2023年高考全国1卷理科数学和答案详解(word版本)

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，总分值150分。考试用时120分钟。考前须知：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型〔B〕填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处〞。2．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1．集合A={x|x<1}，B={x|}，那么A．B．C．D．2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色局部和白色局部关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，那么此点取自黑色局部的概率是A．B．C．D．3．设有下面四个命题：假设复数满足，那么；：假设复数满足，那么；：假设复数满足，那么；：假设复数，那么.其中的真命题为A．B．C．D．4．记为等差数列的前项和．假设，，那么的公差为A．1 B．2 C．4 D．85．函数在单调递减，且为奇函数．假设，那么满足的的取值范围是A． B． C． D．6．展开式中的系数为A．15B．20C．30D．357．某多面体的三视图如下图，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有假设干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10B．12C．14D．168．入A．A>1000和n=n+1B．A>1000和n=n+2C．A1000和n=n+1D．A1000和n=n+29．曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+)，那么下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，那么|AB|+|DE|的最小值为A．16 B．14 C．12 D．1011．设xyz为正数，且，那么A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码〞的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项为哪一项20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，是A．440 B．330 C．220 D．110二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。13．向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，那么|a+2b|=.14．设x，y满足约束条件，那么的最小值为.15．双曲线C：〔a>0，b>0〕的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。假设∠MAN=60°，那么C的离心率为________。16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积〔单位：cm3〕的最大值为_______。三、解答题：共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。〔一〕必考题：共60分。17．〔12分〕△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为〔1〕求sinBsinC;〔2〕假设6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.18.〔12分〕如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.〔1〕证明：平面PAB⊥平面PAD；〔2〕假设PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.19．〔12分〕为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸〔单位：cm〕．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．〔1〕假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；〔2〕一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．〔ⅰ〕试说明上述监控生产过程方法的合理性；〔ⅱ〕下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的学科网数据，用剩下的数据估计和〔精确到0.01〕．附：假设随机变量服从正态分布，那么，，．20.〔12分〕椭圆C：〔a>b>0〕，四点P1〔1,1〕，P2〔0,1〕，P3〔–1，〕，P4〔1，〕中恰有三点在椭圆C上.〔1〕求C的方程；〔2〕设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.假设直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.21.〔12分〕函数ae2x+(a﹣2)ex﹣x.〔1〕讨论的单调性；〔2〕假设有两个零点，求a的取值范围.〔二〕选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。22．[选修4―4：坐标系与参数方程]〔10分〕在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〔θ为参数〕，直线l的参数方程为.〔1〕假设a=−1，求C与l的交点坐标；〔2〕假设C上的点到l的距离的最大值为，求a.23．[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕函数f〔x〕=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.〔1〕当a=1时，求不等式f〔x〕≥g〔x〕的解集；〔2〕假设不等式f〔x〕≥g〔x〕的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.2023高考全国Ⅰ卷数学答案及解析1正确答案及相关解析正确答案A解析由应选A.考查方向〔1〕集合的运算〔2〕指数运算性质.解题思路应先把集合化简再计算，再直接进行交、并集的定义运算.易错点集合的交、并集运算灵活运用2正确答案及相关解析正确答案B解析设正方形边长为a，那么圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白局部面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色局部的概率是，选B.考查方向几何概型解题思路正方形边长为a，那么圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白局部面积相等，再由几何概型概率的计算公式得出结果易错点几何概型中事件A区域的几何度量3正确答案及相关解析正确答案B解析令，那么由，所以，正确；由知，不正确；由显然正确，应选B.考查方向〔1〕命题及其关系；〔2〕复数的概念及几何意义.解题思路根据复数的分类，复数运算性质依次对每一个进行验证命题的真假，可得答案易错点真假命题的判断4正确答案及相关解析正确答案C解析设公差为，联立解得=4，应选C.考查方向等差数列的根本量求解解题思路设公差为，由题意列出两个方程，联立求解得出答案易错点数列的根本量方程组的求解5正确答案及相关解析正确答案D解析，选D.考查方向〔1〕函数的奇偶性；〔2〕函数的单调性解题思路由函数为奇函数且在单调递减，单调递减．假设，满足，从而由得出结果易错点函数的奇偶性与单调性的综合应用6正确答案及相关解析正确答案C解析因为，那么展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为15+15=30，选C.考查方向二项式定理解题思路将第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，再分析好的项的系数，两项进行加和即可求出答案易错点准确分析清楚构成这一项的不同情况7正确答案及相关解析正确答案B解析由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下列图，那么该几何体各面内只有两个相同的梯形，那么这些梯形的面积之和为，应选B.考查方向简单几何体的三视图解题思路由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，那么该几何体各面内只有两个相同的梯形，由边的关系计算出梯形的面积之和易错点根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量8正确答案及相关解析正确答案D解析由题意，因为，且框图中在“否〞时输出，所以判定框内不能输入，故填，又要求为偶数且初始值为0，所以矩形框内填，应选D.考查方向程序框图的应用。解题思路通过程序框图的要求，写出每次循环的结果得到输出的值．易错点循环结构的条件判断9正确答案及相关解析正确答案D解析因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，那么，那么由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为，再将曲线向左平移个单位长度得到，应选D.考查方向〔1〕诱导公式；〔2〕三角函数图像变换.解题思路首先利用诱导公式将不同名函数转换成同名函数，；再进行图象的变换易错点对变量而言进行三角函数图像变换10正确答案及相关解析正确答案A解析设直线方程为，取方程得∴同理直线与抛物线的交点满足由抛物线定义可知当且仅当〔或〕时，取得等号.考查方向〔1〕抛物线的简单性质；〔2〕均值不等式解题思路设直线方程为，联立，那么，同理算出，再由得，利用均值不等式求出最小值易错点抛物线焦点弦公式11正确答案及相关解析正确答案D解析令，那么，∴，那么，，那么，应选D.考查方向指、对数运算性质解题思路令，那么，分别比拟，得出结果易错点比拟数的大小12正确答案及相关解析正确答案A解析由题意得，数列如下：1，1，21，2，4…1，2，4，…，…那么该数列的前项和为，要使，有，此时，所以是第组等比数列的局部和，设，所以，那么，此时，所以对应满足条件的最小整数，应选A.考查方向等差数列、等比数列的求和.解题思路由题意列出数列，即为1，1，21，2，4…1，2，4，…，，得出一个新的数列，其，再由题，有，再设，所以，那么，此时，进而求出最小的整数N易错点观察所给定数列的特征，进而求数列的通项和求和13正确答案及相关解析正确答案解析，所以.考查方向平面向量的运算.解题思路将平方得，很容易得出结果易错点平面向量中求模长的通常是见模平方14正确答案及相关解析正确答案-5解析不等式组表示的可行域如下图，易求得，由得在轴上的截距越大，就越小，所以，当直线过点时，取得最小值，所以的最小值为.考查方向线性规划的应用解题思路作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．易错点z的几何意义15正确答案及相关解析正确答案解析如下图，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，那么为双曲线的渐近线上的点，且，，而，所以，点到直线的距离，在中，，代入计算得，即，由得，所以.考查方向双曲线的简单性质.解题思路为双曲线的渐近线上的点，且，，又由题知＝，在在中由边的关系，由边角关系求出，进而求出离心率易错点双曲线渐近线性质的灵活应用16正确答案及相关解析正确答案解析如下列图，设正三角形的边长为x，那么.，三棱锥的体积.令，那么，令，.考查方向简单几何体的体积解题思路设正三角形的边长为x，那么.，SO量代入三棱锥的体积，令，求导求出体积的最大值易错点利用导函数求体积的最大值17正确答案及相关解析正确答案〔1〕；〔2〕解析〔1〕由题设得，即.由正弦定理得.故.〔2〕由题设及〔1〕得，即.所以，故.由题设得，即.由余弦定理得，即，得.故的周长为.考查方向〔1〕正弦定理；〔2〕余弦定理；〔3〕三角函数及其变换.解题思路〔1〕由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；〔2〕由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.易错点解三角形18正确答案及相关解析正确答案〔1〕见解析；〔2〕解析〔1〕由，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB//CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.〔2〕在平面内作，垂足为，由〔1〕可知，，故，可得平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如下图的空间直角坐标系.由〔1〕及可得.所以.设是平面的法向量，那么即可取.设是平面的法向量，那么即可取.那么，所以二面角的余弦值为.考查方向〔1〕面面垂直的证明；〔2〕二面角平面角的求解解题思路根据题设可以得出AB⊥AP，CD⊥PD，而AB//CD，就可证明出AB⊥平面PAD，进而证明平面PAB⊥平面PAD；〔2〕先找出AD中点，找出相互垂直的线，建立空间直角坐标系，列出所需要的点坐标，求出平面PCB，平面PAB的法向量，利用数量积求出二面角的平面角的余弦值易错点坐标法求两个半平面的法向量19正确答案及相关解析正确答案解析考查方向〔1〕正态分布；〔2〕随机变量的期望和方差.解题思路易错点随机变量的期望和方差的求解20正确答案及相关解析正确答案〔1〕C的方程为；〔2〕见解析解析〔1〕由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此解得故C的方程为.〔2〕设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为〔t，〕，〔t，〕.那么，得，不符合题设.从而可设l：.将代入得.由题设可知.设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，，于是l：，即，所以l过定点〔2，-1〕.考查方向〔1〕椭圆的标准方程；〔2〕直线与圆锥曲线的位置关系.解题思路〔1〕由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点，又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.直接代入方程，进而求出椭圆的方程；〔2〕先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，l与x轴垂直，通过计算不符合题设；再设l：.将代入，写出判别式，韦达定理，表示出，由列等式表示出k和m的关系，判断出直线恒过定点易错点用根与系数的关系研究直线与圆锥曲线和关系21正确答案及相关解析正确答案〔1〕见解析；〔2〕解析〔1〕的定义域为，，〔ⅰ〕假设，那么，所以在单调递减.〔ⅱ〕假设，那么由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.〔2〕〔ⅰ〕假设，由〔1〕知，至多有一个零点.〔ⅱ〕假设，由〔1〕知，当时，取得最小值，最小值为.①当时，由