浙江工商大学高等数学导数应用习题详解.doc

1.填空: 设常数,函数在(0,)内零点的个数为. 解 令得唯一驻点. 当时,故单调增加;当时,故单调减少.从而为极大值,亦即最大值.因为,由 , 及的单调性知在(0,)与(,)内分别有一个零点. 2.选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设在0,1上,则,或几个数的大小顺序为( ). () () () () 解 应选.由于0,1上,故在0,1上单调增加.由拉格朗日中值定理知:(0,1),使.由于,所以,故()正确.3.列举一个函数满足:在,上连续,在(,)内除某一点外处处可导,但在(,)内不存在点,使. 解 取, 1,1,则在1,1上连续,且 即在1,1上除外处处可导.而.所以要使成立,必须=.显然,在(1,1)内满足这样条件的点是不存在的.4.设,求. 解 对在,(或,)上应用拉格朗日中值定理,有 ,其中介于与之间,当时,所以 . 5.证明多项式在0,1上不可能有两个零点.证 假设在0,1上有两个零点,即,不妨设.对在,上应用罗尔定理知, , .即在(0,1)内至少有一个零点,但 , (0,1).矛盾!所以在0,1上不可能有两个零点. 6.设,证明多项式 在(0,1)内至少有一个零点. 证 设,则.又 , .故由罗尔定理知:(0,1),使,即在(0,1)内,多项式至少有一个零点. 8.设,函数在,上连续,在(,)内可导,试利用柯西中值定理,证明存在一点(,)使 . 分析 将所需证的等式变形为 .上式右边的分母是的导数,而左边分母恰是函数在,的函数值的差,故用柯西中值定理. 证 设,则,在,上满足柯西中值定理的条件,于是(,)使得 成立,从而 成立. 注 如下证法是错误的: 设,因为及在,上都满足拉格朗日中值定理的条件,所以有 , ,.上两式相除得 ,.即,(,),使得成立. 上面证法的错误在于忽略了:两个不同函数在,上运用拉格朗日中值定理所得的,一般是不同的,即 , ,因此所述证法是错误的.9.设,都是可导函数,且,证明:当时,. 证 由于,故单调递增.当时,有.对,在,上应用柯西中值定理,有 ,.于是 ,因为,故 ,即 . 10.求下列极限: (1). 解 原式=. (2). 解 原式=. (3). 解 原式=. (4)(其中,). 解 原式=. 11.证明下列不等式: (1)当时,. 证 设, .则 ,因为时,故,所以时,即在,是单调递增的. 当时,有,即 , 亦即 . (2)当时,. 证 设,则 , .故在0,上单调增加.所以,当时,即 . 12.设求的极值. 解 当时, , 当时, , 当时, , = =,故不存在.所以 令得驻点.又当时,;当时,.所以,在处取得极小值,极小值为.在一阶导数不存在的点处,因为时,;时,所以在处取得极大值,极大值为. 13.求椭圆上纵坐标最大和最小的点. 解 方程两边对求导得 ,解得 . 令得,代入原方程解得驻点为. 当时,这时对应的切线垂直于轴.将代入原方程解得,.即椭圆上点(2,1)和(-2,-1)处的切线均与轴垂直,由此可知:和是此椭圆对应的区间的边界点.比较 , , , .可知函数在取得最大值,在取得最小值.所以,椭圆上纵坐标最大的点为(1,2);纵坐标最小的点为(-1,-2). 14.求数列的最大项. 解 设(),则 ,由得唯一驻点.又当时,;当时,.所以,为的极大值点,亦是最大值点,最大值为. 由此可知,该数列中的最大项只能从和中选择,而,所以该数列的最大项为. 15.曲线弧(上哪一点处的曲率半径最小?求出该点处的曲率半径. 解 , . , . 令得唯一驻点.列表讨论如下:(0,)(,)+0-1极大由此可知为曲率的极大值点,亦即最大值点,同时它也是曲率半径函数的最小值点,这也就是说,曲线上点处的曲率半径最小,最小的曲率半径为 . 17.设存在,证明 . 证 反复使用洛必达法则,有 = =+ =. 18.设存在,且,证明 () 证 = = = =.即 , (). 19.设在(,)内二阶可导,且.证明对于(,)内任意两点,及,有 . 证 不妨设,令,则在点的一阶泰勒公式为 ,其