2019_2020学年高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数讲义新人教A版选修2.doc

1.3.1函数的单调性与导数1设函数yf(x)在区间(a，b)内可导(1)若在区间(a，b)内，f(x)0，则f(x)在此区间内是单调递增的(2)若在区间(a，b)内，f(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大()答案(1)(2)(3)2做一做(1)函数yx3x在(，)上的图象是_(填“上升”或“下降”)的(2)若f(x)ax3bx2cxd(a0)在R上为增函数，则a，b，c的关系式为_(3)函数yx3x25x5的单调递增区间是_答案(1)上升(2)a0，且b23ac(3)，(1，)探究函数与导函数图象之间的关系例1f(x)是函数yf(x)的导函数，若yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()解析由导函数的图象可知，当x0，即函数f(x)为增函数；当0xx1时，f(x)x1时，f(x)0，即函数f(x)为增函数观察选项易知C正确答案C拓展提升研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致【跟踪训练1】设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能为()答案D解析应用函数的单调性与其导数的正负之间的关系来判断导函数的图象探究求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间(1)f(x)x2ln x；(2)f(x)；(3)f(x)x33x2；(4)f(x)ax3x21(a0)解(1)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)2x.因为x0，所以x10，由f(x)0，解得x，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f(x)0，解得x0，(x2)20.由f(x)0，解得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)；由f(x)0，解得x3，又定义域为(，2)(2，)，所以函数f(x)的单调递减区间为(，2)和(2,3)(3)f(x)x33x2的定义域为(，)f(x)3x26x3x(x2)当0x0，因此，函数在区间(0,2)上是单调递增的；当x2时，f(x)0，因此，函数在区间(，0)和(2，)上是单调递减的故函数f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(，0)和(2，)(4)因为f(x)ax22x.当a0时，f(x)x21，其单调递减区间为(，0)，单调递增区间为(0，)当a0，所以(ax2)x0，即x0，得x0或x，由f(x)0，得x0或f(x)0且a1)解(1)y(1x)ex，yxex，y0时x0，y0，所以递增区间为(，0)，递减区间为(0，)(2)yx32x2x，y3x24x1，xR，令3x24x10，得x1或x.令3x24x10，得x0，得cosx，又x(0，)，0x.令y0，得cosx，又x(0，)，x1时，ln a0，axax0，所以y0在R上恒成立所以函数yaxax在R上是增函数当0a1时，ln a0，所以y1时，函数yaxax在R上是增函数；当0a0，即函数f(x)在1，)上单调递增，不符合题意；当a11，即a2时，函数f(x)在(，1和a1，)上单调递增，在1，a1上单调递减，依题意1,41，a1且6，)a1，)，从而4a16，故5a7.综上，实数a的取值范围为5,7拓展提升已知f(x)在区间(a，b)上的单调性求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理：f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理：f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f(x)0(f(x)0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立；(3)对于探索性问题，一般先对结论肯定存在的假设，然后由此假设出发，根据已知条件进行推理论证【跟踪训练3】已知f(x)ax33x2x1在R上是减函数，求a的取值范围解因为f(x)ax33x2x1，所以f(x)3ax26x1.当xR时，f(x)为减函数，得f(x)0，即3ax26x10(xR)当a0时，f(x)6x10(xR)不成立(舍去)，当a0时，f(x)0(xR)不成立(舍去)，当a1时，f(x)0得x2x10，解得0x.故f(x)的单调递增区间是.(2)证明：令F(x)f(x)(x1)，x(0，)则有F(x).当x(1，)时，F(x)1时，F(x)1时，f(x)x1.判断函数单调性的方法(1)利用函数单调性的定义，在定义域内任取x1，x2，且x1x2，通过判断f(x1)f(x2)的符号确定函数的单调性.(2)图象法，观察图象的变化趋势直观判断.(3)利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：求f(x)；确定f(x)在(a，b)内符号；得出结论.1下列命题中正确的是()A若f(x)在(a，b)上是增函数，则对任意x(a，b)都有f(x)0B若在(a，b)上对任意x都有f(x)0，则f(x)在(a，b)上是增函数C若f(x)在(a，b)上是单调函数，则f(x)也是单调函数D若可导函数f(x)在(a，b)上有f(x)0，则在(a，b)上有f(x)0答案B解析根据导函数的符号与函数的单调性之间的关系可知B正确；对于A，可能存在x0(a，b)，使得f(x0)0；因为f(x)的单调性与f(x)的单调性的关系不确定，所以C不正确；因为f(x)与f(x)的符号关系不确定，所以D不正确2函数f(x)ax3x在R上为减函数，则()Aa0 Ba1 Ca2 Da答案A解析由题意可知f(x)0恒成立，即3ax210恒成立，显然B，C，D都不能使3ax210恒成立，故选A3函数f(x)xln x的单调递减区间为_答案解析函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1.令f(x)0得x0，所以f(x)的单调递减区间为.4设函数f(x)x3ax2在区间(1，)上是增函数，则实数a的取