2016年湘教新版九年级上册《第4章锐角三角函数》含单元测试卷答案解析

2016年湘教新版九年级上册第 4章锐角三角函数含单元测试卷答案解析 一选择题（共 10小题） 1利用计算器求 ，依次按键 ，则计算器上显示的结果是( ) A 1 2 C=90，已知 ，那么 ) A B C D 3已知 ， 45 90，则 ) A B C D 4在 C=90， ，则 ) A B C D 5在 C=90， ，则 ) A B C D 6 a、 b、 A、 B、 果 a2+b2=么下列结论正确的是 ( ) A c B a C b D 7在 C=90， A、 B、 a、 b、 c，下列等式中不一定成立的是 ( ) A b= a= D a=如果 么 ( ) A 0 A30 B 30 A 45 C 45 A 60 D 60 A90 9若锐角 满足 且 ，则 的范围是 ( ) A 30 45 B 45 60 C 60 90 D 30 60 10下面四个数中，最大的是 ( ) A B C D 二填空题（共 8小题） 11用 “ ”或 “ ”填空： _0（可用计算器计算） 12已知 ，那么 _ 13在 C=90， ，则 _ 14如图， _ 15如图，当小杰沿坡度 i=1： 5的坡面由 行走了 26米时，小杰实际上升高度_米（可以用根号表示） 16如图，在 菱形 ， ， 线段 _ 17如图 1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图 2所示的几何图形，已知 D=15 0，则点 _考数据 果精确到 用科学计算器） 18如图，为了测量楼的高度，自楼的顶 部 ，俯角为 30，已知地面上的这点与楼的水平距离 0m，那么楼的高度 _m（结果保留根号） 三解答题（共 8小题） 19在 B、 C 均为锐角，其对边分别为 b、 c，求证： = 20计算： 2 32 温馨提示：你只需选择下列一种方式来解答本题如果两种方式都做，我们将根据做得较好的一种来评分，但你有可能会浪费一部分时间！ 方式一：（用计算器计算）计算的结果是 _ 按键顺序为：方式二：（不用计算器 计算） 21计算： 6 222（ 1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律； （ 2）根据你探索到的规律，试比较 18， 34， 52， 65， 88，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小； （ 3）比较大小：（在空格处填写 “ ”或 “ ”或 “=”） 若 =45，则 45，则 45，则 （ 4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小： 23如图，在所示的直角坐标系中， 坐标是（ 6， y），且 的正切值是 ，求角 的正弦值 24如图， ， ， 求： （ 1） （ 2） 25为响应国家的 “节能减排 ”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图， 它的大灯 B、 N 的夹角分别为 22和 31， 足为 T，大灯照亮地面的宽度 m （ 1）求 考虑其他因素） （ 2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是 发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离某人以 20km/做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是 ，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由 （参考数据： ， ， ， ） 26如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是 10米， 面 为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面 i= ： 3若新坡角外需留 3米宽的人行道，问离原坡角（ 10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据： 湘教新版九年级上册第 4章 锐角三角函数 2015年单元测试卷 一选择题（共 10小题） 1利用计算器求 ，依次按键 ，则计算器上显示的结果是( ) A 1 【考点】 计算器 三角函数 【分析】 本题要求同学们能熟练应用计算器 【解答】 解：依次按键 ，显示的是 值，即 故选 A 【点评】 本题结合计算器的用法，旨在考查特殊角三角函数值，需要同学们熟记有关特殊角的三角函数值 2 C=90，已知 ，那么 ) A B C D 【考点】 同角三角函数的关系 【分析】 根据 设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理 求出第三边长的表达式即可推出 【解答】 解： 知，设 b=3x，则 c=5x，根据 a2+b2=a=4x = = 故选 A 【点评】 求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值 3已知 ， 45 90，则 ) A B C D 【考点】 同角三角函数的关系 【分析】 利用完全平方公式将原式转化为关于同 角的三角函数的关系 来进行解答 【解答】 解： 45 90， 0 又 （ 2=2 = ， = 故选 B 【点评】 本题利用了同角的三角函数的关系 来进行变形，注意角的范围， 的 4在 C=90， ，则 ) A B C D 【考点】 互余 两角三角函数的关系 【专题】 计算题 【分析】 根据题意作出直角 后根据 ，设一条直角边 x，斜边 3x，根据勾股定理求出另一条直角边 后根据三角函数的定义可求出B 【解答】 解： ， 设 x， 3x， 则 =12x， 故 B= = 故选： D 【点评】 本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用 5在 C=90， ，则 ) A B C D 【考点】 互余两角三角函数的关系 【分析】 根据三角函数定义解答 【解答】 解：在 C=90， ， 设 x，则 x， x = 故选 C 【点评】 本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 6 a、 b、 A、 B、 果 a2+b2=么下列结论正确的是 ( ) A c B a C b D 【考点】 锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理 【分析】 由于 a2+b2=据勾股定理的逆定理得到 C=90，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项 【解答】 解： a2+b2= C=90， ， 即 a， 故选 B 【点评】 本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理 7在 C=90， A、 B、 a、 b、 c，下列等式中不一定成立的是 ( ) A b= a= D a=考点】 锐角三角函数的定义 【专题】 应用题 【分析】 根据三角函数的定义就可以解决 【解答】 解： C=90， A、 B、 a、 b、 c， A、 ，则 b=本选项正确， B、 ，故本选项正确， C、 ，故本选项正确， D、 ，故本选项错误， 故选 D 【点评】 此题考查直角三角形中两锐角的三角函数之间的关系，难度适中 8如果 么 ( ) A 0 A30 B 30 A 45 C 45 A 60 D 60 A90 【考点】 锐角三角函数的增减性 【分析】 由 = 的增大而增大，即可求得答案 【解答】 解： = 的增大而增大， 30 A 45 故选 B 【点评】 此题考查了正弦函数的增减性与特殊角的 三角函数值此题难度不大，注意掌握的增大而增大 9若锐角 满足 且 ，则 的范围是 ( ) A 30 45 B 45 60 C 60 90 D 30 60 【考点】 锐角三角函数的增减性 【专题】 应用题 【分析】 先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出 45 90；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出 0 60；从而得出 45 60 【解答】 解： 是锐角， 0， ， 0 ， 又 0， ， 45 90； 是锐角， 0， ， 0 ， 又 0， ， 0 60； 故 45 60 故选 B 【点评】 本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键 10下面四个数中，最大的是 ( ) A B C D 【考点】 计算器 三角函数；无理数 【专题】 计算题 【分析】 利用计算器求出数值，再计算即可 【解答】 解： A、 B、 C、 D、 故 大， 故选： C 【点评】 本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力 二填空题（共 8小题） 11用 “ ”或 “ ”填空： 0（可用计算器计算） 【考点】 计算器 三角函数 【分析】 熟练应用计算器， 对计算器给出的结果，精确到千分位，再根据有理数的大小比较，可得答案 【解答】 解： =0， 故答案为： 【点评】 本题考查了计算器，结合算器的用法，再取近似数 12已知 ，那么 0A 90 【考点】 锐角三角函数的增减性 【专题】 常规题型 【分析】 首先明确 ，再根据余弦函数值随角增大而减小进行分析 【解答】 解： ，余弦函数值随角增大而减小， 当 时， A60 又 60 A 90 故答案为： 60A 90 【点评】 本题考查了锐角三角函数的增减性熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键 13在 C=90， ，则 【考点】 同角三角函数的关系 【分析】 根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答 【解答】 解：由 = 知，可设 a=3x，则 c=5x， b=4x = = 【点评】 求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值 14如图， 【考点】 锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理 【分析】 首先连接 勾股定理易求得 2+32=10， 2+32=10， 2+42=20，然后由勾股定理的逆定理，可证得 而可求得 【解答】 解：连接 2+32=10， 2+32=10， 2+42=20， B， 0， 5， 故答案为： 【点评】 此题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理以及勾股定理的逆定理此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用 15如图，当小杰沿坡度 i=1： 5的坡面由 行走了 26米时，小杰实际上升高度 （可以用根号 表示） 【考点】 解直角三角形的应用 【专题】 数形结合 【分析】 由坡度易得 ： 5，设出相应未知数，利用勾股定理可得 【解答】 解： 坡度 i=1： 5， ： 5， 设 x，则 x， 5x） 2=262， x 0， x= 故答案为： 【点评】 本题考查了解直角三角形及勾股定理；理解坡度的意义是解决本题的关键 16如图，在菱形 ， ， 线段 【考点】 解直角三角形；菱形的性质 【专题】 计算题 【分析】 设菱形 x，则 C=x，又 ，所以 BE=x 2，解直角 可求得 据 可求得 【解答】 解：设菱形 x，则 C=x，又 ，所以 BE=x 2， 因为 ， 所以在 ，又 ， 于是 ， 解得 x=10，即 0 所以易求 ， ， 当 故由三角形面积公式有： E= E， 求得 故答案为 【点评】 本题考查了余弦函数在直角三角形中的运用、三角形面积的计算和最小值的求值问题，求 17如图 1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图 2所示的几何图形，已知 D=15 0，则点 考数据 果精确到 用科学计算器） 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 作 E，根据等腰三角形的性质和 0，求出 度数，根据余弦的定义求出 【解答】 解：如图 2，作 E， D， 0， 0， 在 ， C15 故答案为： 【点评】 本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键 ，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的重要环节 18如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部 ，俯角为 30，已知地面上的这点与楼的水平距离 0m，那么楼的高度 0 m（结果保留根号） 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 由题意得，在直角三角形 道了已知角的邻边求对边，用正切函数计算即可 【解答】 解： 自楼的顶部 ，俯角为 30， 0， B30 =10 （米） 楼的高度 0 米 故答案为： 10 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形 三解答题（共 8小题） 19在 B、 C 均为锐角，其对边分别为 b、 c，求证： = 【考点】 锐角三角函数的定义 【专题】 证明题 【分析】 如图，过 D ，如果利用三角函数可以分别在 此即可证明题目的结论 【解答】 证明：过 D ， 在 ， 在 ， 而 AB=c， AC=b， = 【点评】 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边解题的关键是作辅助线把普通三角形转化为直角三角形解决问题 20计算： 2 32 温馨提示：你只需选择下列一种方式来解答本题如果两种方式都做，我们将根据做得较好的一种来评分，但你有可能会浪 费一部分时间！ 方式一：（用计算器计算）计算的结果是 9 按键顺序为：方式二：（不用计算器计算） 【考点】 计算器 三角函数；特殊角的三角函数值 【专题】 计算题 【分析】 选择不用计算器计算，简便且节约时间 【解答】 方式一：（用计算器计算） 计算的结果是 9 按键顺序为：（以卡西欧计算器为例） 方式二：（不用计算器计算） 原式 = 9 = 9 = 9 【点评】 主要考查特殊三角函数值和二次根式的运算，比较容易 21计算： 6 2【考点】 特殊角 的三角函数值 【专题】 计算题 【分析】 分别把 ， ， 代入原式计算即可 【解答】 解：（ 1） 6 2= = 故答案为 【点评】 本题主要考查的是特殊角的三角函数值的知识点，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键 22（ 1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律； （ 2）根据你探索到的规律，试比较 18， 34， 52， 65， 88，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小； （ 3）比较大小：（在空格处填写 “ ”或 “ ”或 “=”） 若 =45，则 45，则 45，则 （ 4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小： 【考点】 锐角三角函数的增减性 【专题】 探究型 【分析】 （ 1）根据锐角三角函数的概念，即可发现随着一个锐角的增大，它的对边在逐渐增大，它的邻边在逐渐 减小，故正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小 （ 2）根据上述规律，要比较锐角三角函数值的大小，只需比较角的大小 （ 3）根据概念以及等腰三角形的性质，显然 45的正弦值和余弦值是相等的，再根据锐角三角函数值的变化规律，即可得到结论 （ 4）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较 【解答】 解：（ 1）在图（ 1）中，令 1， 3， 显然有： ， ， ， 而 在图（ 2）中， C=90， ， ， ， 即 （ 2） （ 3）若 =45，则 45，则 45，则 （ 4） 【点评】 理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数值的变化规律以及正余弦的转换方法 23如图，在所示的直角坐标系中， 坐标是（ 6， y），且 的正切值是 ，求角 的正弦值 【考点】 同角三角函数的关系 【专题】 计算题 【分 析】 首先由点 P向 合锐角三角函数值和点 得点 再根据勾股定理求得构造的直角三角形的斜边，从而求得该角的正弦值 【解答】 解：作 ， 则 0 则 【点评】 综合运用了点的坐标、勾股定理以及锐角三角函数的概念 24如图， ， ， 求： （ 1） （ 2） 【考点】 解直角三角形 【分析】 （ 1）过点 E ，根据 ，求出 C=45，求出 E=1，根据 ，求出 （ 2）根据 出 长，得到 到答案 【解答】 解：过点 E ， ， C=45， 在 C， E=1， 在 ，即 = ， ， E+； （ 2） ， D ， E， 5， 【点评】 本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用 25为响应国家的 “节能减排 ”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯 B、 N 的夹角分别为 22和 31， 足为 T，大灯照亮地面的宽度 m （ 1）求 考虑其他因素） （ 2）一般正常人从