2020届高三双基测试数学（理）试题试卷PDF版含答案

1 2020 年高三双基测试年高三双基测试 数学 理科 参考答案与评分标准 数学 理科 参考答案与评分标准 说明 一 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二 对解答题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题一 选择题 1 A 2 B 3 D 4 A 5 C 6 B 7 D 8 C 9 B 10 D 11 C 12 C D 二二 填空题填空题 13 2 14 1 15 4 3 16 9 42 三三 解答题解答题 17 本小题满分 12 分 解 I 连接AC CE ACE 即为所求 3 分 ABCD是菱形 ADAB 又PAAB ADPA E为PD中点 AEPD 同理CEPD 又AECEE AECE PD 6 分 II 连接BD 交AC于O 连接PO ABCD是菱形 ACBD 且O为AC BD中点 PAPC ACPO 同理BDPO 又 ACBDO 平面ACBDABCD POABCD 面 以O为原点 OB为x轴 OC为y轴 OP为z轴 建立空间 直角坐标系 7 分 设2PAPCAB 60ABC 2AC 2 3BD 各点坐标为 0 1 0 A 3 0 0 B 3 0 0 D 0 0 3 P 3 0 3 DP 3 1 0 AB 0 1 3 AP E D CB A P z y x O E D CB A P 2 PD 平面的一个法向量为 3 0 3 DP 8 分 设平面PAB的一个法向量为 x y z n 则 0 0 AB AP n n 即 30 30 xy yz 设1x 则3y 1z 1 3 1 n 10 分 设平面 与平面PAB所成的锐二面角大小为 则 2 310 cos cos 5 65 DP DP DP n n n 综上平面 与平面PAB所成的锐二面角余弦值为 10 5 12 分 18 本小题满分 12 分 解 方法一 n a n 是公比为2的等比数列 21 21 2 4 21 aa aa 2 分 又 2 n n a 是公差为1的等差数列 21 21 1 22 aa 4 分 解得 1 2 2 8 a a 6 分 方法二 n a n 构成公比为2的等比数列 1 1 1 1 2 2 n nn n a n n aa a n n 2 分 又 2 n n a 构成公差为1的等差数列 1 1 1 22 nn nn aa 4 分 由 解得 2n n an 1 2 2 8 a a 6 分 3 1 1 22 2 1 nnn n n aa an n 7 分 方法一 123 123 1 22 23 22 n nn Saaaan 2341 21 22 23 22 n n Sn 9 分 两式作差可得 23111 2 1 2 222222 1 22 1 2 n nnnn n Snnn 1 1 22 n n Sn 12 分 方法二 1 2 22 2 24 2 nnn n annnnN 9 分 设 1 24 2n n bn 则 1nnn abb 122132111 22 22 n nnnnn Saaabbbbbbbbn 1 1 22 n n Sn 12 分 19 本小题满分 12 分 解 I 设事件A表示 辩论队员甲收到队长的通知信息 则 3 8 P A 5 8 P A 1 分 设事件B表示 辩论队员甲收到副队长的通知信息 则 3 8 P B 5 8 P B 2 分 设事件C表示 辩论队员甲收到队长或副队长的通知信息 则 2 539 1 1 864 P CP A P B 所以辩论队员甲收到队长或副队长的通知信息的概率为 39 64 4 分 II 由题意可得随机变量X可取值为 3 4 5 6 5 分 则 3 8 33 88 1 3 56 C P X CC 211 865 33 88 15 4 56 CCC P X CC 122 875 33 88 15 5 28 CCC P X CC 33 85 33 88 5 6 28 CC P X CC 9 分 所以随机变量X的分布列为 4 X 3 4 5 6 P 1 56 15 56 15 28 5 28 10 分 其数学期望 11515539 3456 565628288 E X 12 分 20 本小题满分 12 分 解 2 222 1 2 1 2 1 1 1 1 xa axax x g x xxxxx 1 分 1 0 222xxaa x 4a 时 0g x 恒成立 所以 g x在 0 单调递增 没有单调递减区间 2 分 4a 时 设 2 2 1m xxax 则对称轴 2 0 2 0 40 2 a xaa 解不等式 0m x 可得 2 2 4 2 aaa x 或 2 2 4 2 aaa x 所以此时 g x的单调递增区间为 2 2 4 0 2 aaa 和 2 2 4 2 aaa 单调递减区间是 22 2 4 2 4 22 aaaaaa 3 分 综上 4a 时 单调递增区间是 0 没有单调递减区间 4a 时 单调递增区间为 2 2 4 0 2 aaa 和 2 2 4 2 aaa 单调递减区间是 22 2 4 2 4 22 aaaaaa 4 分 i 1 1 ln 1 x h xfxf xaxexax 1 1 x h xea x 在 0 单调递增 又因为 0 0ha ln 1 1ln 1 ln 1 0 ln 1 1ln 1 1 a a haea aa 5 0 0 ln 1 xa 使得 0 0h x 且 0 0 xx 时 0h x 0 xx 时 0h x h x 在 0 0 x单调递减 0 x 单调递增 h x在 0 上有且仅有一个零点 所以此零点为极小值点 0 x 8 分 ii 由 i 得 0 0 0 0 h x h x 即 0 0 0 00 1 0 1 ln 1 0 x x ea x exax 解得 0 0 1 1 x ae x 且 0 0 00 0 1 ln 1 0 1 x x xex x 9 分 设 1 ln 1 1 x x u xxex x 0 ln 1 xa 22 111 1 1 1 xx u xx exe xxx 则 u x在 0 ln 1 xa 单调递减 因为 1131 ln0 2223 ue 1 1 ln20 2 u 0 1 1 2 x 11 分 又因为 1 1 x v xe x 在 1 1 2 单调递增 1 2 121 1 232 veve 1 2 21 32 eae 12 分 21 本小题满分 12 分 解 1 2 c a 22 22 1 43 xy cc 又 椭圆E经过点 3 1 2 1c 椭圆E的标准方程为 22 1 43 xy 3 分 方法一 l的方程为ykxm 设 1122 C x yD xy 联立方程组 22 1 43 xy ykxm 化简得 222 43 84120kxkmxm 由0 解得 22 34 km 且 2 1212 22 8412 4343 kmm xxxx kk 4 分 6 1212 1212 9 22224 ACAD yykxm kxm kk xxxx 22 1 212 49 418 4360kx xkmxxm 2 22 22 4128 49 418 4360 4343 mkm kkmm kk 6 分 化简可得 22 230kkmm km 或2km 舍 满足0 7 分 直线l的方程为ykxk 直线l经过定点 1 0 8 分 方法二 设l的方程为xmyn 设 1122 C x yD xy 联立方程组 22 1 43 xy xmyn 化简得 222 34 63120mymnyn 0 解得 22 34mn 且 2 1212 22 6312 3434 mnn yyyy mm 4 分 1212 1212 9 22 2 2 4 ACAD yyy y kk xxmynmyn 22 1212 94 9 2 9 2 0my ym nyyn 6 分 2 22 22 3126 94 9 2 9 2 0 3434 nmn mm nn mm 化简可得 2 320nn 1n 或者2n 舍 满足0 7 分 直线l经过定点 1 0 8 分 方法三 设 2 xx yy 则有 22 2 1 43 xy 22 0 43 xy x 设l方程为1 mxny 22 0 43 xy x mxny 7 2 1 0 34 k nkm 12 1 9 4 1 4 3 m k k 1 m 1 l xny 21 xny 1 xny 直线l经过定点 1 0 8 分 方法一 l的方程为ykxm 设 1122 C x yD xy 联立方程组 22 1 43 xy ykxm 化简得 222 43 84120kxkmxm 由 22 48 43 0 km 且 2 1212 22 8412 4343 kmm xxxx kk 0 OCODOB 点 1212 Bxxyy 又 点B在椭圆E上 22 1212 1 43 xxyy 2222 11221212 22 1 434343 xyxyx xy y 1212 1 432 x xy y 22 22 121212 2 3 4 43 mk y yk x xkm xxm k 222 22 22 341 4430 43432 mmk mk kk 9 分 222 22 22 48 43 12 3 1 1 1 434 kmmk CDkk kmm 10 分 点点B到直线l距距离 12121212 22 11 kxxyymkxxkxmkxmm d kk 11 分 2 3 1 m k 8 19 22 BCD SCD d 方法二 前面同法一 点点O到直线l距离 2 1 m d k 11 分 13 22 OCD SCD d 9 3 2 BCDOCD SS 12 分 方法三 设 2cos 3sin 2cos 3sin CD 0 OCODOB 点 2cos2cos 3sin3sin B 又 点B在椭圆E上 22 2cos2cos 3sin3sin 1 43 1 cos 2 10 分 1 2cos2cos 3sin3sin 2 BCD S 11 2cos3sin 2cos3sin 22 11 分 3 3 sin 2 9 3 2 BCDOCD SS 12 分 22 本小题满分 10 分 选修选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 解 I 2 sin4cos 22 sin4 cos 曲线C的直角坐标方程为 2 4yx 3 分 直线l的参数方程为 2cos sin xt yt t 为参数 5 分 9 II 2cos sin xt yt 与 2 4yx 联立可得 22 sin4 cos80tt 0 12 2 4cos sin tt 1 2 2 8 sin t t 所以 2 2 42 121 2 22222 2 121 2 2 16cos1