2019-2020学年高二上学期期末质量抽测数学试题—附答案

高二数学试题 第1页 共4页 准考证号 姓名 在此卷上答题无效 秘密 启用前 2019 2020 学年第一学期高二期末质量抽测 数 学 试 题 注意事项 1 答题前 考生务必在试题卷 答题卡规定的地方填写自己的准考证号 姓名 考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 准考证号 姓名 与考生本人准考证号 姓名是否一致 2 第 卷每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如 需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 第 卷用0 5毫米黑色签字笔在 答题卡上书写作答 在试题卷上作答 答案无效 3 考试结束 考生必须将试题卷和答题卡一并交回 第 卷 一 单项选择题 本题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 已知复数 12i i z 则z A 5 B 3 C 5 D 2 2 命题 0 R 0 tan1 的否定是 A 0 R 0 tan1 B 0 R 0 tan1 C tan1 R D tan1 R 3 双曲线 2 2 1 4 y x 的渐近线方程为 A 4yx B 2yx C 1 2 yx D 1 4 yx 4 1a 且1b 是 2ab 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 5 已知函数 sin2x f x x 则 fx A 2 cos2sin2xxx x B 2 cos2sin2xxx x C 2 2 cos2sin2xxx x D 2 2 cos2sin2xxx x 高二数学试题 第2页 共4页 6 一艘船的燃料费y 单位 元 时 与船速x 单位 km h 的关系是 3 1 100 yxx 若 该船航行时其他费用为540元 时 则在100 km 的航程中 要使得航行的总费用最少 航速应为 A 30 km h B 3 30 2 km h C 3 30 4 km h D 60 km h 7 已知双曲线 22 2 1 4 xy E b 的左顶点为A 右焦点为F 若B为E的虚轴的一个端点 且 0AB BF 则F的坐标为 A 51 0 B 31 0 C 51 0 D 4 0 8 已知定义在区间 2 2 上的函数 yf x 的图象如图所示 若函数 fx 是 f x的导函 数 则不等式 0 1 fx x 的解集为 A 2 1 B 2 11 1 C 1 2 D 3 10 3 二 多项选择题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 在每小题给出的四个选项中 有 多项符合题目要求 全部选对的得 5 分 部分选对的得 3 分 有选错的得 0 分 9 某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席 团员或班干部 体育成绩达标 若小明有资格参选学生会主席 则小明的情况有可能为 A 是团员 且体育成绩达标 B 是团员 且体育成绩不达标 C 不是团员 且体育成绩达标 D 不是团员 且体育成绩不达标 10 在正方体 1111 ABCDABC D 中 E F分别是 11 AD和 11 C D的中点 则下列结论正确的是 A 11 AC 平面CEF B 1 B D 平面CEF C 1 1 2 CEDADDDC D 点D与点 1 B到平面CEF的距离相等 11 已知函数 3 sinf xxxax 则下列结论正确的是 A f x是奇函数 B 若 f x是增函数 则1a C 当3a 时 函数 f x恰有两个零点 D 当3a 时 函数 f x恰有两个极值点 x y O 1 2 3 1 3 2 yf x 高二数学试题 第3页 共4页 12 已知椭圆 C 22 1 42 xy 的左 右两个焦点分别为 12 F F 直线ykx 0k 与C交 于 A B两点 AEx 轴 垂足为E 直线BE与C的另一个交点为P 则下列结论正确 的是 A 四边形 12 AFBF为平行四边形 B 12 90FPF C 直线BE的斜率为 1 2 k D 90PAB 第 卷 注意事项 用0 5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答 在试题卷上作答 答案无效 三 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中的横线上 13 曲线 exf xx 在点 0 0f处的切线方程为 14 已知 1 2 1 n为平面 的一个法向量 2 1 a为直线l的方向向量 若 l 则 15 已知椭圆 22 22 1 xy M ab 0ab 的左 右焦点分别为 12 F F 抛物线 2 2N ypx 的焦点为 2 F 若P为M与N的一个公共点 且 12 2PFPF 则M的离心率 为 16 九章算术 中 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 在如图所示的鳖臑 PABC 中 PA 平面ABC 90ACB 4 AC 2PA D为AB中点 E为PAC 内的动点 含边界 且PCDE 当E在AC上时 AE 点E 的轨迹的长度为 本题第一空 2 分 第二空 3 分 四 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 已知复数 2i 1 izm m R 1 若z是纯虚数 求m的值 2 若z在复平面上对应的点在第四象限 求m的取值范围 P A B C D E 高二数学试题 第4页 共4页 18 本小题满分 12 分 已知椭圆E的中心为坐标原点O 焦点在坐标轴上 且经过点 2 0 0 1AB 1 求E的方程 2 过点 1 0作倾斜角为45 的直线l l与E相交于 P Q两点 求OPQ 的面积 19 本小题满分 12 分 已知函数 32 1 32 3 f xmxmxx 在3x 处有极小值 1 求实数m的值 2 求 f x在 4 4 上的最大值和最小值 20 本小题满分 12 分 如图 在等腰梯形ABCD中 ABCD 1 3 45ABCDADC AE为梯形ABCD 的高 将ADE 沿AE折到PAE 的位置 使得3PB 1 求证 PE 平面ABCE 2 求直线PA与平面PBC所成角的正弦值 21 本小题满分 12 分 在直角坐标系xOy中 点 1 0F D为直线l 1x 上的动点 过D作l的垂线 该 垂线与线段DF的垂直平分线交于点M 记M的轨迹为C 1 求C的方程 2 若过F的直线与曲线C交于 P Q两点 直线 OP OQ与直线1x 分别交于A B 两点 试判断以AB为直径的圆是否经过定点 若是 求出定点坐标 若不是 请说明理由 22 本小题满分 12 分 已知函数 lnf xaxx 0a 1 讨论 f x的单调性 2 证明 1 1ln 0 ex x x AB CDE P D AB C E 高二数学参考答案 第 1 页 共 8 页 数学参考答案及评分细则 评分说明 1 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应给分数 的一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 一 单项选择题 本题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 1 C 2 D 3 B 4 A 5 C 6 A 7 C 8 B 二 多项选择题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 9 AC 10 AC 11 ABD 12 ABC 三 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 1y 14 3 2 15 21 16 2 2 5 5 四 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 17 解答 1 2i 1 i 2 2 izmmm 3 分 由 20 20 m m 5 分 得2m 6 分 2 由 1 知 22 izmm 7 分 因为复数z在复平面上对应的点在第四象限 所以 20 20 m m 9 分 解得2m 高二数学参考答案 第 2 页 共 8 页 所以m的取值范围为 2 10 分 18 解答 解法一 1 依题意 A B分别为椭圆E的右顶点 上顶点 E的焦点在x轴 上 2 分 设E的方程为 22 22 1 xy ab 0ab 则2 1ab 4 分 所以E的方程为 2 2 1 2 x y 5 分 2 设 1122 P x yQ xy 不妨设 12 yy 依题意 直线l的方程为1yx 6 分 由 22 1 22 yx xy 得 2 3210yy 7 分 解得 12 1 1 3 yy 8 分 记点 1 0为F 则 OPQOFPOFQ SSS 9 分 12 1 2 OF yy 11 分 14 1 23 2 3 所以OPQ 的面积为 2 3 12 分 解法二 1 同解法一 5 分 2 设 11 P x y 22 Q xy 不妨设 12 xx 依题意 直线l的方程为1yx 6 分 由 22 1 22 yx xy 得 2 340 xx 7分 解得 1 0 x 2 4 3 x 8分 高二数学参考答案 第 3 页 共 8 页 所以 2 12 44 11 102 33 PQkxx 9分 原点O到直线l的距离 12 21 1 d 10分 所以 1 2 OPQ SPQ d 11分 142 2 232 2 3 所以OPQ 的面积为 2 3 12分 19 解答 1 依题意 2 23fxmxmx 2分 因为 f x在3x 处有极小值 所以 3330fm 3分 解得1m 4分 经检验 1m 符合题意 故m的值为1 5分 2 由 1 得 2 23fxxx 令 0fx 得3x 或1x 7分 当x变化时 fxf x 的变化情况如下表 x 4 4 1 1 1 3 3 3 4 4 fx 0 0 f x 70 3 11 3 7 14 3 10分 由上表可知 f x的最小值为 70 3 11分 f x的最大值为 11 3 12分 高二数学参考答案 第 4 页 共 8 页 20 解答 1 证明 过点B作BFCD 垂足为F 则1EFAB DECF 1 2 CDEF 1分 连接BE 依题意 AED 为等腰直角三角形 故1 AEDE 又AEDE 故AEAB 所以 22 2EBEAAB 2分 在四棱锥PABCE 中 因为3PB 1PEDE 所以 222 PEEBPB 故PEEB 3分 因为PEEA EAEBE 且 EA EB 平面ABCE 所以PE 平面ABCE 5分 2 由 1 知 PE 平面ABCE 所以PEEA PEEC 又AEEC 所以 EA EC EP两两垂直 以E为原点 分别以 EA EC EP 的方向为 x y z轴的正方向 建 立空间直角坐标系 如图所示 则各点坐标为 0 0 0 E 0 0 1 P 1 0 0 A 1 1 0 B 0 2 0 C 6分 1 0 1 PA 0 2 1 PC 1 1 0 BC 7分 设平面PBC的法向量为 x y z n 则 0 0 PC BC n n 故 20 0 yz xy 取1y 故 1 1 2 n 9分 所以 13 cos 626 PA PA PA n n n 11分 设直线PA与平面PBC所成角为 则sin 3 cos 6 PA n 12分 21 解答 解法一 1 连接MF 则MDMF 1分 则根据抛物线的定义 点M的轨迹是以 1 0F 为焦点 直线1x 为准线的抛物线 3分 则点M的轨迹的方程为 2 4yx 5分 2 设直线PQ的方程为1xmy 11 P xy 22 Q xy P A B C E x z y AB CDEF 高二数学参考答案 第 5 页 共 8 页 联立 2 4 1 yx xmy 整理得 2 440ymy 2 16160m 12 4yym 12 4y y 6分 直线OP的方程为 1 11 4y yxx xy 同理 直线OQ的方程为 2 4 yx y 7分 令1x 得 1 4 1 A y 2 4 1 B y 设AB中点T的坐标为 TT xy 则1 T x 1212 12 44 2 2 2 T yyyy ym y y 所以 1 2 Tm 2 2112122 1212 44 4 44 1616 4 yyyyy y ABm yyy y 圆的半径为 2 1616 2 m r 所以以AB为直径的圆的方程为 222 1 2 44xymm 展开可得 22 1 44xymy 9分 令0y 可得 2 1 4x 解得3x 或1x 11分 所以以AB为直径的圆经过定点 1 0 和 3 0 12分 解法二 1 同解法一 5分 2 当直线PQ不与x轴垂直时 设其方程为 1 yk x 0k 11 P xy 22 Q xy 由 2 4 1 yx yk x 得 2222 24 0k xkxk 所以 2242 24 416160kkk 2 12 2 24k xx k 12 1x x 6分 高二数学参考答案 第 6 页 共 8 页 所以 22 12121212 1114y ykxxkx xxx 211221121212 4 112x yx ykxxkxxkx xxx k 7分 直线OP的方程为 1 1 y yx x 同理可得 直线OQ的方程为 2 2 y yx x 令1x 得 12 12 1 1 yy AB xx 所以以AB为直径的圆的方程为 2 12 12 10 yy xyy xx 9分 即 2 2212112 1212 10 x yx yy y xyy x xx x 即 2 2 4 140 xyy k 令0y 可得 2 14x 解得3x 或1x 所以以AB为直径的圆经过定点 1 0 和 3 0 10分 当直线PQ与x轴垂直时 1 2 1 2AB 以AB为直径的 圆的方程为 2 2 14xy 也经过点 1 0 和 3 0 11分 综上 以AB为直径的圆经过定点 1 0 和 3 0 12分 解法三 1 同解法一 5分 2 假设以AB为直径的圆经过定点 由抛物线关于x轴对称可知该定点必在x轴上 设定点为 0 T t 则0AT BT 6分 设直线PQ的方程为1xmy 11 P xy 22 Q xy 联立 2 4 1 yx xmy 整理得 2 440ymy 2 16160m 12 4yym 12 4y y 7分 直线OP的方程为 1 11 4y yxx xy 同理 直线OQ的方程为 2 4 yx y 令1x 得 1 4 1 A y 2 4 1 B y 高二数学参考答案 第 7 页 共 8 页 则 1 4 1 ATt y 2 4 1 BTt y 则由0AT BT 可得 2 12 16 1 0t y y 9分 因为 12 4y y 所以 2 1 40t 解得3t 或1t 11分 所以以AB为直径的圆经过定点 1 0 和 3 0 12分 22 解答 解法一 1 依题意 f x的定义域为 0 1分 ln1fxax 2分 当 1 0 e x 时 ln10 x 当 1 e x 时 ln10 x 3分 当0a 时 若 1 0 e x 则 0fx 若 1 e x 则 0fx 所以 f x在 1 0 e 上单调递减 在 1 e 上单调递增 4分 当0a 时 若 1 0 e x 则 0fx