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57页3.证明任何可数点集的外测度都是零.4.证明对于一维空间中任何外测度大于零的有界集合及任意常数，只要，就有，使.68页6.证明集合的测度为零，并在上作一测度大于零的无处稠密的完备集，进而证明存在开集，使.2.P1081. 举例说明定理中的条件一般来说是不能取消的.2.设，都是上的几乎处处有限的可测函数，并且 ， ，必有的可测集序列，使，而在每一上都一致收敛于零.P1311.试就上的函数和函数计算=0和=02.证明，分别在和上不可积。第二章2.2.1.证明点集为闭集的充要条件是.证明：因为，若为闭集，则所以故反过来，若，则必有从而为闭集.2.2.2.设是上的实值连续函数，证明对于任意常数，都是开集，都是闭集.证明：任取常数，若 ，则，由于连续，使.这表明是开集.任取常数，若，且，则从和连续知故这表明.故是闭集.第三章3.证明对任意可测集合和都有 （*）证明：若，则成立.若则（*）等价于注意到且可测可测可测9、设，那么可测当且仅当对任意正数，存在开集及闭集使得。证明： 若可测，则。由外测度的定义，此时，从而对任意正数，存在开集，使得。另一方面，由可测集的构造知，对可测集，存在型集合，其中为闭集，使得。设，则为闭集，且，从而有充分大的，使得，不妨令。那么。 特别取，则存在开集族与闭集族，使得，且。令为型集，为型集，则均可测，且，由的任意性，。即可看成可测集与零测度集的并，从而为可测集。第四章P113定理3、设于，于，证明于。证明：因为，故由反证法可知对于任意正整数故 令。又，故，即于。证毕。2.设于，且于，证明于证明：设于，其中。由于于，从而由Riesz定理，有子列于。即于，其中。从而在上，且，从而。证毕。第五章8设，是上的非负可测函数，证明： 证明：由本节习题5知，则 ，故 (1)反证设，则使，使，所以,显然从知得矛盾所以另证：设，由于是上的非负可积函数，从而。考虑到以及于是。即。而，故。P1501 设，在上可测且几乎处处有限，证明：在上可积的充要条件是证明：由已知，在上，有，从而。又，且从而。同理可证。从而在上可积收敛P1516.证明证明 显然在上非负连续，从而非负可测。故存在（有限或正无穷）。又时，在上非负可测，由基本定理，令，则非负可测，单调上升（关于！）且故由定理（因为在上连续，P142Th2）则综上有结论（1）得证注意上面的论证，固然也可用本节练习3的结论先验证广义积分绝对收敛，从而有但交换顺序导致不方便，还是要用基本定理，反而多了一道手续7.证明(1)证明 令，则非负连续于，当时（当）当
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