2014东莞二模理科数学试题及答案.doc

京翰高考补习专业对高中学生开设高三数学辅导补习班东莞市2014届高三第二次模拟考试数学（理科）一、选择题：1. 已知全集,集合和集合中的元素共有( )A个 B个 C个 D无穷多个2. 若复数是纯虚数,则实数的值为( ) AB C D或3. 已知等差数列的前项和为,且,则该数列的公差( )A B C D4. 已知抛物线()的准线与圆相切,则的值为( )A B C D5. 若向量，则的最大值为（ ）A B C D 6. 已知平面、和直线,给出条件:；.由这五个条件中的两个同时成立能推导出的是( )A B C D7. 若变量满足约束条件,则的取值范围是( )A B C D8. 对任意实数,定义运算,其中是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知,并且有一个非零常数,使得,都有,则的值是A. B. C. D. 二、填空题： 231正视图侧视图图1(一)必做题(913题)9. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图1所示(均为直角三角形)，则该三棱锥的俯视图的面积为 .是否开始结束输出图210. 二项式的展开式中常数项为_.11执行如图2的程序框图，输出的 12. 已知函数,则的值等于 .13. 已知的内角的对边分别为，且,则的面积等于_.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分） 图314.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线的方程是，以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，在直角坐标系中，直线的方程是.如果直线与垂直，则常数 15.(几何证明选讲选做题)如图3,在中,若,则的长为_ 三、解答题：16(本题满分12分)设函数,(1) 若,求的最大值及相应的的取值集合；（2）若是的一个零点,且,求的值和的最小正周期.17(本题满分12分) 某地为绿化环境，移栽了银杏树2棵，梧桐树3棵.它们移栽后的成活率分别为，每棵树是否存活互不影响，在移栽的5棵树中：（1）求银杏树都成活且梧桐树成活2棵的概率；（2）求成活的棵树的分布列与期望.图4PABCDEF18.(本题满分14分)如图4,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,、分别为、的中点.(1) 求证:平面； (2) 求证:面平面； (3) 在线段上是否存在点,使得二面角的余弦值为?说明理由.19.(本题满分14分)设数满足： (1)求证：数列是等比数列； (2)若，且对任意的正整数n，都有，求实数t的取值范围20.(本题满分14分)已知定点,动点,且满足成等差数列.(1) 求点的轨迹的方程；(2) 若曲线的方程为(),过点的直线与曲线相切,求直线被曲线截得的线段长的最小值.21.(本题满分14分) 已知函数满足如下条件：当时，且对任意，都有（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）求当，时，函数的解析式；（3）是否存在，使得等式成立？若存在就求出（），若不存在，说明理由参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678答案BABCADCD二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分9； 10； 113； 12； 13.； 14； 15.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16【解析】(1) 当时,，而,所以的最大值为, 此时,即,取最大值时相应的的集合为 （2）依题意,即, 整理,得, 又,所以, 而,所以,所以,的最小正周期为.17.【解析】（1）设表示“银杏树都成活且梧桐树成活2棵”设表示“银杏树成活棵”；表示“梧桐树成活棵”；（2）可能的取值：；同理：；的分布列为：012345 18.【解析】(1)证明:连结，由正方形性质可知, 与相交于的中点,也为中点,为中点.所以在中,/ 又平面,平面, 所以平面 (2)证明:因为平面平面, 平面面 为正方形,平面,所以平面. 又平面,所以.又,所以是等腰直角三角形,且,即. 又,且、面,所以面. 又面, 所以面面(3) 取的中点,连结,因为,所以. 又侧面底面,平面平面, 所以平面,而分别为的中点,所以,又是正方形,故,以为原点,建立空间直角坐标系, 则有,若在上存在点使得二面角的余弦值为 ,连结,设,则,由()知平面的法向量为, 设平面的法向量为.则,即,解得令,得,所以,解得(舍去). 所以,线段上存在点(),使得二面角的余弦值为.19.【解析】20.【解析】(1)由, 根据椭圆定义知的轨迹为以为焦点的椭圆,其长轴,焦距,短半轴,故的方程为. (2)过点与X轴垂直的直线不与圆相切，故可设:,由直线与曲线相切得,化简得 由,解得 联立,消去整理得, 直线被曲线截得的线段一端点为,设另一端点为,解方程可得,有 令,则,考查函数的性质知在区间上是增函数,所以时,取最大值,从而. 21.【解析】解：（1）时， 所以，函数的图象在点处的切线方程为，即 （2）因为，所以，当，时， （3）考虑函