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向量空间证明(精选多篇) 向量空间证明 解题的基本方法： 1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中 2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位; 3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标; 4)求解给定问题 证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。 证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可 只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法 2 解： 因为x+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z (x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z y,z为任意实数 则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2) 步骤1 记向量i，使i垂直于ac于c，abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c a+b+c=0 则i(a+b+c) =ia+ib+ic =acos(180-(c-90)+b0+ccos(90-a) =-asinc+csina=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2. 在锐角abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作chab垂足为点h ch=asinb ch=bsina asinb=bsina 得到a/sina=b/sinb 同理，在abc中， b/sinb=c/sinc 步骤3. 证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r： 任意三角形abc,作abc的外接圆o. 作直径bd交o于d.连接da. 因为直径所对的圆周角是直角,所以dab=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以d等于c. 所以c/sinc=c/sind=bd=2r 类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助! 2 设向量ab=a,向量ac=b，向量am=c向量bm=d,延长am到d使am=dm，连接bd,cd,则abcd为平行四边形 则向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c 平方(1) 向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d 平方(2) (1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方 c平方=1/2(a+b)-d平方 am2=1/2(ab2+ac2)-bm2 3 已知ef是梯形abcd的中位线，且ad/bc，用向量法证明梯形的中位线定理 过a做agdc交ef于p点 由三角形中位线定理有： 向量ep=?向量bg 又adpfgc且agdc向量pf=向量ad=向量gc(平行四边形性质) 向量pf=?(向量ad+向量gc) 向量ep+向量pf=?(向量bg+向量ad+向量gc) 向量ef=?(向量ad+向量bc) efadbc且ef=(ad+bc) 得证 4 先假设两条中线ad,be交与p点 连接cp,取ab中点f连接pf pa+pc=2pe=bp pb+pc=2pd=ap pa+pb=2pf 三式相加 2pa+2pb+2pc=bp+ap+2pf 3pa+3pb+2pc=2pf 6pf+2pc=2pf pc=-2pf 所以pc,pf共线，pf就是中线 所以abc的三条中线交于一点p 连接od,oe,of oa+ob=2of oc+ob=2od oc+oc=2oe 三式相加 oa+ob+oc=od+oe+of od=op+pd oe=op+pe of=op+pf oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op+1/2ap+1/2bp+1/2cp 由第一问结论 2pa+2pb+2pc=bp+ap+cp 2pa+2pb+2pc=0 1/2ap+1/2bp+1/2cp 所以oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op 向量op=1/3(向量oa+向量ob+oc向量) 4.2 直线的方向向量、平面的法向量及其应用 一、直线的方向向量及其应用 1、直线的方向向量 直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个 2、直线方向向量的应用 利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面 ?（1）若有直线l, 点a是直线l上一点，向量a是l的方向向量，在直线l ?上取ab?a，则对于直线l上任意一点p，一定存在实数t，使得ap?tab，这 ?样，点a和向量a不仅可以确定l的位置，还可具体表示出l上的任意点 （2）空间中平面的位置可以由上两条相交直线确定，若设这两条直线 ?交于点o,它们的方向向量分别是a和b，p为平面上任意一点，由平面向量基 ?本定理可知，存在有序实数对（x，y），使得op?xa?yb，这样，点o与方向 ?向量a、b不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出上的任意点 1若a(1,0,1)，b(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为() a(1,2,3)b(1,3,2) c(2,1,3)d(3,2,1) 2. 从点a(2，1,7)沿向量a(8,9，12)的方向取线段长ab34，则b点的坐标为() a(9，7,7)b(18,17，17) c(9,7，7)d(14，19,31) 二、平面的法向量 1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量 ?2、在空间中，给定一个点a和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点 a的平面是唯一确定的 三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用 ? 1、若两直线l1、l2的方向向量分别是u1、u2，则有l1/ l2?u1/u2，l1l2?u1? u2 ? 2、若两平面、的法向量分别是v1、v2，则有/?v1/v2，?v1? v2 ?若直线l的方向向量是u，平面的法向量是v，则有l/?uv，l ?u/v b分别是直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系。1. 设a、 ? ? （1）a=（2，3，1），b=（6，9，3）； （2）a=（5，0，2），b=（0，4，0）； （3）a=（2，1，4），b=（6，3，3） ? ? ? ? ? 四、平面法向量的求法 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： ? 1、设出平面的法向量为n?(x,y,z) ? 2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a?(a1,b1,c1),b?(a2,b2,c2) ?n?a?0?n?b?0 3、根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组? 4、解方程组，取其中一个解，即得法向量 v分别是平面、的法向量，根据下列条件判断、的位置关系： 1. 设u、 ? ? ? （1）u=（1，1，2），v=（3，2， ? ? ? 2）； （2）u=（0，3，0），v=（0，5，0）； （3）u=（2，3，4），v=（4，2，1）。 ? ? 2. 已知点a（3，0，0），b（0，4，0），c（0，0，5），求平面abc的一个单位法向量。 ? 3. 若直线l的方向向量是a=（1，2，2），平面的法向量是n=（1，3，0）， 试求直线l与平面所成角的余弦值。 4若n(2，3,1)是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面的一个法向量的是() a(0，3,1)b(2,0,1) c(2，3,1)d(2,3，1) 5已知平面上的两个向量a(2,3,1)，b(5,6,4)，则平面的一个法向量为() a(1，1,1)b(2，1,1) c(2,1,1)d(1,1，1) 五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系 （一）用向量方法证明空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行1、线线平行 设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，且a2b2c20，则 lm?_?_. 1在正方体abcda1b1c1d1中，p为正方形a1b1c1d1四边上的动点，o为底面正方形abcd的中心，m，n分别为ab，bc的中点，点q为平面abcd内 ? 一点，线段d1q与op互相平分，则满足mqmn的实数的值有() a0个c2个 b1个 d3个 2、线面平行 设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面的法向量为u(a2，b2，c2)，则 l?_?1? 1已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为?1，2，2?，且l， ? 则m_. (更多好文章请关注)2已知线段ab的两端点的坐标为a(9，3,4)，b(9,2,1)，则与线段ab平行的坐标平面是() axoybxoz cyozdxoy或yoz 3如图所示，在空间图形pabcd中，pc平面abcd，pc2，在四边形abcd中，cdab，abcbcd90，ab4，cd1，点m在pb上，且pb4pm，pbc30，求证：cm平面pad . 4. 如图，在底面是菱形的四棱锥pabcd中，abc60，pa平面abcd，paaca，点e在pd上，且peed21.在棱pc上是否存在一点f，使bf平面aec？证明你的结论 5. 如图, 在直三棱柱abca1b1c1中，ac3，bc4，aa14，点d是ab的中点，（i）求证：acbc1；（ii）求证：ac 1/平面cdb1； 3、面面平行(3)面面平行 设平面，的法向量分别为u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，则? abc?_?_abc (a2b2c20)_. 222 1如图，在平行六面体abcda1b1c1d1中，m、p、q分别为棱ab、cd、bc的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 a1md1p； a1mb1q； a1m面d1d1； a1m面d1pqb1. 以上结论中正确的是_(填写正确的序号 ) 2. 如图所示，在正方体abcd?a1b1c1d1中，m、n分别是c1c、b1c1的中点。 求证：（1）mn/平面a1bd；（2）平面a1bd/平面b1d1c。 第二节用空间向量证明线线垂直与线面垂直 一、空间向量及其数量积 1、 在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。用ab或a表示，其中向量的大小称为向量的长度或 或a。正如平面向量可用坐标(x,y.)表示，空间向量也可用坐标(x,y,z)表示。若已知点a坐标为（x1，y1，z1）,点b坐标为（x2，y2，z2） 则向量ab=（x2 -x1，y2- y1，z2 -z1）即是终点坐标减起点坐标。 222在空间，知道向量=（x，y，z x?y?z ?2、 空间向量数量积 已知两个非零向量a、b，在空间任取一点o，作oa=a，ob=b，则角aob叫向量a与b的夹角，记作a，b规定，若0a，b?，若a，b= 。 已知空间两个向量a、b cosa，b叫向量a、b的数量积，记作a?b cos，若?a? 若已知空间向量a（x1，y1，z1），b（x2，y2，z2） 则a?bx1x2+y1y2+z1z2 ， cosa， ?，称a与b垂直，记作a2? ?x1x2?y1y2?z1z2 x1?y1?z1?x2?y2?z2222222 例 如图，已知直三棱柱abc-a1b1c1中，bca=900,d1、e1分别为a1b1、a1c1中点，若bc=ca=1，求向bd1与ae1所成角的余弦值。 b d1 1 6 练习：已知正方体abcda1b1c1d1中，b1e1=d1f1= f c1b1 c db 二 、利用向量证线线垂直与线面垂直 a1b1 ，求向量be1与df1所成角的余弦值。 4 例2 在正方体abcda1b1c1d1中，求证a1c平面ab1d1 练习：在正方体abcda1b1c1d1中，o为底面abcd的中心，p为dd1的中点， 求证：b1o平面pac。 a 例3 如图，pa矩形abcd所在平面，m, n分别是ab ,pc中点 （1）求证：mncd （2）若pda=45，求证：mn平面pcd 6 n m b c 练习：正方体abcda1b1c1d1中，m是棱d1d中点，n是ad中点， p为棱a1b1上任一点。求证：npam 作业： a1 c1 m c 1.如图，正方体abcda1b1c1d1中，e是bb1中点，o是底面abcd中心， 求证：oe平面d1ac. 2.如图，正方体abcda1b1c1d1中，o ,m分别是bd1, aa1中点，求证：om是异面直线aa1和bd1的公垂线. da1 3、如图，直三棱柱abc-a1b1c1中，acb=90，ac=1，cb=2，侧棱aa1=1，侧面aa1b1b的两 条对角线交点为d，b1c1的中点为m。求证：cd平面bdm 6 a1 1 b b1 4在棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中，e， f分别为棱ab和bc的中点，m为棱b1b 上任一点，当 b1m 值为多少时能使d1m平面efb1 mb a e 5、如图，?abc为正三角形，ae和cd都垂直于平面abc，且ae=ab=2a， cd=a，f为be中点，求证：afbd c a 6、如图，已知直三棱柱abc-a1b1c1中b1c1=a1c1，a1bac1。 求证：a1bb1c 6 111 用向量方法证明空间中的平行与垂直 1.已知直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，下列结论成立的是( c ) a若an，则ab若an0，则a c若an，则ad若an0，则a 解析：由方向向量和平面法向量的定义可知应选c.对于选项d，直线a?平面也满足an0. 2.已知，是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论： 若n1n2，则；若n1n2，则； 若n1n20，则；若n1n20，则. 其中正确的是( a ) ab cd 平行的一个向量的坐 3.(原创)已知a(3，2,1)，b(4，5,3)，则与向量ab 标是( c ) 1a(3，1,1)b (1，3,2) 13c(2，2，1)d(2，3， 2) (1，3,2)2(131)， 解析：ab22 13所以与向量ab平行的一个向量的坐标是(2，2，1)，故选c. 4.设l1的方向向量为a(1,2，2)，l2的方向向量为b(2,3，m)，若l1l2，则m等于 2 . 5.设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k 4 . 解析：因为，所以(2，4，k)(1,2， 2)， 所以2，k2，所以k4. (1,5，2)，bc(3,1，z)若abbc，bp(x1，y，3)， 6.已知ab 4015且bp平面abc，则实数x 7，y 7，z 4 . ?x15y60解析：由已知?bpab 3?x1?y3z0?bpbc 4015解得x7，y7z4. 352z0abbc ， 7.(原创)若a(2,1，3)，b(1,5，3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为 58 . 解析：因为ab(2,1，3)(1,5，3)0， 所以ab，又|a|22，|b|29， 所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为 |a|b|2229258. 8.如图，平面pac平面abc，abc是以ac为斜边的等腰直角三角形，e，f，o分别为pa，pb，ac的中点，ac16，papc10.设g是oc的中点，证明：fg平面boe . 证明：如图，连接op，因为papc，abbc，所以poac，boac， 又平面pac平面abc，所以可以以点o为坐标原点，分别以ob，oc，op所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系o-xyz . 则o(0,0,0)，a(0，8,0)，b(8,0,0)，c(0,8,0)，p(0,0,6)，e(0，4,3)，f(4, 0,3)由题意，得g(0,4,0) (8,0,0)，oe(0，4,3)， 因为ob 设平面boe的一个法向量为n(x，y，z)， ?nob0?x0则?，即?， 0?4y3z0?oe?n 取y3，则z4，所以n(0,3,4) (4,4，3)，得n0. 由fgfg 又直线fg不在平面boe内，所以fg平面boe . 9.如图，四棱锥p-abcd的底面为正方形，侧棱pa底面abcd，且pa ad2，e，f，h分别是线段pa，pd，ab的中点 (1)求证：pb平面efh； (2)求证：pd平面ahf . 证明：建立如图所示的空间直角坐标系a-xyz， 所以a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2)，e(0,0,1)，f(0,1,1)，h(1，0,0) (2,0，2)，eh(1,0，1)， (1)因为pb 2eh， 所以pb 因为pb?平面efh，且eh?平面efh， 所以pb平面efh. (0,2，2)，ah(1,0,0)，af(0,1,1)， (2)因为pd 0021(2)10， 所以pdaf 0120(2)00， pdah 所以pdaf，pdah， 又因为afaha，所以pd平面ahf. 第四节 利用空间向量求二面角及证明面面垂直 一、二面角 二面角?l?，若?的一个法向量为m，?的一个法向量为n，则cos?,?，二面角的大小为?m,n?或?m,n? 例1如图，正三棱柱abc?a1b1c1中，e为bb1的中点，aa1?a1b1，求平面a1ec与平面a1b1c1所成锐角的大小。 例2（05年全国）如图，在四棱锥v-abcd vad是正三角形,平面vad底面abcd （1）证明ab平面vad； （2）求面vad与面vbd所成的二面角的大小 练习：如图，棱长为1的正方体 abcd?a1b1c1d1中，e是1的中点， 求二面角b?b 1e?d的余弦值。 12 二证面面垂直 若平面?的一个法向量为，平面?的一个法向量为，且?，则?。 例3在四棱锥p-abcd中，侧面pcd是正三角形，且与底面abcd垂直，已知底面是面积为23的菱形， ?adc?600，m是pb的中点。 （1）求证：pa?cd （2）求二面角p?ab?d的度数； （3）求证：平面pab?平面cdm。 练习：（04年辽宁）已知四棱锥p-abcd中，底面abcd是菱形，?dab?60?,pd?平面abcd，pd=ad，点e为ab的中点，点f为 pd的中点。 （1）证明平面ped平面pab； （2）求二面角p-ab-f的平面角的余弦值. 作业： 1（04年广东）如图，在长方体abcd?a1b1c1d1中， 已知ab?4,ad?3,aa1?2,e,