2020届上海市普陀区高三上学期质量调研（一模）数学试题（PDF版含答案）

高三数学质量调研 高三数学质量调研 考生注意 1 本试卷共 4 页 21 道试题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 2 本考试分试卷和答题纸 试卷包括试题与答题要求 作答必须涂 选择题 或写 非选择 题 在答题纸上 在试卷上作答一律不得分 3 答卷前 务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名 准考证号 并将核对后的条 码贴在指定位置上 在答题纸反面清楚地填写姓名 一 填空题 本大题共有 12 题 满分 54 分 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 每个空格填对前 6 题得 4 分 后 6 题得 5 分 否则一律得零分 考生注意 1 本试卷共 4 页 21 道试题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 2 本考试分试卷和答题纸 试卷包括试题与答题要求 作答必须涂 选择题 或写 非选择 题 在答题纸上 在试卷上作答一律不得分 3 答卷前 务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名 准考证号 并将核对后的条 码贴在指定位置上 在答题纸反面清楚地填写姓名 一 填空题 本大题共有 12 题 满分 54 分 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 每个空格填对前 6 题得 4 分 后 6 题得 5 分 否则一律得零分 1 若抛物线 2 ymx 的焦点坐标为 1 0 2 则实数m的值为 2 1 32 lim 31 nn n n 3 不等式 1 1 x 的解集为 4 已知i为虚数单位 若复数 1 i 1 i zm 是实数 则实数m的值为 5 设函数 log 4 a f xx 0a 且1a 若其反函数的零点为2 则a 6 6 3 1 1 1 x x 展开式中含 2 x项的系数为 结果用数值表示 7 各项都不为零的等差数列 n a Nn 满足 2 2810 230aaa 数列 n b是等比数列 且 88 ab 则 4 9 11 b b b 8 设椭圆 2 2 2 11 x ya a 直线l过 的左顶点A交y轴于点P 交 于点Q 若AOP 是等腰 三角形 O为坐标原点 且2PQQA uuu ruuu r 则 的长轴长等于 9 记 a b c d e f为1 2 3 4 5 6的任意一个排列 则 abcdef 为偶数的排列的个数共有 10 已知函数 22 815f xxxaxbxc a b cR 是偶函数 若方程 2 1axbxc 在区间 1 2上有解 则实数a的取值范围是 11 设P是边长为2 2的正六边形 123456 A A A A A A的边上的任意一点 长度为4的线段MN是该正六边形 外接圆的一条动弦 则PM PN uuuu r uuu r 的取值范围为 12 若M N两点分别在函数 yf x 与 yg x 的图像上 且关于直线1x 对称 则称M N是 yf x 与 yg x 的一对 伴点 M N与N M视为相同的一对 已知 2 22 442 xx f x xx 1g xxa 若 yf x 与 yg x 存在两对 伴点 则 实数a的取值范围为 二 选择题 本大题共有二 选择题 本大题共有 4 4 题 满分题 满分 2020 分 每题有且只有一个正确答案 考生应在答题纸的相应编号上 分 每题有且只有一个正确答案 考生应在答题纸的相应编号上 将代表答案的小方格涂黑 选对得将代表答案的小方格涂黑 选对得 5 5 分 否则一律得零分分 否则一律得零分 13 1 2m 是 ln1m 成立的 A 充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 14 设集合 1Ax xa 1 3 Bb 若A B 则对应的实数对 a b有 A 1对 B2对 C3对 D4对 15 已知两个不同平面 和三条不重合的直线a b c 则下列命题中正确的是 A 若 a b I 则 ab B若a b在平面 内 且ca cb 则c C若a b c是两两互相异面的直线 则只存在有限条直线与a b c都相交 D若 分别经过两异面直线a b 且c I 则c必与a或b相交 16 若直线l 2 1 2 xy baab 经过第一象限内的点 1 1 P a b 则ab的最大值为 A 7 6 B42 2 C52 3 D63 2 三 解答题 本大题共有三 解答题 本大题共有 5 5 题 满分题 满分 7676 分 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内分 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤写出必要的步骤 1717 本题满分 本题满分 1414 分 本题共有分 本题共有 2 2 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分 如图所示的三棱锥PABC 的三条棱PA AB AC两 两互相垂直 22ABACPA 点D在棱AC上 且 ADAC uuu ruuu r 0 1 当 1 2 时 求异面直线PD与BC所成角的大小 2 当三棱锥DPBC 的体积为 2 9 时 求 的值 18 18 本题满分 本题满分 1414 分 本题共有分 本题共有 2 2 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分 设函数 22 1 xx f x a 1 当4a 时 解不等式 5f x 2 若函数 fx在区间 2 上是增函数 求实数a的取值范围 D C B A P 第 17 题图 19 19 本题满分 本题满分 1414 分 本题共有分 本题共有 2 2 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分 某居民小区为缓解业主停车难的问题 拟对小区内一块扇形空地AOB进行改建 如图所示 平行四边 形OMPN区域为停车场 其余部分建成绿地 点P在围墙AB弧上 点M和点N分别在道路OA和道路 OB上 且 60OA米 60AOB 设POB 1 求停车场面积S关于 的函数关系式 并指出 的取值范围 2 当 为何值时 停车场面积S最大 并求出最大值 精确到0 1 平方米 2020 本题满分 本题满分 1616 分 本题共有分 本题共有 3 3 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分 第分 第 3 3 小题满小题满 分分 6 6 分分 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的焦距为4 直线 40l xmy mR 与 交于两 个不同的点D E 且0m 时直线l与 的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形 1 求双曲线 的方程 2 若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部 求实数m的取值范围 3 设A B分别是 的左 右两顶点 线段BD的垂直平分线交直线BD于点P 交直线AD于点Q 求证 线段PQ在x轴上的射影长为定值 2121 本题满分 本题满分 1818 分 本题共有分 本题共有 3 3 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分 第分 第 3 3 小题满小题满 N M P B A O 第 19 题图 分分 8 8 分分 数列 n a与 n b满足 1 aa 1nnn baa n S是数列 n a的前n项和 Nn 1 设数列 n b是首项和公比都为 1 3 的等比数列 且数列 n a也是等比数列 求a的值 2 设 1 21 n nn bb 若3a 且 4n aa 对 Nn 恒成立 求 2 a的取值范围 3 设4a 2 n b 2 2 n n n S C Nn 2 若存在整数k l 且1kl 使得 kl CC 成立 求 的所有可能值 6 评分标准 参考 评分标准 参考 一 填空题 一 填空题 1 2 3 4 5 6 2 3 0 1 1 2 2 9 7 8 9 10 11 12 8 2 5 432 1 1 8 3 64 6 8 8 2 32 21 2 2 二 选择题二 选择题 13 14 15 16 A D D B 三 解答题三 解答题 17 1 当 1 2 时 ADDC 取棱AB的中点E 连接ED EP 则 EDBC 即PDE 是异面直线PD与BC所成角或其补角 2 分 又PA AB AC两两互相垂直 则1PDDEEP 即PDE 是正三角形 则 3 PDE 5 分 则异面直线PD与BC所成角的大小为 3 6 分 2 因为PA AB AC两两互相垂直 所以AB 平面PAC 3 分 则 11112 2 33239 D PBCB PDCPDC VVAB SPA DCDC 即 2 3 DC 7 分 又 ADAC uuu ruuu r 0 2AC 则 2 3 8 分 说明 利用空间向量求解请相应评分说明 利用空间向量求解请相应评分 18 1 当4a 时 由 22 5 41 xx 得24 250 xx 2 分 令2xt 则 2 540tt 即14t 4 分 即02x 则所求的不等式的解为 0 2 6 分 2 任取 12 2xx 因为函数 22 xx f xa 在区间 2 上单调递增 E D C B A P 17 题图 7 所以 12 0f xf x 在 2 上恒成立 2 分 则 1122 222 20 xxxx aa 恒成立 即 12 12 12 22 22 0 2 xx xx xx a 12 12 221 0 2 xx xx a 4 分 又 12 xx 则 12 22 xx 即 12 2x x a 对 12 2xx 恒成立 6 分 又 12 216 xx 即16a 则所求的实数a的取值范围为 16 8 分 19 1 由平行四边形OMPN得 在OPN 中 120ONP o 60OPN o 则 sinsinsin ONOPPN OPNONPPON 即 60 sin 60 sin120sin ONPN oo 即40 3sin 60 ON o 40 3sinPN 4 分 则停车场面积sin2400 3sin sin 60 SON PNONP o 即2400 3sin sin 60 S o 其中060 oo 6 分 2 由 1 得 31 2400 3sinsin 60 2400 3sin cossin 22 S o 即 2 3600sincos1200 3sin 1800sin2600 3cos2600 3S 4 分 则1200 3sin 230 600 3S o 6 分 因为060 oo 所以30 230150 ooo 则23090 oo 时 max 1200 3 1 600 3600 31039 2S 平方米 故当30 o时 停车场最大面积为1039 2平方米 8 分 说明 说明 1 中中过过点点P作作OB的的垂线求平行四边形面积 请相应评分垂线求平行四边形面积 请相应评分 20 1 当0m 直线 4l x 与C的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形 由根据双曲线的性质得 2 2 2 1 tan 30 3 b a o 又焦距为4 则 22 4ab 3 分 8 解得3a 1b 则所求双曲线 的方程为 2 2 1 3 x y 4 分 2 设 11 D x y 22 E xy 由 2 2 1 3 40 x y xmy 得 22 3 8130mymy 则 12 2 8 3 m yy m 12 2 13 3 y y m 且 222 6452 3 12 13 0mmm 2 分 又坐标原点O在以线段DE为直径的圆内 则0OD OE uuu r uuu r 即 1212 0 x xy y 即 1212 4 4 0mymyy y 即 2 1212 4 1 160m yymy y 则 22 22 13138 160 33 mm mm 4 分 即 2 2 35 0 3 m m 则 15 3 3 m 或 15 3 3 m 即实数m的取值范围 1515 3 3 33 U 6 分 3 线段PQ在x轴上的射影长是 pq xx 设 00 D xy 由 1 得点 3 0 B 又点P是线段BD的中点 则点 00 3 22 xy P 2 分 直线BD的斜率为 0 0 3 y x 直线AD的斜率为 0 0 3 y x 又BDPQ 则直线PQ的方程为 000 0 33 22 yxx yx y 即 2 000 00 33 22 xxy yx yy 又直线AD的方程为 0 0 3 3 y yx x 联立方程 2 000 00 0 0 33 22 3 3 xxy yx yy y yx x 消去y化简整理 得 222 000 0 0 3 3 3 223 xyy x xx x 又 2 2 0 0 1 3 x y 代入消去 2 0 y 得 2 0 00 2 3 1 3 3 3 33 x x xxx 9 即 0 2 3 1 3 33 x xx 则 0 23 4 x x 即点Q的横坐标为 0 23 4 x 5 分 则 00 3233 244 pq xx xx 故线段PQ在x轴上的射影长为定值 6 分 说明说明 看作是看作是PQ uuu r 在在OB uuu r 或或 1 0 i r 方向方向上上投影投影的绝对值 的绝对值 请相应请相应评分评分 21 1 由条件得 1 3 n n b Nn 即 1 1 3 n nn aa 1 分 则 21 1 3 aa 2 32 11 39 aa 设等比数列 n a的公比为q 则 32 21 1 3 aa q aa 又 1 1 3 a q 则 1 4 a 3 分 当 1 4 a 1 3 q 时 1 11 43 n n a Nn 则 11 1 111111111 434334433 nnnn nn aa 满足题意 故所求的a的值为 1 4 4 分 2 当2n 时 1 1 21 n nn bb 2 12 21 n nn bb L 21 2 1bb 以上1n 个式子相加得 123 1