV 错误 错误 未找到引用源 未找到引用源 又 1 V的维数是 n 1 2 V的维数是 1 故 21 VV 的维数是 n 维 所以 12 VVV 注 任给一个V的子空间 1 V 可以找到子空间 2 V使得 12 VVV 此式称为 V 的一个直和分解 1 V 2 V称为互补空间 2 线性空间中线性变换的象空间与核线性空间中线性变换的象空间与核 例题 1 证明 线性空间 V 的线性变换 T 的象空间和核都是 V 的子空间 证明 V V 0k e r k e r k e r 0 0 0 k e r k e r k e r V T V x yVP xyVxV TxTyT xyT V TxTxT V T V TT x yTPTxTy T xyTxTyxyT TxTxxT T 因为 非空 所以非空 故是是 的线性子空间因为所以非空 因为所以非空 则 于是故 故 因此是 的线性子空间 例题 2 线性空间 V 中的线性变化 T 的象空间和核的维数之和等于 V 的维数 dim T V dim ker T dim V 证明 设 dim V n dim ker T s 只需证明 dim T V n s 即可 取 ker T 的一组基12s x xx再添加 n s 个向量 将这组向量扩充为 V 的一组基12s122 sssx xx yyy 112211nn 112211nn 11nn 111 s sss ssss ss sss x V xxxxyy TxTxTxTxTyTy TyTy T VSpan TyTyTy 对 则 现在只需证明12 ssnTyTyTy 线性无关 设1122 0ssssnnkTykTyk Ty 则 1122 0ssssnnT kykyk y 故1122 ker ssssnnkTykTyk TyT 于是1122 ssssn nkykyk y 可由 12 s x xx线性表示 即11221122 ssssnnsskykyk yl xl xlx 故有11221122 0ssssssnnl xl xl xkykyk y 因121 ssnx xx yy 是 V 的一组基 所以121 0snllkk 因此12 ssnTyTyTy 线性无关 3 过渡矩阵 过渡矩阵 线性变换在给定基下的矩阵线性变换在给定基下的矩阵 例题 已知 3 中的线性变换 T 在基 T TT 0 1 1 1 0 1 1 1 1 321 下的矩阵是 121 011 101 求 T 在基 TTT eee 1 0 0 0 1 0 0 0 1 321 下的矩阵 解 设基 123 到 123 e e e的过度矩阵为 Q 则 123123 e e eQ 即 100110 010101 001111 Q 所以 1 110111 101011 111101 Q 所以 T 在基 123 e e e下的矩阵 B 为 1 101 110 121 BQQ 110101111 101110011 111121101 112 220 302 4 定理 定理 内积空间中必存在标准正交基 施密特正交化 内积空间中必存在标准正交基 施密特正交化 例 设 12345 e e e e e是 5 中的一组标准正交基 123 VSpan 其中 11521243123 2eeeeeeee 求 V 的一组标准正交基 解 设 112233 0kkk 即有 12312323 32 41 5 20kkkekkek ek ek e 因为 12345 e e e e e线性无关 故 123 0kkk 因此 123 线性无关 所以 123 是 V 的一组基 现将其化为标准正交基 首先将其正交化 取 213132 11152213312 111122 ee 12415 212415 1515 111 124151245222 eee ee eeeee ee ee eeeeeeeee 11 12312451231522 312315 1111 1515124512452222 2 123152 1235 2 2 2 2 eeeeeeeeee ee eeeee ee eeeeeeeeee eeeee eeee 再将其单位化 111 115 2 1 11 221 21245 10 2 22 331 312352 3 33 22 ee eeee eeee 5 正交矩阵与酉矩阵的性质与判定 正交矩阵与酉矩阵的性质与判定 例 1 设 是 n 维欧氏空间 V 中的单位向量 定义 V 中的变换 T 为 2 Txxx 证明 T 为正交变换 证明 x yV 2 2 2 2 2 2 2 T xyxyxy xyxy xxyyT xT y Txxx xxxxT x 故 T 是 V 的线性变换 2 2 222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 xV TxTx Txxxxx x xxxxxxx x xx xxxx x xxxx x xx 故 22 Txx 所以 T 是正交变换 例 2 证明 n 阶的方阵 A 为酉矩阵的充要条件是对任何 n x 都有Axx 证明 必要性 注 酉矩阵 HH A AAAE 若 A 是酉矩阵 则对 2 nH xAxAx AxAxAx 有 22 HHHHHH Axx AAxxA A xx Exx xx xx 则Axx 充分性 取 n 中的一组标准正交基 12 1 0 0 0 1 0 0 0 1 TTT n eee 则存在唯一的线性变换 T 使得 T 在基 12 n e ee下的矩阵是 A 即 1212 nn T e eee ee A 证明 T 是正交变换 12 1212 nT n nn xxx xx T e ee xe eeAx TxAx AxxTxx 又故 因此 T 是正交变换 从而 A 是酉矩阵 6 矩阵 矩阵 A 的约当标准形 初等因子和不变因子 的约当标准形 初等因子和不变因子 例题 求矩阵 211 212 112 A都的约当标准形 不变因子 初等因子 解 2 1 2 2 2 2 2 1 00 010 001 3410 2210 001 3410 2210 211 112 212 211 211 212 112 32323 13121312 31 cccrr ccccrrrr rr AE 故 A 的不变因子是 1 1 2 1 初等因子是1 21 因1 对应的约当块 1 21 对应的约当块 10 11 故 A 的约当标准形为 100 110 001 J或 100 010 011 J 求约当标准形的步骤 写出 A 的特征矩阵AE 求出AE 的全部初等因子 写出每个初等因子对应的约当块 写出约当标准形 7 凯莱 凯莱 哈密顿定理哈密顿定理 例题 设 52 11 A 证明 EAAAAB36291922 234 为可逆矩阵并将 1 B表示为 A 的多项式 证明 A 的特征多项式为 76 52 11 2 AEf 由凯莱 哈密顿定理得 2 43222 4322 2 22 2 1 670 0 21219293625671 21 21219293625 26 140 670 6 78140 814 fAAAEfEAfA BAAAAEAfAAEAE BB ABEfAAAE BEBEEBBE BBE 则 因 故 因为所以 可逆 将代入中 得 14 1 11 1414 8 8 7 B BEE BBEAE 故 8 线性空间的范数 线性空间的范数 没有例子就把定义搬上了 定义 设 V 是数域 P 上的线性空间 如果对 V 中的任意向量 V 都有一个非负实 数与之对应 记为x且满足下列的性质 1 正定性 0 0 xx 当时 2 齐次性 Pxx 对 3 三角不等式 x yVxyxy 称为x的x范数并称定义了范数的线性空间为赋范空间 其他重要例题 例题 1 设 12 n x xx是数域 P 上的线性空间 V 的一组向量 则由他们的所有线性组合构 成的集合 1 122 1 2 nni SxxxP in 是 V 的子空间 证明 显然 S 非空 P 1122nn kkkSxxx 1122nn lllSxxx 111222n nnklklklSxxx iiklP 1122n nkkkSxxx 故 S 是 V 的子空间称 S 为由12n x xx生成的子空间 记作 12n SSpanx xx 12n SSpanx xx 12n x xx的一个最大线性无关组就是 12n Spanx xx的一组基 12n Spanx xx的维数 秩12n x xx 例题 2 在 n 维的向量空间 n 中 对向量 1212 TT nn xy 定义 1212 H nn x yy x 其中 H y表示 y 的共