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第4章动态电路的时域分析 4 1换路定律及初始值的计算 4 2一阶电路的零输入响应4 3一阶电路的零状态响应4 4一阶电路的全响应 4 5一阶电路的三要素法 4 6一阶电路的阶跃响应4 7微分电路与积分电路4 8二阶电路的零输入响应小结 学习目标 理解并掌握换路定律及初始值的计算 理解并掌握一阶电路的零输入响应 理解并掌握一阶电路的零状态响应 熟练掌握一阶电路的三要素法 理解并掌握一阶电路的阶跃响应 理解并掌握微分电路与积分电路 理解二阶电路的零输入响应能综合地运用电路的分析方法求解较复杂电路 4 1换路定律及初始值的计算 4 1 1过渡过程的概念当开关S闭合时 电阻支路的灯泡立即发亮 而且亮度始终不变 说明电阻支路在开关闭合后没有经历过渡过程 立即进入稳定状态 电感支路的灯泡在开关闭合瞬间不亮 图4 1实验电路然后逐渐变亮 最后亮度稳定不再变化 图4 1实验电路 电容支路的灯泡在开关闭合瞬间很亮 然后逐渐变暗直至熄灭 这两个支路的现象说明电感支路的灯泡和电容支路的灯泡达到最后稳定 都要经历一段过渡过程 一般说来 电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态的中间过程叫做电路的过渡过程 实际电路中的过渡过程是暂时存在最后消失 故称为暂态过程 简称暂态 图4 1实验电路 含有储能元件L C 或称动态元件 的电路在换路时通常都要产生过渡过程 4 1 2换路定律及初始值的计算1 换路及换路定律 设换路的瞬间 用来表示换路前的终了瞬间 用来表示换路后的初始瞬间 这样确定电路的初始状态 也就是确定换路后的初始时 电路中某条支路的电流值或电路中某两点间的电压值 4 1 在换路瞬间 电容元件的电流有限时 其电压uC不能跃变 电感元件的电压有限时 其电流iL不能跃变 这一结论叫做换路定律 则换路定律可表示为 响应在换路后的最初一瞬间 即t 0 时 的值称为初始值 电容电压的初始值uC 0 和电感电流的初始值iL 0 可按换路定律 4 1 式求出 t 0 时的值由换路前的电路求出 换路前电路已处于稳态 此时电容相当于开路 电感相当于短路 其他可以跃变的量的初始值可由t 0 时的等效电路求出 2 求独立初始值 1 作t 0 等效电路 求出uC 0 和iL 0 2 根据换路定律确定出uC 0 及iL 0 3 相关初始值计算 1 用电压为uC 0 的电压源和电流为iL 0 的电流源取代原电路中C和L的位置 可得t 0 等效电路 2 以t 0 等效电路求出相关初始值 4 1 3研究过渡过程产生的实际意义研究电路的过渡过程有着重要的实际意义 一方面是为了便于利用它 例如电子技术中多谐振荡器 单稳态触发器及晶闸管触发电路都应用了RC充放电电路 另一方面 在有些电路中 由于电容的充放电过程可能出现过电压 过电流 进行过渡过程分析可获得预见 以便采取措施防止出现过电压 过电流 例4 1图4 2 a 所示电路中 已知US 18V R1 1 R2 2 R3 3 L 0 5H C 4 7 F 开关S在t 0时合上 设S合上前电路已进入稳态 试求i1 0 i2 0 i3 0 uL 0 uC 0 图4 2例4 1图 解 第一步 作t 0 等效电路如图4 2 b 所示 这时电感相当于短路 电容相当于开路 第二步 根据t 0 等效电路 计算换路前的电感电流和电容电压 根据换路定律 可得 第三步 作t 0 等效电路如图4 2 c 所示 这时电感L相当于一个12A的电流源 电容C相当于一个12V的电压源 第四步 根据t 0 等效电路 计算其它的相关初始值 例4 2图4 3 a 所示电路在t 0时换路 即开关S由位置1合到位置2 设换路前电路已经稳定 求换路后的初始值i1 0 i2 0 和uL 0 图4 3例4 2图 解 1 作t 0 等效电路如图4 3 b 所示 则有 2 作t 0 等效电路如图7 3 c 所示 由此可得 例4 3如图4 4 a 所示电路 t 0时刻开关S闭合 换路前电路无储能 试求开关闭合后各电压 电流的初始值 图4 4例4 3图 解 1 根据题中所给定条件 换路前电路无储能 故得出 2 作t 0 等效电路如图4 4 b 所示 这时电容相当于短路 电感相当于开路 则有 作业 P134页4 14 2 4 2一阶电路的零输入响应 4 2 1RC电路的零输入响应可用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路 除电压源 或电流源 及电阻元件外 只含一个储能元件 电容或电感 的电路都是一阶电路 含有储能元件的电路与电阻电路不同 电阻电路中如果没有独立源就没有响应 含有储能元件时 即使没有独立源 只要储源能元件的或不为零 就可以由它们的初始储能引起响应 由于在这种情况下 电路中并无外电源输入 即输入为零 因而电路中引起的电压或电流就称为电路的零输入响应 1 微分方程根据图4 5所示电路电压 电流的参考方向 依KVL 有 图4 5RC电路的零输入响应 将 式中负号是因为电容电压和电流参考方向不一致 其代入上式可得 4 2 式 4 2 是一个常系数一阶线性齐次微分方程 由高等数学知识可知其通解形式为uC Aept 其中 常数p是特征方程的根 A为待定的积分常数 式 4 2 的特征方程可将uC Aept代入而得 特征根为 所以 将初始条件uC 0 Uo代入上式 可得A Uo 则 4 3 式 4 3 就是零输入响应 即电容放电过程中电容电压uC随时间变化规律的表达式 4 4 4 5 从式 4 3 4 4 和式 4 5 中可以看出 电压uC t uR t 和电流i t 都是按同样的指数规律衰减的 它们随时间变化的曲线如图4 6 a b 所示 图4 6RC电路零输入响应曲线 2 RC电路的零输入响应曲线 3 时间系数 及其对暂态过程的影响 7 6 引入时间常数 后 式 4 3 4 4 和式 4 5 可表示为 与时间单位相同 与电路的初始情况无关 所以将 RC称为RC电路的时间常数 图4 7时间常数 对暂态过程的影响 现以电容电压uC t 为例来说明时间常数 的意义 图4 7画出了t 2 3 等不同时间的响应uC值 例4 4如图4 8 a 所示电路 在t 0时刻开关S闭合 S闭合前电路已稳定 试求t 0时的i1 t i2 t 和iC t 图4 8例4 4图 解 1 作t 0 等效电路如图4 8 b 所示 则有 2 作t 0电路如图4 8 c 所示 其等效电路如图4 8 d 所示 则等效电阻 故电路的时间常数 根据式 4 3 可得 在图4 8 c 所示电路中 可求得 作业 P134页4 24 34 44 5 1 RL电路零输入响应的数学分析 图4 9RL电路的零输入响应 在图4 9 b 中 依KVL 可得 4 2 2RL电路的零输入响应 代入上式 可得 4 7 式 4 7 也是一个常系数一阶线性齐次微分方程 与式 4 2 相似 其通解的形式为 其中 是电路的时间常数 特征方程为 将电感的伏安关系 则 代入初始条件iL 0 Io 可得A Io 故电路的零输入响应 4 8 4 9 4 10 式 4 10 中电感电压为负值 是因为电流不断减小 根据楞次定律可知 电感上的感应电压 力图维持原来电流不变 故实际的感应电压的极性与参考极性相反 因而为负值 从式 4 8 4 9 和式 4 10 中可以看出 iL t uR t 和uL t 都是按同一时间常数的指数规律衰减 它们随时间变化的曲线如图4 10所示 图4 10RL电路的零输入响应曲线 2 RL电路零输入响应曲线 RL电路的时间常数 同样具有时间量纲 其大小同样反映了电路中过渡过程进行的快慢 都可写成相同的形式 即 图4 10RL电路的零输入响应曲线 4 11 例4 5如图4 11 a 所示为一测量电路 已知如图4 11 a 所示为一测量电路 已知L 0 4H R 1 US 12V 电压表的内阻RV 10k 量程为50V 开关S原来闭合 电路已处于稳态 在t 0时 将开关打开 试求 1 电流i t 和电压表两端的电压uV t 2 t 0时 S刚打开 电压表两端的电压 图4 11例4 5图 解 1 t 0电路如图4 11 b 所示 为一RL电路 电路的时间常数为 电感中电流的初始值为 根据式 4 11 可得电感电流的表达式为 电压表两端的电压为 该数值远远超过电压表的量程 将损坏电压表 在断开电感电路时 必须先拆除电压表 从上例分析中可见 电感线圈的直流电源断开时 线圈两端会产生很高的电压 从而出现火花甚至电弧 轻则损坏开关设备 重则引起火灾 2 当t 0时 因此工程上都采取一些保护措施 常用的办法是在线圈两端并联续流二极管或接入阻容吸收电路 如图4 12 a b 所示 图4 12RL电路切断电源时的保护措施 作业 P135页4 94 10 4 3一阶电路的零状态响应 1 RC电路的零状态响应的数学分析根据图4 13中S闭合后的电路 依KVL 有 图4 13RC电路的零状态响应 7 3 1RC电路的零状态响应 电路的零状态响应指的是 电路的初始储能为零 仅由t 0外加激励所产生的响应 根据图4 13中S闭合后的电路 依KVL 有 将R C的伏安关系 代入上式后可得 4 12 式 4 12 是一个常系数一阶线性非齐次微分方程 由高等数学知识可知 它的解由其特解ucp和相应齐次方程的通解uch两部分组成 即 对应于式 4 12 的齐次微分方程即式 4 2 其通解为 非齐次方程式 4 12 的特解为电路达到稳态时的解 因此uC的全解为 将初始条件uC 0 0代入上式 可得 则电容电压的零状态响应为 2 RC电路的零状态响应曲线uC t uR t 和i t 随时间变化的曲线如图4 17 b c 所示 充电电流i t 和电阻电压uR t 为 7 15 7 16 1 RC电路的零状态响应的数学分析 图4 14RL电路的零状态响应 根据图4 14中S闭合后的电路 依KVL 有 4 17 4 3 2RL电路的零状态响应 式 4 17 也是一常系数一阶线性非齐次微分方程 它的解同样由其特解ilp和相应的齐次方程的通解ilh组成 即 其中 特解仍是电路达到稳态时的解 齐次微分方程的通解与RL串联电路的零输入响应形式相同 即 令 故得 将iL 0 0代入上式可得 则电路的零状态响应iL t 为 电感电压uL t 和电阻电压uR t 分别为 4 18 4 19 图4 15RL电路零状态响应曲线 2 RC电路的零状态响应 RC电路的零状态响应电压uC t 和RL电路的零状态响应电流iL t 都可以写成相同的形式 即 4 20 例4 6图4 16所示电路 t 0时开关S闭合 已知uC 0 0 求t 0时的uC t iC t 和i t 图4 16例4 6图 解因为uC 0 0 故换路后电路属于零状态响应 因此电容电压可套用式 4 20 求出 又因为电路稳定后 电容相当于开路 所以 时间常数 根据式 7 20 得 则 例4 7图4 17所示电路 换路前电路已达稳态 在t 0时开关S打开 求t 0时的iL t 和uL t 解因为iL 0 0 故换路后电路的响应为零状态响应 因此电感电流表达式可套用式 4 20 又因为电路稳定后 电感相当于短路 所以 时间常数 图4 17例4 7图 根据式 4 20 得 作业 P136页4 12 4 4一阶电路的全响应 前面讨论了一阶电路的零输入响应和零状态响应 如果一阶电路的初始状态和输入激励都不为零 即电路受到初始状态和输入共同激励时 电路的响应称为全响应 一阶电路的全响应一般可以由两种分析方法求得 方法一 全响应 暂态响应分量 稳态响应分量方法二 全响应 零输入响应分量 零状态响应分量 根据图4 18中S闭合后的电路 依KVL 有 图4 18RC电路的全响应 4 21 对应于式 4 21 的齐次微分方程的通解为 非齐次微分方程的特解为 因此 微分方程式 4 21 的全解为 1 一阶电路全响应的数学分析 电路的全响应可分解为稳态分量和暂态分量之和 即全响应 稳态分量 暂态分量 代入初始条件uC 0 Uo 可得 则全响应 4 23 4 22 2 RC电路的全响应曲线 图4 19三种情况下uC随时间变化的曲线 图4 19给出了UoUS三种不同初始状态下 RC电路的全响应uC t 的曲线 还可将式 4 23 写成下列形式 4 24 全响应还可以分解为零输入响应和零状态响应的叠加 即全响应 零输入响应 零状态响应 根据线性电路的叠加定理 电路的全响应uC t 可以看作是分别由外加激励US和初始状态uC 0 单独作用时产生响应的叠加 当US 0时 响应uC t 由初始状态uC 0 作用所产生 它就是零输入响应 则 当uC 0 0时 响应uC t 由外加激励US所产生 它就是零状态响应 则 因此 电路的全响应为 上式与式 4 24 完全相同 图4 20给出了 oUS三种情况下 用零输入响应和零状态响应叠加而得到的uC t 的全响应曲线 其结果与稳态分量和暂态分量叠加是一样的 图4 20三种情况下uC随时间变化的曲线 对于一阶电路全响应 暂态响应分量是 A是初始值与稳态值之差 即A f 0 f 当f 0 f 时 则暂态响应分量为零 电路无过渡过程 其中稳态值f 可以由直流稳态电路求得 此时 电容相当于开路 电感相当于短路 图4 21例4 8图 例4 8图4 21所示电路 在t 0时开关S打开 uC 0 5V 求t 0电路的全响应uC t 解作t 0电路如图4 21 b 所示 用响应的两种分解方法求全响应uC t 方法1全响应分解为零输入响应和零状态响应的叠加 按图4 21 b 所示电路 当IS 0时 uC 0 5V 则电路的零输入响应为 故得出 按图4 21 b 所示电路 当uC 0 0时 IS 1A 则电路的零状态响应为 电路的全响应电容电压则为 方法2全响应分解为稳态分量和暂态分量的叠加 稳态分量 暂态分量为 所以全响应为 作业 P136页4 114 13 2020 3 18 58 可编辑 4 5一阶电路的三要素法 1 一阶电路的三要素与三要素法 对于一阶电路 换路后电容电压 电感电流和电路的其他电压电流都是从换路后的初始值按同一指数规律单调变化 单调增加或单调减小 到新稳态值 其中暂态分量都具有的形式 而且时间常数都是相同的 因此分析线性一阶电路时 只要求出换路后的初始值 达到新稳态时的稳态值和时间常数三个要素 就能确定一阶电路中电压电流的变化规律即过渡过程的解 这就是一阶电路的三要素法 在动态电路中任一电流或电压均由初始值f 0 稳态值f 和时间常数 三个要素所确定 由于一阶电路的全响应为零输入响应与零状态响应之和 所以全响应是动态电路响应的一般形式 若全响应变量用f t 表示 则全响应可按下式求出 4 25 由上式可见 对一阶电路的分析 只要计算出响应变量的初始值 稳态值和时间常数三个要素 依式 4 25 便可直接得出结果 这一分析方法 称为一阶电路分析的三要素法 2 稳态值f 可通过作换路后t 稳态等效电路来求取 作t 电路时 电容相当于开路 电感相当于短路 3 时间常数 RC电路 RC RL电路 L R 其中R是换路后从动态元件两端看进去的代文宁等效电阻 需要指出的是 三要素法仅适用于一阶线性电路 对于二阶或高阶电路是不适用的 2 三要素的计算 1 初始值f 0 第一步作t 0 等效电路 确定独立初始值 第二步作t 0 等效电路 计算相关初始值 例4 9图4 23 a 所示电路 在t 0时开关S闭合 S闭合前电路已达稳态 求t 0时uC t iC t 和i t 解 1 求初始值uC 0 iC 0 i 0 作t 0 等效电路如图4 20 b 所示 则有 作t 0 等效电路如图4 20 c 所示 列出网孔电流方程 联立求解可得 图4 23例4 9图 2 求稳态值uC iC i 作t 时稳态等效电路如图4 23 d 所示 则有 3 求时间常数 将电容元件断开 电压源短路 如图4 23 e 所示 求得等效电阻 时间常数 4 根据式 4 25 得出电路的响应电压 电流分别为 例4 10如图4 24 a 所示含受控源电路 开关S闭合前电路已处于稳态 在t 0时开关S闭合 求t 0时的iL t uL t 和i t 图4 24例4 10图 解 1 求iL 0 因此时电路已处于稳态 2H电感相当于短路线 故iL 0 1A 2 求初始值iL 0 uL 0 i 0 因iL 0 1A 故由换路定律得作t 0 等效电路如图7 30 b 所示 这时电感相当于1A的电流源 列出节点电位方程 解之 得 3 求稳态值iL uL i 作t 时稳态等效电路如图7 30 c 所示 则有 4 求时间常数 先计算电感元件断开后端口电路的输入电阻 其等效电路如图7 30 d 所示 图中在端口外加电压U 产生输入电流为 故则时间常数为 5 根据式 4 25 计算出各响应量为 例4 11如图4 25 a 所示电路中 已知US 12V R1 3k R2 6k C 5 F 开关S原先断开已久 电容中无储能 t 0时将开关S闭合 经0 02s后又重新打开 试求t 0时的uC t 及其波形 解由于开关S闭合后又打开 故电路的过渡过程分为两个阶段 1 t 0作为换路时刻 开关S闭合后 为电容的充电过程 利用三要素法求得电容电压uC的变化规律 图4 25例4 11图 2 以t 0 02s作为新的换路时刻 开关S打开后 电容的放电过程开始 利用三要素法求出电容放电时电压的变化规律 则 作业 P136页4 144 15 uC t 的变化曲线如图4 25 b 所示 4 6一阶电路的阶跃响应 4 6 1单位阶跃函数单位阶跃函数是一种奇异函数 见图4 26 其数学表达式为 它在 0 0 时域内发生了单位阶跃 图4 26单位阶跃函数 单位阶跃函数可以用来描述1V或1A的直流电源在t 0时接入电路的情况 如图4 27所示 对于图4 27 a 来说 若开关S在t 0时闭合到 2 则一端口电路N的端口电压可写为u t t 对于图4 27 b 来说 若开关S在t 0时闭合到 2 则一端口电路N的端口电流可写为i t t 图4 27单位阶跃电压与电流 如果在t 0时接入电路的直流电源幅值为A 则电路受到的激励可表示为A t 其波形如图4 28 a 所示 称为阶跃函数 如果单位直流电源接入的瞬间为t0 则可写为 称其为适时阶跃函数 其波形如图4 28 b 所示 图4 28阶跃函数和适时阶跃函数 利用阶跃函数和适时阶跃函数可以方便地表示某些信号 图4 29 a 的矩形脉冲信号可看作是图4 29 b 和图4 29 c 所示的两个阶跃信号之和 即f t t t t0 图4 30 a 的矩形信号可看作是图4 30 b c 和 d 所示的三个阶跃信号之和 即f t t 2 t 1 t 2 图4 29矩形脉冲信号 利用单位阶跃函数还可 起始 任意一个f t 设f t 是对所有t都有定义的一个任意函数 如图4 31 a 所示 若想使其在t 0时为零 则可乘以 t 写为f t t 波形如图9 31 b 所示 若要使其在t t0时为零 则可乘以 t t0 写为f t t t0 波形如图9 31 c 所示 图4 30矩形信号 图4 31单位阶跃函数对任意信号f t 的起始作用 4 6 2阶跃响应当激励为单位阶跃函数 t 时 电路的零状态响应称为单位阶跃响应 简称阶跃响应 用s t 表示 由于单位阶跃函数作用于电路时 相当于单位直流电源接入电路 因此求阶跃响应就是求单位直流电源 1A或1V 接入电路时的零状态响应 即有 t s t 根据线性电路的性质 若激励扩大a倍 则响应也要扩大a倍 即有a t as t 若电路激励延时了t0时间接入 那么 其零状态响应也延时t0时间 即有 t t0 s t t0 图4 32例4 12图 例4 13如图4 32所示的电路中 开关S置在位置1时 电路已达到稳定状态 t 0时 开关由位置1置于位置2 在t RC时 又由位置2置于位置1 求t 0时的电容电压uC t 解此题可用两种方法求解 将电路的工作过程分段求解 在0 t 区间为RC电路的零状态响应 则有uC 0 uC 0 0 其中 RC 在 t 区间为RC电路的零输入响应 则有 本节所讲的微分电路与积分电路是指电容元件充放电的RC电路 但与前面几节所讲的电路有所不同 这里是矩形脉冲激励 并且可以选取不同的电路的时间常数而构成输出电压波形和输入电压波形之间的待定 微分或积分 的关系 微分电路与积分电路在实际中应用是很广泛的 例如 除了用来进行微分和积分计算以外 在数字电路中经常应用微分电路进行波形变换 将方波变换成尖脉冲 然后去驱动触发器 积分电路可用作示波器扫描电路或作为模 数转换器等 4 7微分电路与积分电路 首先分析图4 33的电路 设电路处于零状态 输入的是矩形脉冲电压 在电阻R两端输出的电压为 电压的波形同电路的时间常数 和脉冲宽度的大小有关 当一定时 改变 和的比值 电容元件充放电的快慢就不同 输出电压的波形也就不同 图4 34 4 7 1微分电路 图4 33微分电路 图4 34 不同的波形 若改变电路参数 随着和的比值的减小 在电阻两端逐步形成正 负尖脉冲如图4 34 c 所示 由此可见同一个电路 当参数不同时 输出的波形大不一样 两种情况在实际电路中都有广泛的应用 首先分析图4 35的电路 设电路处于零状态 输入的是矩形脉冲电压 在电容C两端输出的电压为 由于 电容器缓慢充电 其上的电压在整个脉冲持续时间内缓慢增长 当还未增长到趋近稳定值时 脉冲已告终止 以后电容器经电阻缓慢放电 电容器上电压也缓慢衰减 在输出端输出一个锯齿波电压 时间常数 越大 充放电越是缓慢 所得锯齿波电压的线性也就越好 图4 36 4 7 2积分电路 图4 35积分电路 由波形可见 积分后的输出电压波形为锯齿波 而且其幅度被大大减低 图4 36输入电压和输出电压的波形 我们通过例题来讨论微分电路的分析与计算 例4 13在图4 33电路中 R 20k C 100pF 输入信号电压u1是单个矩形脉冲 如图4 37 a 所示 其幅值U 6V 脉冲宽度tp 50 s 试分析和作出电压u2的波形 设电容元件原先未储能 图4 37例4 13的图 解 RC 20 103 100 10 12 2 10 6 2 s 是输入电压脉冲宽度的1 25 所以 tp 在t 0时 u1从零突然上升到6V 即u1 U 6V 开始对电容元件充电 由于电容元件两端电压不能跃变 在这瞬间它相当于短路 uC 0 所以此时电压全部加在电阻上 u2 U 6V 因为 tp 相对于tp而言 充电很快完成 uC很快增长到U值 与此同时 u2很快衰减到零值 这样 在电阻两端就输出一个正尖脉冲 如图4 37 b 所示 u2的表达式为 在t t1时 u1突然下降到零 这时输入端不是开路 而是短路 由于uC不能跃变 所以在这瞬间u2 uC U 6V 极性与前相反 而后电容元件经电阻很快放电 很快衰减到零 电阻上电压同样也很快衰减到零 这样 电阻上就输出一个负尖脉冲 如图4 37 b 所示 u2的表达式为 比较上例中u1和u2的波形 可见 在u1的上升跃变部分 从零跃变到6V u2 U 6V 此时正值最大 在u1的平直部分 u2 0 在u1的下降跃变部分 从6V跃变到零 u2 U 6V 此时负值最大 所以输出电压u2与输入电压u1近似成微分关系 如果输入的是周期性矩形脉冲 则输出的是周期性正负尖脉冲 如图4 37 c 所示 上述的微分关系也可以从下面的数学推导看出 由于 u2 因而 上式表明 输出电压u2近似地与输入电压u1对时间的微分成正比 4 8二阶电路的零输入响应 1 RLC串联电路零输入响应的数学分析依KVL 得 图4 38RLC串联电路的零输入响应 按图中标定的电压 电流参考方向有 将以上各式代入KVL方程 便可以得出以uC为响应变量的微分方程 为 式 4 26 为一常系数二阶线性齐次微分方程 其特征方程为 其特征根为 4 27 4 26 式中 R 2L称为衰减系数 称为固有振荡角频率 1 当 R 2L 2 1 LC时 p1 p2为不相等的负实根 称为过阻尼情况 特征根为 微分方程的通解为 4 28 式中待定常数A1 A2由初始条件来确定 其方法是当t 0 时刻 则由式 4 28 可得 对式 4 28 求导 可得t 0 时刻uC t 对t的导数的初始值为 7 29 7 30 联立求解式 4 29 和式 4 30 便可以解出A1 A2 根据式 4 28 可见 零输入响应uC t 是随时间按指数规律衰减的 为非振荡性质 uC t 的波形如图4 39所示 图4 39过阻尼时的uC t 波形 2 当 R 2L 2 1 LC时 p p2为相等的负实根 称为临界阻尼情况 特征根为 微分方程的通解为 4 31 式中常数A1 A2由初始条件uC 0 和uC 0 来确定 uC t 的波形图根据式 4 31 可知 这种情况的响应也是非振荡的 uC t 随时间变化的波形图如图4 40所示 3 当 R 2L 2 1 LC时 p1 p2为具有负实部的共轭复根 称为欠阻尼情况 特征根为 根据式 4 33 可知 响应随时间变化的规律具有衰减的振荡特性 它的振幅随时间按指数规律衰减 衰减的快慢取决于衰减系数 的大小 越大则衰减就越快 衰减振荡的角频率为 d d越大 则振荡周期T 2 d就越小 uC t 的波形图如图4 40所示 4 当R 0时 p1 p2为一对共轭虚根 称为无阻尼情况 特征根为 式中 4 32 称为阻尼振荡角频率 微分方程的通解为 4 33 式中常数A和 由初始条件确定 响应的表达式为 从式 7 34 和uC t 的波形图中可见 电路的零输入响应是不衰减的正弦振荡 其角频率为 0 由于电路电阻为零 故称为无阻尼等幅振荡情况 4 34 A和 可以直接由初始条件确定 uC t 的波形如图4 41所示 图4 40欠阻尼情况电路零输入响应uC t 波形曲线 图4 41无阻尼等幅振荡情况电容电压响应波形图 2 以上几种情况的物理意义电容和电感都是储能元件 只有电阻是耗能元件 电容放电时它所储存的电场能量 一部分消耗在电阻中 一部分转移到电感储存于磁场中 在过阻尼情况下 由于R较大 能量消耗极为迅速 因此电感获得的磁场能量不可能再返回给电容 而是随电路电流的下降而逐渐释放出来 一起消耗在电阻上 所以 电容电压uC是单调下降的 形成非振荡的放电过程 而在欠阻尼情况下 由于R较小 电容放电时 被电阻消耗的能量较少 大部分电场能转变为磁场能储存于电感中 当电容储能为零时 电感开始放电 电容被反向充电 当电感储能为零时 电容又开始放电 这样周而复始 由于电阻不停地消耗着能量 因此电容电压呈