2020届湖南师大属中高三上学期第二次月考数学（理）试题（PDF解析版）

1 数 学 理科 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的 1 已知集合 A x x2 2x 31 则 BA A A 3 B 3 C 1 3 D 1 3 解析 A x x2 2x 3 0 x 1 x1 x x 1 BA 3 故选 A 2 已知函数 f x x2 bx c 则 c 0 是 x0 R 使 f x0 0 的 A A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 已知函数 f x x2 bx c 则 c 0 时 函数与 x 轴有两个交点 所以 x0 R 使 f x0 0 成立 而 x0 R 使 f x0 0 即 x2 bx c 0 b2 4c 0 即 b2 4c c 不一定有 c 0 综上 函数 f x x2 bx c 则 c 0 是 x0 R 使 f x0 0 的充分不必要条件 故选 A 3 设 a log48 b log0 48 c 20 4 则 A A b c a B c b a C c a b D b a c 解析 b 的底数大于 0 小于 1 而真数大于 1 b 0 a log48 3 2 c 2 0 4 20 5 2c b 故选 A 4 若平面区域 x y 3 0 2x y 3 0 x 2y 3 0 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间 则这两条平行直线间的距离的最小 值为 B A 3 5 5 B 2 C 3 5 2 D 5 解析 作出平面区域如图所示 当直线 y x b 分别经过 A B 时 平行线间的距离最小 联立方程组 x y 3 0 2x y 3 0 解得 A 2 1 2 联立方程组 x y 3 0 x 2y 3 0 解得 B 1 2 两条平行线分别为 y x 1 y x 1 即 x y 1 0 x y 1 0 平行线间的距离为 d 1 1 2 2 故选 B 5 函数 y e x 4x的图象可能是 C 解析 令 y f x e x 4x 则 f x e x 4 x e x 4x f x 则函数 y f x e x 4x为奇函数 故函数图 象关于原点对称 排除 B 当 x 1 时 y e 4 排除 A 当 x 时 e x 4x 排除 D 故选 C 6 如果执行如图所示的程序框图 则输出的数 S 不可能是 A A 0 7 B 0 75 C 0 8 D 0 9 解析 此程序框图执行的是输入一个正整数 n 求 1 1 2 1 2 3 1 n n 1 的值 S 并输出 S S 3 1 1 2 1 2 3 1 n n 1 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n 1 n n 1 令 S 等于 0 7 解得 n 7 3不是正整数 而 n 分别输入 3 4 9 时 可分别输出 0 75 0 8 0 9 故选 A 7 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 例如 他们研究过图 1 中的 1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形数 类似地 称图 2 中的 1 4 9 16 这样的数成为正方形数 下列数中既是三角形数又是正方形数的是 C A 289 B 1024 C 1225 D 1378 解析 由图形可得三角形数构成的数列通项 an n 2 n 1 同理可得正方形数构成的数列通项 bn n 2 则由 bn n2 n N 可排除 D 将 A B C 选项代入 an n 2 n 1 验证知只有 1225 符合 故选 C 8 已知 A B 是圆 O x2 y2 16 上的两个动点 AB 4 OC 5 3OA 2 3OB 若 M 是线段 AB 的中点 则OC OM 的值为 C A 8 4 3 B 8 4 3 C 12 D 4 解析 因为 M 是线段 AB 的中点 所以OM 1 2OA 1 2OB 从而OC OM 5 3OA 2 3OB 1 2OA 1 2OB 5 6OA 2 1 3OB 2 1 2OA OB 由圆的方程可知圆 O 的半径为 4 即 OA OB 4 又因为 AB 4 所以 OA OB 60 故OA OB 8 所以OC OM 12 9 点 A B 为椭圆 E x2 a2 y2 b2 1 a b 0 长轴的端点 C D 为椭圆 E 短轴的端点 动点 M 满足 MA MB 2 若 MAB 面积的最大值为 8 MCD 面积的最小值为 1 则椭圆的离心率为 D A 2 3 B 3 3 C 2 2 D 3 2 解析 设 A a 0 B a 0 M x y 动点 M 满足 MA MB 2 则 x a 2 y2 2 x a 2 y2 化简得 x 5a 3 2 y2 16a2 9 MAB 面积的最大值为 8 MCD 面积的最小值为 1 4 1 2 2a 4 3a 8 1 2 2b 1 3a 1 解得 a 6 b 6 2 椭圆的离心率为1 b2 a2 3 2 故选 D 10 如图所示 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 P 是 A1B 上一动点 则 AP D1P 的最小值 为 D A 2 B 6 2 2 C 2 2 D 2 2 解析 把对角面 A1C 绕 A1B 旋转 使其与 AA1B 在同一平面上 连接 AD1 则在 AA1D 中 AD1 1 1 2 1 1 cos 135 2 2为所求的最小值 故选 D 11 已知函数 f x x2 2ln x 与 g x sin x 0 有两个公共点 则在下列函数中满足条件的周 期最大的 g x C A sin 2 x 2 B sin 2x 2 C sin x 2 D sin x 2 解析 因为 f x x2 2ln x 为偶函数 所以当 x 0 时 f x x2 2ln x 则 f x 2x 2 x 2 x 1 x 1 x 所以 f x 在 0 1 上单调递减 在 1 上单调递增 所以当 x 1 时 f x min f 1 1 所以当 x 0 时 f x min f 1 1 所以 g x 的最大周期是 2 所以 T 2 2 又 g x 恰好在 x 1 和 x 1 处取得最大值 1 故 2 故选 C 12 设 D 是含数 1 的有限实数集 f x 是定义在 D 上的函数 若 f x 的图象绕原点逆时针旋转 6后与原 图象重合 则在以下各项中 f 1 的可能取值只能是 B 5 A 3 B 3 2 C 3 3 D 0 解析 记点 1 f 1 为点 A1 若 f x 逆时针旋转 6后与原图象重合 则 A1绕原点逆时针旋转 6后的 对应点 A2在 f x 图象上 同时有 A2绕原点逆时针旋转 6后的对应点 A3也在 f x 图象上 以此类推 则 f x 的图象上至少有以原点为圆心的一个圆周上的 12 等分的 12 个点 当 f x 取值为 3时 因为 OA1与 x 轴正半轴夹角为 3 其逆时针旋转 6时形成的 12 个散点中 由圆的 对称性知 点 A1和 A9的横坐标相同 即在同一个 x 处同时存在 2 个 f x 值 不符合函数定义 故 A 项错 误 同理 当 f x 3 3和 0 时亦不符合函数定义 故 C D 项错误 故 f x 的可能取值只能是 3 2 故正确答案为 B 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 定积分 0 1 1 x 1 2dx 4 解析 0 1 1 x 1 2dx 表示半径为 1 的四分之一圆的面积 14 在公差大于 0 的等差数列 an 中 2a7 a13 1 且 a1 a3 1 a6 5 成等比数列 则数列 1 n 1a n 的前 21 项和为 21 解析 公差 d 大于 0 的等差数列 an 中 2a7 a13 1 可得 2a1 12d a1 12d 1 即 a1 1 由 a1 a3 1 a6 5 成等比数列 可得 a3 1 2 a1 a6 5 即为 1 2d 1 2 1 5d 5 解得 d 2 负值舍去 则 an 1 2 n 1 2n 1 n N 所以数列 1 n 1an 的前 21 项和为 a1 a2 a3 a4 a19 a20 a21 1 3 5 7 37 39 41 2 10 41 21 15 若函数 y f x 的图象上存在两个点 A B 关于原点对称 则称点对 A B 为 y f x 的 友情点对 点对 A B 与 B A 可看作同一个 友情点对 若函数 f x 2 x 0 x3 6x2 9x a x 0恰好有两个 友情 点对 则实数 a 的值为 2 6 解析 由题意可知 x3 6x2 9x a 2 在 0 上有两解 即 a x3 6x2 9x 2 在 0 上有两解 设 g x x3 6x2 9x 2 则 g x 3x2 12x 9 令 g x 0 得 x 1 或 x 3 当 0 x0 当 1 x 3 时 g x 3 时 g x 0 g x 在 0 1 上单调递增 在 1 3 上单调递减 在 3 上单调递增 当 x 1 时 g x 取得极大值 g 1 2 当 x 3 时 g x 取得极小值 g 3 2 作出 g x 的函数图象如图所示 a x3 6x2 9x 2 在 0 上有两解 a 2 16 点 M 为棱长是 2 2的正方体 ABCD A1B1C1D1的内切球 O 球面上的动点 点 N 为 B1C1的中点 若满足 DM BN 则动点 M 的轨迹的长度为 4 10 5 解析 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1的内切球 O 的半径 R 2 由题意 取 BB1的中点 H 连接 CH 则 CH NB DC NB NB 平面 DCH 动点 M 的轨迹就是平面 DCH 与内切球 O 的交线 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长是 2 2 O 到平面 DCH 的距离为 d 2 5 截面圆的半径 r R 2 d2 2 2 5 7 所以动点 M 的轨迹的长度为截面圆的周长 2 r 4 10 5 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试 题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 cos A 2cos C cos B 2c a b 1 求 sin C sin A的值 2 若 cos B 1 4 b 2 求 ABC 的面积 S 解析 1 由正弦定理 得 2c a b 2sin C sin A sin B 2 分 所以 cos A 2cos C cos B 2sin C sin A sin B 即 cos A 2cos C sin B 2sin C sin A cos B 化简可得 sin A B 2sin B C 4 分 又 A B C 所以 sin C 2sin A 因此 sin C sin A 2 6 分 2 由 sin C sin A 2 得 c 2a 由余弦定理 b 2 a2 c2 2accos B 及 cos B 1 4 b 2 得 4 a2 4a2 4a2 1 4 解得 a 1 从而 c 2 9 分 又因为 cos B 1 4 且 0 B 所以 sin B 15 4 10 分 因此 S 1 2acsin B 1 2 1 2 15 4 15 4 12 分 18 本小题满分 12 分 某种产品的质量以其质量指标值衡量 并依据质量指标值划分等级如下表 质量指标值 m m 185 185 m 0 t R 又 B 1 2 0 C 1 2 0 所以OF 0 t s BF 1 t 2 s 6 分 由 1 知 OF BC 故 OF 与平面 BCF 垂直 等价于 OF BF 故OF BF 0 从而 t t 2 s2 0 即 t2 2t s2 0 直线 l 上存在唯一一点 F 使得直线 OF 与平面 BCF 垂直 即关于 t 的方程有唯一实数解 所以 4 4s2 0 解得 s 1 此时 t 1 8 分 故点 E 的坐标为 0 0 1 点 F 的坐标为 0 1 1 因为 OF 平面 FBC 所以 OF BF 且 OF CF 所以 BFC 即二面角 B OF C 的平面角 10 分 因为FB 1 1 1 FC 1 1 1 所以 cos BFC FB FC FB FC 1 3 即若直线 l 上存在唯一一点 F 使得直线 OF 与平面 BCF 垂直时 二面角 B OF C 的余弦值为 1 3 12 分 10 20 本小题满分 12 分 已知抛物线 C 的顶点为 O 0 0 焦点 F 为 0 1 1 求抛物线 C 的方程 2 过点 F 作直线交抛物线 C 于 A B 两点 若直线 AO BO 分别交直线 l y x 2 于 M N 两点 求 MN 的最小值 解析 1 由已知可设抛物线的方程为 x2 2py p 0 则 p 2 1 p 2 所以抛物线 C 的方程是 x2 4y 2 分 2 设 A x1 x12 4 B x2 x22 4 所以 kAO x1 4 kBO x2 4 所以直线 AO 的方程是 y x1 4x 由 y x1 4x y x 2 xM 8 4 x1 同理由 y x2 4x y x 2 xN 8 4 x2 所以 MN 1 12 xM xN 2 8 4 x1 8 4 x2 8 2 x1 x2 16 4 x1 x2 x1x2 5 分 设 AB y kx 1 由 y kx 1 x2 4y x2 4kx 4 0 x1 x2 4k x1x2 4 且 x1 x2 x1 x2 2 4x1x2 4 k2 1 代入 得到 MN 8 2 4 k2 1 16 16k 4 8 2 k2 1 4k 3 7 分 设 4k 3 t t 0 则 k 3 t 4 当 t 0 时 MN 8 2 25 t2 6t 4t 2 2 1 25 t2 6 t 2 2 9 分 当 t0 存在唯一的 s 使 t f s 3 设 2 中所确定的 s 关于 t 的函数为 s g t 证明 当 t e2时 有 2 5 ln g t ln t 1 2 解析 1 函数 f x 的定义域为 0 f x 2xln x x x 2ln x 1 令 f x 0 得 x 1 e 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 0 1 e 1 e 1 e f x 0 f x 极小值 所以函数 f x 的单调递减区间是 0 1 e 单调递增区间是 1 e 2 分 2 证明 当 00 令 h x f x t x 1 由 1 知 h x 在区间 1 内单调递增