立体几何练习题.doc

立体几何练习题1.如图，在三棱柱中，底面，且 为正三角形，为的中点(1)求证直线平面；(2)求证平面平面；(3)求三棱锥的体积 2.如图所示几何体是正方体截去三棱锥后所得，点为的中点。 （1）求证：平面； （2）当正方体棱长等于时，求此几何体的体积。3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且ADDE，F为B1C1的中点求证：（）平面ADE平面BCC1B1；（）直线A1F平面ADE4.在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=CC1=2，ACB=90，E、F分别是BC、的中点。（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正切值。 5.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，点O是对角线与的交点,是的中点,. （1）求证：平面; （2）平面平面（3）当四棱锥的体积等于时,求的长.6.如图甲，在平面四边形ABCD中，已知，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点（1）求证：DC平面ABC；（2）设，求三棱锥ABFE的体积7.如图所示，PA平面ABCD，ABCD是矩形，AB = 1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动PABCDEF ()若，求证：；()若二面角的大小为，则CE为何值时，三棱锥的体积为？8.如图，多面体中，两两垂直，且，.（）若点在线段上，且，求证：平面；（）求证： ()求直线与平面所成的角的正弦值.9. 如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上（I）求证：平面AEC平面PDB; （II）当PD=AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小10.如图，菱形的边长为4，.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积. 11.如图在直三棱柱中，是的中点， 且交于点，点在线段上，(1) 证明：平面； (2) 若直线平面， 求直线与平面所成角的余弦值12.如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=，AD=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动. （1）当点E为BC的中点时， 证明EF/平面PAC；（2）求三棱锥E-PAD的体积；（3）证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF.13.长方体中， ，是底面对角线的交点。() 求证：平面；() 求证：平面；()求三棱锥的体积。14.如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，、分别是、的中点，若二面角P-CD-A为，且（）求证：平面；（）求异面直线PC与AB所成角的大小；（) 求点到平面的距离15.已知在四棱锥中，,，分别是的中点.()求证；()求证；()若，求二面角的大小.16.三棱柱中,侧棱与底面垂直,点分别为和的中点(1)证明:平面; (2)求三棱锥的体积;(3)证明:平面17.如图组合体中，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不与、重合一个点. （1）求证:无论点如何运动,平面平面；（2）当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比18.如图，在多面体ABDEC中，AE平面ABC，BD/AE，且AC=AB=BC=AE=1，BD=2，F为CD中点。 （I）求证：EF/平面ABC；（II）求证：平面BCD；（III）求多面体ABDEC的体积。19.如右图，将一副三角板拼接，使它们有公共边，且使两个三角板所在平面互相垂直，若，（）求证：平面平面（）求二面角的平面角的余弦值（）求到平面的距离ABCD20.在三棱拄中，侧面，已知，.（）求证：；（）试在棱(不包含端点上确定一点的位置,使得；（） 在（）的条件下,求AE和平面ABC所成角正弦值的大小.试卷答案1.(1)见解析； (2) 见解析；(3) 9 解析：（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点1分D为AC中点，得DO为中位线，2分 直线AB1平面BC1D 4分（2）证明：底面， 5分底面正三角形，D是AC的中点 BDAC 6分，BD平面ACC1A1 7分, 8分（3）由（2）知ABC中，BDAC，BD=BCsin60=3 = 10分又是底面BCD上的高 11分=6=9 13分 略2.（） 证明：因为几何体是正方体截取三棱锥后所得，；6分（）12分3.【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定G4 G5【答案解析】（）见解析（）见解析 解析：（）ABC-A1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC， 2分AD平面ABC，CC1AD 3分ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，AD平面BCC1B1 4分AD平面ADE，平面ADE平面BCC1B16分（）A1B1A1C1，F为B1C1的中点，A1FB1C1 7分CC1平面A1B1C1，且A1F 平面A1B1C1，CC1A1F 9分CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，A1F平面BCC1B110分由（）知，AD平面BCC1B1，A1FAD 11分A1F平面ADE，AD平面ADE，A1F平面ADE13分【思路点拨】（）根据三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，得到CC1平面ABC，从而ADCC1，结合已知条件ADDE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD平面BCC1B1，从而平面ADE平面BCC1B1；（）先证出等腰三角形A1B1C1中，A1FB1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F平面BCC1B1，结合AD平面BCC1B1，得到A1FAD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F平面ADE4.【答案解析】（1）见解析（2） 解析：（1）证：取CC1的中点M，连接ME，MF，则ME，MF，所以平面MEF平面，又EF平面MEF，EF平面7分 （也可以用线面平行的方法来求证）（2）解；过E做AB的垂线，交AB于点H，连接HF，则EFH即为所求之线面角.10分，14分【思路点拨】（1）取CC1的中点M，连接ME，MF，然后利用面面平行的性质定理可得线面平行；（2）过E做AB的垂线，交AB于点H，连接HF，则EFH即为所求之线面角，再求出其正切值即可.5.解:（1）在中，、分别是、的中点,是的中位线， 面，面面（2）底面是菱形，面，面， 面，面， 面 面，面面（3）因为底面是菱形，所以四棱锥的高为，得面，面，在中,.略6.（1）证明：在图甲中，且 ,即1分又在图乙中，平面ABD平面BDC ，且平面ABD平面BDCBDAB底面BDC，ABCD3分，DCBC4分又由5分DC平面AB6分（2）点E、F分别为AC、AD的中点EF/CD7分又由（1）知，DC平面ABCEF平面ABC 8分于是EF即为三棱锥的高，9分在图甲中，, ,由得 ,11分12分13分（若有其他解法，可视情况酌情给分）7.(1)证明：,为PB中点， 1分 又平面， 2分 又是矩形, 3分 ，而 4分 ， 5分 而， 6分 (2) 由（1）知：且 7分 为二面角的一个平面角，则=60 8分 9分，解得 11分 即时，三棱锥的体积为 12分8.()解：（）分别取的中点，连结，有. 1分又 四边形是平行四边形 3分又4分（II）()取BE的中点O,连接OF, 11分 13分 9.略10.11.略12.解（1）证明： 连结AC，EF 点E、F分别是边BC、PB的中点中， 又 当点E是BC的中点时，EF/平面PAC （2）PA平面ABCD且 ，中，PA =，AD=1 又四边形ABCD为矩形 又AD和PA是面PAD上两相交直线 又AD/BCAB就是三棱锥E-PAD的高 . （3），PA=AB=，点F是PB的中点等腰中，又，且PA和AB是平面PAB上两相交直线BC平面PAB 又 又PB和BC是平面PBC上两相交直线 又 无论点E在边BC的何处，都有PEAF成立.略13.答案内容丢失14.答案内容丢失15.() 证明：依题意：，且在平面外2分平面4分() 证明：连结 平面5分又在上，在平面上 中， 7分同理： 中， 平面10分()解：平面12分14分略16.（I）证明：如图，取的中点，连接由已知得且，又因为E是的中点，则且，所以四边形FAEO平行四边形， 又因为平面，平面平面 4分（）因为底面ABCD 又因为底面ABCD为矩形， ，又因为AD=2，又因为AB/CD 9分（）【法一】：设平面的距离为，因，所以，又因，是的中点所以，作于，因为，则,则，因所以13分【法二】因，所以，又因，是的中点所以，作于，连结，因，则为的中点，故所以平面，所以平面平面，作于，则平面，所以线段的长为平面的距离。又，所以13分略17.17() 证明:由已知得，故是平行四边形，所以，-1分因为，所以, -2分由及是的中点，得, -3分又因为,所以. -4分() 证明:连接交于,再连接,由是的中点及，知是的中点， 又是的中点，故， -5分 又因为， 所以. -7分()解：设,则，又，故即， -8分又因为，所以，得，故， -10分取中点，连接,可知,因此, -11分综上可知为二面角的平面角. -12分可知， 故,所以二面角等于 . -13分略18.解: 在中，在中，.,即为等腰三角形. 又点为的中点,. 2分又四边形为正方形,为的中点,平面,平面 4分平面 （2）由(1)的证明可得:三棱锥的体积 7分 (3)取中点,连, 8分而分别为与的中点,平面,平面平面,同理可证平面 9分又平面平面. 10分平面， 11分平面. 12分略19.解：（）E，F分别为棱BC，AD的中点，ABCD是边长为2的正方形且=为平行四边形 的所成角中，BF= ,PF=，PB=3异面直线PB和DE所成角的余弦为6分（）以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设PD=a,可得如下点的坐标： P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)，则有： 因为PD底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为， 设平面PFB的一