2020届高三联考数学（理）二试题试卷（PDF版）—附答案）

页 共 页 注意事项 本试卷分选择题和非选择题两部分 共 分 考试时间 分钟 答卷前 考生务必将自己的班级 姓名 准考证号 座号用 黑色签字笔和 铅笔分别涂写 在答题卡上 选择题每小题选出答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 非选择题直接答在答题 卡相应区域 不能答在试卷上 试卷不交 请妥善保存 只交答题卡 一 选择题 本题共 小题 每小题 分 共 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要 求的 已知集合犕 犖 狓 狓 犪 犪 犕 则集合犕 犖 若复数狕 对应复平面内的点 且狕 狕 犻 则复数狕 的虚部为 如图 是一个边长为 的正方形二维码 为了测算图中黑色部分的面积 在正方形区域内随机 投掷 个点 其中落入白色部分的有 个点 据此可估计黑色部分的面积为 对于实数犪 犫 犮 犪 犫 是 犪 犮 犫 犮 的 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 已知双曲线狓 犪 狔 犫 犪 犫 犫 的一条渐近线方程为狔 狓 且经过点犘 槡 则双曲线的方 程是 狓 狔 狓 狔 狓 狔 狓 狔 年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想 对于任意一个正整数 如果它是奇数 对它乘 加 如果它是偶数 对它除以 这样循环 最终结果都能得到 有的数学家认为 该猜想任何程度的解 决都是现代数学的一大进步 将开辟全新的领域 这大概与其蕴含的 奇偶归一 思想有关 如图是根 据考拉兹猜想设计的一个程序框图 则输出犻的值为 已知 其中 则 已知 狓 狓 狀 展开式中前三项的二项式系数的和等于 则展开式中的常数项为 已知数列 犪狀 满足 狀 犪狀 狀 犪狀 狀 犖 犪 等比数列 犫狀 满足犫 犪 犫 犪 则 犫狀 的前 项和为 将函数犳 狓 狓向右平移 个单位后得到函数犵 狓 则犵 狓 具有性质 在 上单调递增 为偶函数 最大值为 图象关于直线狓 对称 在 上单调递增 为奇函数 周期为 图象关于点 对称 点犘在椭圆犆 狓 狔 上 犆 的右焦点为犉 点犙在圆犆 狓 狔 狓 狔 上 则 犘 犙 犘 犉 的最小值为 槡槡槡槡 已知函数犳 狓 狓 狓 狓 狓 烅 烄 烆 若函数犵 狓 犳 狓 犳 狓 犿 犿 犚 有三个零点 则犿的 取值范围为 犿 犿 犿 犿 答案 二 填空题 本大题共 小题 每小题 分 共 分 把答案填在答题卡中的横线上 已知向量犪 犿 犫 犿 犪 犫 犪 犫 则犿 已知等差数列犪 狀 的前狀项和为犛 狀 且犪 犪 犪 则数列 犛狀 的前 项和为 已知犗为坐标原点 犉为椭圆犆 狓 犪 狔 犫 犪 犫 的右焦点 过点犉的直线在第一象限与椭圆 犆交与点犘 且 犘 犗 犉为正三角形 则椭圆犆的离心率为 正四棱锥犗 犃 犅 犆 犇的体积为 槡 底面边长为槡 则正四棱锥犗 犃 犅 犆 犇的内切球的表面积 为 数学理科 二 题号 页 共 页 三 解答题 共 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 题为必考题 每个试题考生 都必须作答 第 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 分 本小题满分 分 在 犃 犅 犆中角犃 犅 犆的对边分别是犪 犫 犮 且 犪 犫 犮 犪 犫 犃 犆 犅 求角犅 若 犃 犅 犆的面积为槡 求边犫的取值范围 本小题满分 分 如图 四边形犃 犅 犆 犇与犅 犇 犈 犉均为菱形 设犃 犆与犅 犇相交于点犗 若 犇 犃 犅 犇 犅 犉 且犉 犃 犉 犆 求证 犉 犆 平面犈 犃犇 求直线犃 犉与平面犅 犆 犉所成角的余弦值 本小题满分 分 某企业打算处理一批产品 这些产品每箱 件 以箱为单位销售 已知这批产品中每箱出现的 废品率只有 或者 两种可能 两种可能对应的概率均为 假设该产品正品每件市场价格 为 元 废品不值钱 现处理价格为每箱 元 遇到废品不予更换 以一箱产品中正品的价格期 望值作为决策依据 在不开箱检验的情况下 判断是否可以购买 现允许开箱 有放回地随机从一箱中抽取 件产品进行检验 若此箱出现的废品率为 记抽到的废品数为犡 求犡的分布列和数学期望 若已发现在抽取检验的 件产品中 其中恰有一件是废品 判断是否可以购买 本小题满分 分 已知直线犾 狓 狔 与焦点为犉的抛物线犆 狔 狆 狓 狆 相切 求抛物线犆的方程 过点犉的直线犿与抛物线犆交于犃 犅两点 求犃 犅两点到直线犾的距离之和的最小值 本小题满分 分 已知函数犳 狓 狓 狓 求函数的单调区间 求证 狀 狀 狀槡 狀 犖 二 选考题 共 分 请考生在 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 选修 坐标系与参数方程 分 在平面直角坐标系中 曲线犆 狓 狔 曲线犆 的参数方程为 狓 狔 为参数 以坐标 原点犗为极点 狓轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求曲线犆 犆 的极坐标方程 在极坐标系中 射线 与曲线犆 犆 分别交于犃 犅两点 异于极点犗 定点犕 求 犕犃 犅的面积 选修 不等式选讲 分 已知函数犳 狓 狓 犿 狓 犿 犿 当犿 时 求不等式犳 狓 的解集 对于任意的实数狓 存在实数狋 使得不等式犳 狓 狋 狋 成立 求实数犿的取值范围 狓 犪 犪 犕 集合犕 犖 故选 解 析 由 题 意 狕 犻 由狕 狕 犻 得狕 犻 犻 犻 犻 犻 犻 犻 复数狕 的虚部为 故选 解析 由题意得在正方形区域内随机投掷 个点 其中落入白色部分的 有 个点 则其中落入黑色部分的有 个点 由随机模拟试验可得 犛黑 犛正 又犛正 可得犛黑 故选 解析 当犮 时 显然左边无法推导出右边 但右边可以推出左边 故 选 解析 双曲线狓 犪 狔 犫 犪 犫 的一条渐近线方程为狔 狓 设双曲 线的方程为狓 狔 由双曲线经过点犘 槡 可得 得 则 双曲线的方程为狓 狔 故选 解析 犪 犪 不满足 犪是奇数满足 犪 犻 犪 犪 不满足 犪是奇数不满足 犪 犻 犪 犪 不满足 犪是奇数满足 犪 犻 犪 犪 不满足 犪是奇数不满足 犪 犻 犪 犪 不满足 犪是奇数不满足 犪 犻 犪 犪 不满足 犪是奇数不满足 犪 犻 犪 犪 不满足 犪是奇数不满足 犪 犻 犪 犪 满足 输出犻 故选 解析 把 两边平方得 即 解得 得 即 则 故选 解析 由题意得 狀 狀 狀 又狀 犖 解得狀 由二 项 式 狓 狓 狀 展 开 式 通 项 得 犜狉 狉 狓 狉 狓 狉 狉 狉 狉 狓 狉 令 狉 解得狉 则展开式中的常数项为 故选 解析 数列犪狀 满足 狀 犪狀 狀 犪狀 狀 犖 犪 狀 狀 犪狀 狀 数列 犪狀 狀 为以 犪 的常数列 犪狀 狀 犪狀 狀 等比数列 犫狀 满足犫 犪 犫 犪 狇 犫狀 的前 项和为 故选 解析 函数犳 狓 狓 向右平移 个单位后得到函数犵 狓 狓 狓 当狓 时 函数的值为 故 错误 函数犵 狓 为偶函数 故 错误 当狓 时 犵 槡 故 错误 故选 解 析 设 椭 圆 的 左 焦 点 为犉 则犘 犙 犘 犉 犘 犙 犪 犘 犉 犘 犙 犘 犉 故要求犘 犙 犘 犉 的最小值 即求 犘 犙 犘 犉 的最小 值 圆犆 的 半 径狉为 所 以 犘 犙 犘 犉 的 最 小 值 等 于 犆 犉 槡 槡 犘 犙 犘 犉 的最小值为 槡 故选 解析 作出犳 狓 的图象如图 设狋 犳 狓 则由图象知当狋 时 狋 犳 狓 有两个根 当狋 时 狋 犳 狓 只有一个根 若函数犵 狓 犳 狓 犳 狓 犿 犿 犚 有三个零点 等价为函数犵 狓 犺 狋 狋 狋 犿有两 个零点 其中狋 或狋 则满足 犿 犳 犿 得 犿 犿 烅 烄 烆 得犿 故选 解析 向量犪 犿 犫 犿 犪 犫 犪 犫 可得 犿 犿 犿 槡 犿槡 解得犿 犿 舍去 解析 设等差数列 犪狀 的公差为犱 犪 犪 犪 犪 犪 犱 又犪 犱 解得犪 犱 犛狀 狀 狀 狀 狀 狀 犛狀 狀 狀 狀 狀 则数列 犛狀 的前 项和 槡 解析 椭圆上存在点犘使 犘 犗 犉为正三角形 设犉为右焦点 犗 犉 犮 犘在第一象限 点犘的坐标为 犮 槡 犮 代入椭圆方程得 犮 犪 犮 犫 犲 犮 犪 犲 犲 犲 犲 解得犲槡 槡 解析 正四棱锥犗 犃 犅 犆 犇的体积 犞 犛 犺 槡槡 犺 槡 犺 槡 斜高为 槡 槡 槡 槡 设正四棱锥犗 犃 犅 犆 犇的内切球的半径为狉 则 槡槡 槡 槡 狉 槡 狉 槡 槡 正四棱锥犗 犃 犅 犆 犇的内切球的表面积为 狉 槡 解析 集合犕 犖 狓 数学理科2 评分标准 数学理科2 评分标准 数学理科2 解析 犪 犫 犮 犪 犫 犃 犆 犅 由正弦定理 余弦定理 得 犪 犫 犆 犪 犫 犪 犮 犫 分 可得 犫 犆 犮 犪 分 犅 犆 犆 犃 分 犅 犆 犆 犅 犆 犅 犆 犅 犆 可得 犆 犅 犆 分 犆 犅 犅 犅 分 犅 犃 犅 犆的面积为槡 犪 犮 犅 槡 犪 犮 分 犪 犮 分 由余弦定理可得 犫 犪 犮 犪 犮 犪 犮 犪 犮 犪 犮 当且仅当犪 犮时等号成立 分 犫 可得边犫的取值范围是 分 解析 四边形犃 犅 犆 犇与犅 犇 犈 犉均为菱形 犃犇 犅 犆 犇 犈 犅 犉 分 犃犇 平面犉 犅 犆 犇 犈 平面犉 犅 犆 犅 犆 平面犉 犅 犆 犅 犉 平面犉 犅 犆 犃犇 平面犉 犅 犆 犇 犈 平面犉 犅 犆 分 又犃犇 犇 犈 犇 犃犇 平面犈 犃犇 犇 犈 平面犈 犃犇 平面犉 犅 犆 平面犈 犃犇 又犉 犆 平面犉 犅 犆 犉 犆 平面犈 犃犇 分 连接犉 犗 犉 犇 四边形犅 犇 犈 犉为菱形 且 犇 犅 犉 犇 犅 犉为等边三角形 犗为犅 犇中点 犉 犗 犅 犇 又 犗为犃 犆中点 且犉 犃 犉 犆 犃 犆 犉 犗 又犃 犆 犅 犇 犗 犉 犗 平面犃 犅 犆 犇 由犗 犃 犗 犅 犗 犉两两垂直 建立如图所示的空间直角坐标系犗 狓 狔 狕 分 设犃 犅 因为四边形犃 犅 犆 犇为菱形 犇 犃 犅 则犅 犇 犗 犅 犗 犃 犗 犉 槡 犗 犃 槡 犅 犆 槡 犉 槡 犆 犉 槡 槡 犆 犅 槡 犃 犉 槡 槡 分 设平面犅 犆 犉的一个法向量狀 狓 狔 狕 则 狀 犆 犉 槡 狓槡 狕 狀 犆 犅 槡 狓 狔 取狓 得狀 槡 分 设直线犃 犉与平面犅 犆 犉所成角为 则 犃 犉 狀 犃 犉 狀 槡 槡 槡 槡 分 槡 槡 槡 直线犃 犉与平面犅 犆 犉所成角的余弦值为 槡 分 解析 在不开箱检验的情况下 一箱产品中正品的价格期望值为 犈 在不开箱检验的情况下 可以购买 分 犡的可能取值为 犘 犡 犘 犡 犘 犡 犡的分布列为 犡 犘 犈 犡 分 设事件犃 发现在抽取检验的 件产品中 其中恰有一件是废品 则犘 犃 分 一箱产品中 设正品的价格的期望值为 则 事件犅 抽取的废品率为 的一箱 则犘 犘 犅 犃 犘 犃 犅 犘 犃 分 事件犅 抽取的废品率为 的一箱 则犘 犘 犅 犃 犘 犃 犅 犘 犃 分 犈 分 已发现在抽取检验的 件产品中 其中恰有一件是废品 不可以购买 分 解析 直线犾 狓 狔 与抛物线犆相切 由 狓 狔 狔 狆 狓 消去狓得 狔 狆 狔 狆 分 从而 狆 狆 解得狆 分 抛物线犆的方程为狔 狓 分 由于直线犿的斜率不为 所以可设直线犿的方程为 狋 狔 狓 犃 狓 狔 犅 狓 狔 由 狋 狔 狓 狔 狓 消去狓得 狔 狋 狔 分 狔 狔 狋 从而狓 狓 狋 线段犃 犅的中点犕的坐标为 狋 狋 分 设点犃到直线犾的距离为犱犃 点犅到直线犾的距离为犱犅 点犕到直线犾的距离 为犱 则犱犃 犱犅 犱 狋 狋 槡 槡 狋 狋 槡 狋 分 当狋 时 可使犃 犅两点到直线犾的距离之和最小 距离的最小值为 槡 分 解析 函数犳 狓 狓 狓 函数 犳 狓 狓 狓 狓 分 由 犳 狓 狓 狓 解得狓 由 犳 狓 狓 狓 得 狓 函数的单调递增区间是 单调递减区间是 分 证明 由 知 狔 犳 狓 的最小值为犳 犳 狓 狓 且狓 即 狓 狓 分 槡 槡 槡 槡 狀槡 狀槡 分 累 加 得 槡槡 狀槡 槡 槡 狀槡 即 狀 狀 槡 槡 狀槡 狀 狀 槡 槡 狀槡 分 下面利用数学归纳法证明 槡 槡 狀槡 狀槡 当狀 时 左边 槡 右边 槡 不等式成立 分 假设当狀 犽时不等式成立 即 槡 槡 犽槡 犽槡 那么 当狀 犽 时 槡 槡 犽槡 犽槡 犽槡 犽槡 分 要证 犽槡 犽槡 犽槡 只需证 犽 犽槡 犽 也就是证 此时显然成立 犽槡 犽槡 犽槡 即 槡 槡 犽槡 犽槡 综上 槡 槡 狀槡 狀槡 狀 狀 狀槡 狀 犖 分 解析 曲线犆 狓 狔 曲线犆 的极坐标方程为 即 分 曲线犆 的参数方程为 狓 狔 为参数 曲线犆 的普通方程为 狓 狔 分 即狓 狔 狓 曲线犆 的极坐标方程为 分 由 得 点犃的极坐标为 点犅的极坐标为 槡 分 犃 犅 槡 槡 分 犕 点到射线 的距离为犱 分 犕犃 犅的面积为 犛 犕犃 犅 犃 犅 犱 槡 槡 分 解 析 因 为犿 所 以犳 狓 狓 犿 狓 犿 狓 犿 狓