量子力学教案及部分习题解答.doc

此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除量子力学教案1.1经典物理学的困难宏观物理的机械运动： 牛顿力学电磁现象： 麦克斯韦方程光现象： 光的波动理论热现象 热力学与统计物理学多数物理学家认为物理学的重要定律均以发现，理论已相当完善了，以后物理学的任务只是提高实 验精度和研究理论的应用。19世纪末20世纪初：“在物理学晴朗天空的远处还有两朵小小的、令人不安的乌云。”：（1）“紫外灾难”，经典理论得出的瑞利金斯公式，在高频部分趋无穷。（2）“以太漂移”，迈克尔逊莫雷实验表明，不存在以太。历史有惊人的相似之处，当前，处于21世纪之处，物理学硕果累累，但也遇到两大困惑：“夸克禁闭”和“对称性破缺”。预示物理学正面临新的挑战。黑体辐射 光电效应 原子的光谱线系 固体低温下的比热光的波粒二象性 玻尔原子结构理论（半经典） 微观粒子的波粒二象性 量子力学一 黑体辐射问题黑体：一个物体能全部吸收辐射在它上面的电磁波而无反射。热辐射：任何物体都有热辐射。 当黑体的辐射与周围物体处于平衡状态时的能量分布：热力学+特殊假设维恩公式 长波部分不一致 经典电动力学+统计物理学瑞利金斯公式（短波部分完全不一致）二光电效应光照在金属上有电子从金属上逸出的现象，这种电子叫光电子。光电效应的规律：（1）存在临界频率 ；（2）光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光频率越高，光电子能量越大，光强只影响光电子数目。光强越大，光电子数目越多。() 时，光一照上，几乎立刻（ ）观测到光电子。这些现象无法用经典理论解释。三原子的线状光谱及原子的稳定性氢原子谱线频率的巴耳末公式： , 叫波数。原子光谱为什么不是连续的而是线状光谱？线状光谱产生的机制？现实世界表明，原子是稳定存在的，但按经典电动力学，原子会崩溃。1.2 早期的量子论一普朗克的能量子假设1普朗克公式普朗克在1900年10月19日，提出一新的黑体辐射公式（普朗克公式），它与实验惊人符合。h叫普朗克常数 焦尔.秒。2普朗克的能量子假设对一定频率的电磁波，物体只能以 为单位吸收或发射它，即吸收或发射电磁波只能以“量子”方式进行，每一份能量 叫一能量子。二 爱因斯坦的光量子理论与光的波粒二象性1爱因斯坦的光量子理论爱因斯坦在普朗克量子论的基础上，进一步提出光量子的概念：辐射场是由光量子（光子）组成，即光具有粒子的特性，光子既有能量又有动量， ，波矢 , n表示沿光子运动方向的单位矢量， 。 2 爱因斯坦公式， 叫脱出功，光电效应反映了光具有粒子的特性。 3 康普顿效应高频率X射线被轻元素中电子散射后，波长随散射角的增大而增大，按经典电动力学，电磁波波长散射后波长不变。如将这过程看成光子电子碰撞，康普顿效应可得到圆满解释。利用能量动量守恒和 ， ，可得到康普顿散射公式康普顿效应也反映了光的粒子特性。 4光的波粒二象性牛顿微粒说（发光体发出弹性微粒流）爱因斯坦光量子思想（可解释光的直线前进、反射、折射） （光电效应、康普顿效应），惠更斯波动说（机械波）光的电磁本质（电磁波）（光的干涉、衍射） （不依靠媒质）光的波粒二象性：光的波动说和微粒说从不同侧面揭示了光的本质。光既具有波动性有具有粒子性，这二重性不存在哪个更本质问题。二 玻尔的原子理论1913年丹麦物理学家玻尔提出了半经典半量子的原子理论，成功解释了原子的稳定性、原子的线状光谱，揭示了原子内部的量子特性。玻尔原子理论的中心内容：定态假设，频率条件，量子化条件。1 定态假设原子内部的运动只可能处于一些不连续的稳定状态，称为定态。原子在每一个定态下能量分别都有一定的值，原子的能量只允许取量子化的离散值，称为一个个能级。原子处于定态下，原子内的电子运动有加速度，也不会发生辐射导致原子能量改变。 2 频率条件原子的能量不能任意连续地改变，只能通过从一个定态到另一定态的跃迁而产生跃迁式的改变。原子从一个能量为 的定态跃迁到另一能量为 的定态时，将发射或吸收频率为 的光子。3 量子化条件在量子理论中，角动量必须是 的整数倍，由此可确定每个能级的能量，再结合频率条件可得到巴尔末公式。索末菲将玻尔的量子化条件推广到多自由度情况q为广义坐标，p为对应的广义动量，n为正整数，称为量子数。玻尔的理论是把微观粒子看成经典力学中的质点，把经典力学的规律用在微观粒子中，然后加了些量子化条件，它有局限性。对复杂原子（氦）遇到困难，另外还无法解释谱线强度，量子力学就是在克服这些困难和局限性中发展起来的。玻尔提出的一些最基本的概念（原子能量的量子化、量子跃迁、频率条件等）还是正确的。普朗克、爱因斯坦、玻尔是旧量子论的奠基者。旧量子论正确表达了部分客观事实，揭示了部分微观客体的内在联系，并为新量子论的建立奠定了基础。但旧量子论并没抛弃经典理论，只是在经典理论基础上加上一些量子化条件，因而是半经典半量子的理论，因而有局限性。1.3 量子力学的建立一 微观粒子的波粒二象性1德布罗意波1924年德布罗意在光有波粒二象性的启发下，提出微观粒子也具有波粒二象性的假设，这种与粒子相联系的波叫德布罗意波。波的频率和波长与粒子的能量和动量通过德布罗意公式联系起来。2验证德布罗意波存在的实验（1） 戴维孙革末电子衍射实验电子注正入射到镍单晶上，散射电子束的强度随散射角而改变，当散射角取某些确定值时，强度有最大值，这与X射线的衍射现象相同，这充分说明电子具有波动性。（2） 电子双缝衍射光通过两个窄缝时，会出现衍射条纹，这是光具有波动性的体现。将光源换成电子源，会出现同样的衍射条纹，这是电子具有波动性的又一例证。二 量子力学的建立 量子力学是在19231927年建立起来的，矩阵力学与波动力学几乎同时提出，它们是完全等价的，是同一力学规律的两种不同描述。 波动力学来源于德布罗意物质波的思想，薛定谔进一步推广了物质波的概念，找到了一个量子体系物质波的运动方程：薛定谔方程，它是波动力学的核心。它成功地解释了氢原子光谱等一系列重大问题。相对论和量子力学是20世纪物理学两大进展。以薛定谔方程为核心的量子力学属于非相对论量子力学。非相对论量子力学只能解决微观低速问题，电子的自旋是作为假设引入的。1928年狄拉克建立了电子的相对论波动方程，这个理论适用于电子速度接近光速的情况，电子的自旋自然包含了进去。但这个理论不能处理多电子体系。在高能情况下，粒子会发生相互转化，在此基础上发展起量子场论。第一章 绪论内容小结1 经典物理的困难 黑体辐射，光电效应，原子光谱线系2 旧量子论 普朗克能量子论 爱因斯坦对光电效应的解释,光的波粒二象性光电效应的规律爱因斯坦公式 光子能量动量关系 玻尔的原子理论 定态的假设, 频率条件 , 量子化条件 3.微观粒子的波粒二象性,德布罗意关系 戴维孙,革末等人的电子衍射实验验证了德布罗意关系4 量子力学的建立物质波薛定谔方程非相对论量子力学相对论量子力学量子场论 2.1 波函数的统计解释一 波动粒子二重性矛盾的分析物质粒子既然是波，为什么长期把它看成经典粒子，没犯错误？实物粒子波长很短，一般宏观条件下，波动性不会表现出来。到了原子世界（原子大小约1A）,物质波的波长与原子尺寸可比，物质微粒的波动性就明显的表现出来。传统对波粒二象性的理解：（1）物质波包 物质波包会扩散， 电子衍射，波包说夸大了波动性一面。 （2）大量电子分布于空间形成的疏密波。 电子双缝衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸大了粒子性一面。 对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。二 波函数的统计解释 1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。既描写粒子的波叫几率波。描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。几率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来。微观客体的粒子性反映微观客体具有质量，电荷等属性。而微观客体的波动性，也只反映了波动性最本质的东西：波的叠加性（相干性）。描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随之确定；描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以一定几率出现。设波函数描写粒子的状态，波的强度，则在时刻t、在坐标x到x+dx、y到y+dy、z到z+dz的无穷小区域内找到粒子的几率表示为 ， 应正比于体积 和强度 归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。归一化常数可由归一化条件确定 重新定义波函数， 叫归一化的波函数。在时刻t、在坐标 (x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率称为几率密度，用表示，则归一化的波函数还有一不确定的相因子 ；只有 有限时才能归一化为1。 经典波和微观粒子几率波的区别：（1） 经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；（2） 经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来四倍，就变成另一状态了；而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，将几率波的波幅增大一倍并不影响粒子在空间各点出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子的状态并不改变；（3） 对经典波，加一相因子 ，状态会改变，而对几率波，加一相因子 不会引起状态改变。问题：设波函数为，求在（）范围找到粒子的几率。问题：在球坐标系中，粒子波函数表示为 ，求（a）在球壳 中找到粒子的几率。(b)在 方向的立体角中找到粒子的几率。2.2 态迭加原理波函数的统计解释是波粒二象性的一个表现。微观粒子的波粒二象性还可以通过量子力学的一个基本原理：态迭加原理表现。 经典的波是遵从迭加原理的，两个可能的波动过程与的线性迭加也是一个可能的波动过程。波的干涉、衍射现象可用波的迭加原理解释。量子力学的态迭加原理：如果和是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：（ 是复数）也是这个体系的一个可能状态。电子双缝衍射：设表示电子穿过上面窄缝到达屏的状态，设表示电子穿过下面窄缝到达屏的状态。 表示电子穿过两个窄缝到达屏的状态，则有，电子在屏上某点出现的几率可表示为正是干涉项的存在，才有了衍射条纹。经典的态具有正交性，而量子态具有相干性。薛定谔猫佯谬。推广到更一般情况：当是体系的可能状态，他们的线性迭加： （是复数）也是这个体系的一个可能状态。经典力学质点运动：初始状态（位置、速度） 任意时刻质点的状态量子力学波函数： 初始状态波函数任意时刻波函数的状态薛定谔在1926年建立了薛定谔方程对波函数所满足的方程的要求：(1) 线性方程，迭加原理的要求；(2) 方程系数不含状态参量（动量、能量），各种可能的状态都要满足方程。建立过程：自由粒子波函数所满足的方程推广到一般。自由粒子的波函数为平面波：对时间求偏微商： 对坐标求二次偏微商： 同理得： ， ，将以上三式相加： ，利用自由粒子的能量和动量的关系，我们可得到自由粒子波函数所满足的微分方程：上式中劈形算符： ， 如存在势能，能量和动量的关系是： ，波函数应满足的微分方程是;这个方程称为薛定谔方程。由建立过程可以看出，只需对能量动量关系进行如下代换：， 就可得到薛定谔方程。注意：薛定谔方程是建立起来的，而不是推导出来的，它是量子力学中的一个基本假设，地位同牛顿力学中的牛顿方程。它的正确性由方程得出的结论与实验比较来验证。多粒子体系的薛定谔方程，设体系有N个粒子，分别表示这N个粒子的坐标，体系的状态波函数为： ，体系的势能为，则体系的能量可写成，上式两边乘以波函数，并作代换：， 其中： ，就得到多粒子体系的薛定谔方程：。2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律一连续性方程设描写粒子的状态波函数为：，则几率密度为 几率密度随时间的变化率是由薛定谔方程和其共轭复数方程得， ，将上两式代入得 则： ， 连续性方程。上式两边对空间任意一体积V积分，利用高斯定理得：，应解释为几率流密度矢量。单位时间内体积V中增加的几率，等于从体积V外部穿过V边界面S而流进V内的几率。如果波函数在无穷远处为零，将积分区域V扩展到整个空间，则，即在整个空间内找到粒子的几率与时间无关，这反映了粒子数守恒。如波函数是归一的，则它将保持归一性，而不随时间改变。质量密度： ，质量流密度： 则：，量子力学中的质量守恒定律。同理，定义电荷密度： ，电流密度： ，可得量子力学中的电荷守恒定律。二波函数的标准条件有限性、连续性、单值性 2.5 定态薛定谔方程一定态薛定谔方程当势能与时间无关时，我们可用分离变量法将方程简化，带入： ， 并把方程两边用去除，两边都等于常数E, 可解出：，则，定态波函数。叫定态 薛定谔 方程。表示能量，为哈密顿函数。二定态下的一些特点定态：能量具有确定值；定态波函数所表示的状态。在定态中，几率密度和几率流密度都与时间无关。2.6 一维定态问题一一维定态波函数的一般性质对一维定态问题，薛定谔方程为 定理一：设是方程的一个解，对应能量为E,则也是方程的一个解，对应能量也为E。证明：，对方程两边取复共轭，利用 满足相同的方程，对应的能量都是E。定理二：设具有空间反射不变性，即，如为方程的一个解，对应能量为E；则 也为方程的一个解，对应能量也是E。定理三：当时，如无简并，方程的解有确定的宇称。即偶宇称： ，或奇宇称： 。证明：因为和都是能量E的解，二者应表示同样的状态。因此应只差一常数。 ，则 所以， ， ， 。二一维无限深势阱 ， ， ， ，令 ， 方程的解为： ， 利用边界条件： 得： ，即： ， ，（ 时， ，无物理意义）, 对应的波函数为： 。利用归一化条件： , 得： ，归一化后的波函数为： 。束缚态：无穷远处为零的波函数所描述的状态。基态：体系能量最低的态。三一维线性谐振子一维线性谐振子的势能为 ，体系的薛定谔方程为 ，进行如下变量代换： ， ， 薛定谔方程变为： ，变系数二级常微分方程。，方程变为 ， 解为 ，时， 有限，将 写成如下形式： ，带入原方程 将H按 展成幂级数， 时， 有限,要求幂级数只有有限项。级数只有有限项的条件是： ， 线性谐振子的能级为： ，线性谐振子的能量为分离值，相邻能级的间距为 。零点能： ， 。厄密多项式： 递推公式: (1) （2） （3） （4） 对应的波函数为： ，归一化常数： 四势垒贯穿；薛定谔方程为 ， ， (a) 时令 ， 方程变为： ， ， 在 区域，波函数： 在 区域，波函数： 在 区域，波函数： 对投射波，不应有向左传播的波，即： 。利用波函数及微商在 和 的连续条件，我们有: : : , 解方程组：利用几率流密度公式： 得出入射波 、透射波 、反射波 的几率流密度入射波几率流密度： 透射波几率流密度： 反射波几率流密度： 投射系数： 反射系数： (b) 时令 ， 方程变为： ， 方程的解形式为： 利用边界条件得：其中 双曲正弦函数 ，双曲余弦函数 投射系数： 隧道效应：粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。按经典力学： ，如 ，则动能为负。是无意义的。但在微观世界，由于粒子的波粒二象性，动能和势能是无法同时确定的，上述等式是不成立的。因此可以可出，隧道效应是微观粒子所特有的量子效应。第二章 小结一 波函数的统计解释. (量子力学基本假设)为几率波。 几率密度满足连续性，有限性，单值性。二 态叠加原理： 态叠加原理是微观例子具有波动性的体现。经典粒子的态是具有正交性。三 薛定谔方程 (量子力学基本假设)（1）.薛定谔方程是基本假定，是建立的不是推导的（2）.薛定谔方程是线性方程四 定态薛定谔方程定态：能量有确定的值定态波函数 定态薛定谔方程 .五 一维定态问题（1）.一维无限深势井 本征值 本征函数 （2）.一维线性谐振子 本征值 本征函数 六 连续性方程 几率密度 几率流密度 第二章 例题一求解一位定态薛定谔方程 1试求在不对称势井中的粒子能级和波函数 解 薛定谔方程: 当 , 故有 利用波函数在 处的连续条件由 处连续条件: 由 处连续条件: 给定一个n 值,可解一个 , 为分离能级.2 粒子在一维 势井中的运动 求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数解体系的定态薛定谔方程为当 时对束缚态 解为 在 处连续性要求将 代入得 又 相应归一化波函数为: 归一化波函数为:3 分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为 定态波函数实际是能量本征函数 定态薛定谔方程存在定态解 求束缚态的能级所满足的方程解 束缚态下粒子能量的取值范围为 当 时 当 时 薛定谔方程为 令 解为 当 时 令 解为当 时 薛定谔方程为 令 薛定谔方程为解为由 波函数满足的连续性要求,有 要使 有非零解 不能同时为零 则其系数组成的行列式必须为零 计算行列式,得方程第一节力学量算符一. 算符算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。用 表示一算符。 二力学量算符1.坐标的算符就是坐标本身： 2.动量算符： , , 3.动能算符 4.哈密顿算符： 5.角动量算符： 如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式 中将 换成算符得出 算符和它所表示的力学量的关系？第二节算符基本知识一 线性算符 满足运算规则 的算符 称为线性算符。二 单位算符 保持波函数不改变的算符 三 算符之和 加法交换律 加法结合律 两个线性算符之和仍为线性算符。四 算符之积 定义: 算符 与 的积 为 注意: 一般说算符之积不满足交换律，即： 这是与平常数运算规则不同之处。五 逆算符设 能唯一解出 ，则定义的逆算符 为： 注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。 ， 六 算符的复共轭，转置，厄密共轭1 两个任意波函数 与 的标积 2 复共轭算符算符 的复共轭算符 为：把 的表示式中所有复量换成其共轭复量 3 转置算符 定义: 算符 的转置算符 满足： 即： 4 厄密共轭算符算符 的厄密共轭算符 定义为 即 算符 的厄密共轭算符即是 的转置复共轭算符 5. 厄密算符厄密算符是满足下列关系的算符 注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符例：证明 是厄密算符 证： 为厄密算符， 为厄密算符第三节 力学量算符的本征值与本征函数一 厄密算符的本征值与与本征函数设体系处于 测量力学量O，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为 如 为厄密算符， 也是厄密算符 存在这样一种状态，测量力学量 所得结果完全确定。即 . 这种状态称为力学量 的本征态。在这种状态下 称为算符的一个本征值， 为相应的本征函数。二 力学量算符的性质1. 力学量算符是厄密算符 量子力学的一个基本假定: 测量力学量 时，所有可能出现的值，都是力学量算符 的本征值。 厄密算符的本征值必为实数证： 设 为厄密算符 取 是实数表示力学量的算符为厄密算符2力学量算符为线性算符 态叠加原理决定了力学量算符为线性算符 【证】： 设 也应是体系的态 即 为线性算符三 厄密算符本征函数的性质1正交性厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。如果两函数 和 满足 积分是对变量变化的全部区域进行,则称 与 相互正交。 证: 已知 为实数 由厄密算符性质 这里只考虑分离谱,对连续谱也是成立的 对归一化的本征函数 分离谱 连续谱这样的本征函数构成正交归一系.2. 完备性设 为代表某力学量的厄密算符,它的正交归一本征函数系为 ,对应的本征值为 则任一函数 可按 展开 本征函数的这种性质称为完备性与x无关,利用 的正交归一性,将 等式两边，对x在整个区域积分 即: 如 总归一化 讨论:当 是算符 的一本征函数时,即 即 其它系数为零,这时测量力学量的测量值必是 当 不是 的本征函数时, 可按本征函数展开 , 测量力学量的结果是本征值之一,测量结果为 的几率为 波(态)函数可以完全描述微观粒子的状态 量子力学关于力学量与算符的关系的一个基本假定: 量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符,它们的本征函数组成完全系,当体系处于波函数 所描写的状态时,测量力学量F所得的数值必定是算符 的本征值之一,测得 的几率是 四 力学量算符的平均值.对于一态 ,将其按某力学量的本征函数集 展开 是归一化的出现本征值 的几率为 ,则按由几率求平均值的法则 上式可改写为 是归一化的证明 如未归一化： 如本征值是连续谱 定理: 在任何状态下,厄密算符的平均值都是实数证明 逆定理:在任何状态下平均值为实数的算符为厄密算符例1:设 为厄密算符, 则 证明 第四节几种典型力学量算符的本征函数一. 坐标算符 即 为坐标 算符本征值为 的本征函数。二. 动量算符 动量算符的本征值方程 ， ， 它们的解 如何确定归一化系数C 这是由于本征值 可取任意值，动量本征值组成连续谱,可以看出在空间任意一点本征值出现的几率都是一样的.对连续谱的本征函数,我们一般将函数归一化 函数 = 取 , 归一化为 函数 归一化的动量本征函数为 箱归一化:如给波函数加上边界条件,即粒子被限制在一正方形箱中,边长为L，要求波函数在两个相对的箱壁上对应点具有相同的值 ， ， 同理： ， ， 为正负整数或零。本征值谱由分离变为连续.加进周期性边界条件后,动量本征函数可归一化为1，归一化常数为 。 归一化波函数为 三. 角动量算符 ， ， 用球坐标表示： ， ， 可以看出角动量算符只与 有关1. 的本征函数 ， 解出 应满足边界条件 exp =1 ， 归一化后， 是 的本征值为 的归一化本征函数。 2角动量 的共同本征态：球谐函数的共同本征函数为球谐函数： 轨道角量子数 磁量子数 具体表达式： 是正交归一的： 对应于 的一个本征值 有 个不同的本征函数。我们把对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况称为简并。 的本征值是 度简并。第五节算符的对易关系共同本征态函数测不准关系一.量子力学的基本对易关系 记 1. 坐标与动量算符的对易关系 为任意波函数,所以 同理 概括起来 2. 角动量算符的对易关系式 同理可证常用的对易关系式 二.共同本征态 如两算符 , 满足 . 称 对易定理: 如果两算符 有一组共同本征函数 ，而且 组成完全系，则 对易证 设 是任一波函数 逆定理: 如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数上述定理可推广到两个以上情况。 它们的共同本征函数完全集是 相互对易，它们有共同本征函数 要完全确定体系所处的状态，需要有一组相互对易的力学量，这一组完全确定体系状态的力学量，称为力学量完全集。完全集合中力学量的数目一般与体系自由度数目相符。从对易关系可以看出，普朗克常数在力学量对易关系中占有重要地位。体系微观规律与宏观规律之间差异，如 在所讨论问题中可略去，则坐标，动量，角动量之间都对易，这些力学量同时有确定值，微观体系就过渡到宏观体系。三测不准原理设两算符 对易关系为令 考虑积分 是实参数 都是厄密算符 不等式成立的条件是 对坐标和动量 例：通过测不准原理关系说明线性谐振子的零点能【解】 振子的平均能量是 和 不能同时为零 最小值不能为零为求最小值，测不准关系取等号 得出的最小值 ，测不准关系是量子力学中的基本关系，它反映了微观粒子波粒二象性。第六节电子在库仑场中的运动氢原子一 电子在库仑场中的运动核（Ze）， 核外电子(-e)氢原子 Z=1类氢原子 Z1势能 薛定谔方程 分离变量法 径向方程的解 与角度部分有关的解 n主量子数 轨道角动量量子数 m磁量子数 可以看出能量本征值是和n有关，对应于第n个能量 有 个波函数电子第个能级是 度简并的。二氢原子对氢原子应考虑核运动，这是一两体问题薛定谔方程 相对坐标 质心坐标 约化质量分离变量 带入方程用 除方程两边 与坐标无关 式描述质心运动，这是能量为 的自由粒子的定态薛定谔方程。式是电子相对于核运动的波函数所满足的方程，即是一个质量为 的粒子在势能为 的力场中运动，这里我们只需要把前面结果中Z的取为1，把电子质量换成约化质量即可氢原子能级 能级随n增大而增大 电子电离电离能 =13.60 =13.597 ( 取约化质量)电子由能级 跃迁到 时辐射出光的频率 里德伯常数 R=10973731.1/mR=10967758/m （约化质量） 电子按半径r的分布几率 玻尔电子轨道半径的本质：分布几率出现极值的地方。第七节力学量随时间变化与守恒定律一 力学量平均值随时间的变化，守恒量 在量子力学中，处于一定状态 下的体系在每一时刻不是所有力学量都有确定值，只是具有确定的平均值及几率分布 有薛定谔方程 若力学量 不是含t 则 ， 。如 又和 对易 即 ， 则： 满足上式，即力学量平均值不随时间变化的力学量称为守恒量，守恒量的几率分布不随时间改变。证：设 为守恒量,则 ，取 的一组共同本征态 对任一态 按 展开 总结：如果 是与 对易的不含t的力学量（守恒量）则在体系的任何态下， 平均值不随时间改变在体系的任何态下， 的几率分布不随时间改变。（3）若初始时刻，体系处于守恒量 的一个本征态，则以后仍将保持该本征态，若初始时刻，体系不处于 本征态，则以后状态也不是 本征态。例：（1）自由粒子的动量动量守恒 动量 守恒（2）中心力场中运动的粒子角动量守恒 只与 有关 角动量平方及角动量分量都是守恒量。(3)哈密顿不现含时间的体系能量守恒 能量守恒（4）哈密顿对空间反演不变时的宇称守恒 空间反演 宇称算符 的本征值是1， 的本征值是 （偶宇称）（奇宇称）设体系的哈密顿算符 在空间反演后不变则 和 可以有共同本征函数。宇称守恒定律: 体系能量本征函数可以有确定宇称且不随时间改变。守恒量与定态的区分：1. 定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则是体系的一种特殊的力学量，即不显含时间与 对易的力学量2. 在定态下，不显含t的一切力学量（不管是不是守恒量）的平均值及几率分布均不随时间改变，而力学量只要是守恒量，则在一切状态下（不管是不是定态），它的平均值和几率分布都不随时间改变。 第三章小结一.力学量用算符表示 ,