第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入.doc

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算1向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0()aaa；(ab)ab3共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.1作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；2在向量共线的重要条件中易忽视“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个；3要注意向量共线与三点共线的区别与联系试一试1若向量a与b不相等，则a与b一定()A有不相等的模 B不共线C不可能都是零向量 D不可能都是单位向量答案：C2若菱形ABCD的边长为2，则|_.解析：|2.答案：21向量的中线公式若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则()2三点共线等价关系A，P，B三点共线 (0)(1t)t (O为平面内异于A，P，B的任一点，tR)xy (O为平面内异于A，P，B的任一点，xR，yR，xy1)练一练1D是ABC的边AB上的中点，则向量等于()A BC D答案：A2已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.解析：由题意知abk(b3a)，所以解得答案：考点一向量的有关概念1.给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab；若ab，bc，则ac.其中正确命题的序号是()ABC D解析：选A不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|，因此，.正确ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件不正确考虑b0这种特殊情况综上所述，正确命题的序号是.故选A.2设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3. 类题通法平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈(3)是与a同向的单位向量，是与a反向的单位向量考点二向量的线性运算典例(1)如图，在正六边形ABCDEF中，()A0B C D (2)(2013江苏高考)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_解析(1)如图，在正六边形ABCDEF中， ，.(2)由题意()，所以1，2，即12.答案(1)D(2)若(2)条件变为：若2，则_.解析：，2.又2，2().，即.答案：类题通法在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解针对训练若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：；.其中正确的有()A0个 B1个C2个 D3个解析：选C式的等价式是，左边，右边，不一定相等；式的等价式是，成立；式的等价式是，成立考点三共线向量定理的应用典例设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线(2)试确定实数k，使kab和akb共线解(1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a，b是不共线的两个非零向量，kk10，k210.k1. 类题通法1共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值(2)若a，b不共线，则ab0的充要条件是0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛2证明三点共线的方法若，则A、B、C三点共线针对训练已知a，b不共线，a，b， c， d， e，设tR，如果3ac,2bd，et(ab)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由解：由题设知，dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.因为a，b不共线，所以有解之得t.故存在实数t使C，D，E三点在一条直线上课堂练通考点1给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小a0(为实数)，则必为零，为实数，若ab，则a与b共线其中错误的命题的个数为()A1B2C3 D4解析：选C错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误，当a0时，不论为何值，a0.错误，当0时，ab0，此时，a与b可以是任意向量故选C.2.如图，已知a，b，3，用a，b表示，则()AabB.abC.ab D.ab解析：选Bab，又3，(ab)，b(ab)ab.3(2013贵阳监测考试)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但ab与c共线，且bc与a共线，则向量abc()AaBbCc D0解析：选D依题意，设abmc，bcna，则有(ab)(bc)mcna，即acmcna.又a与c不共线，于是有m1，n1，abc，abc0，选D.4.(2013“江南十校”联考)如图，在ABC中，A60，A的平分线交BC于D，若AB4，且 (R)，则AD的长为()A2 B3C4 D5解析：选B因为B，D，C三点共线，所以有1，解得，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则， ，经计算得ANAM3，AD3.5在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_(用a，b表示)解析：由3得433(ab)，ab，所以(ab)ab.答案：ab6设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216，|，则|_.解析：由|可知，则AM为RtABC斜边BC上的中线，因此，|2.答案：2课下提升考能第组：全员必做题1设a、b是两个非零向量()A若|ab|a|b|，则abB若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得baD若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|解析：选C对于A，可得cosa，b1，因此ab不成立；对于B，满足ab时|ab|a|b|不成立；对于C，可得cosa，b1，因此成立，而D显然不一定成立2设D，E，F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且2，2，2，则与 ()A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直解析：选A由题意得，因此()，故与反向平行3(2013安庆二模)已知a，b是不共线的两个向量，xab，ayb(x，yR)，若A，B，C三点共线，则点P(x，y)的轨迹是()A直线 B双曲线C圆 D椭圆解析：选B若A，B，C三点共线，.即xab(ayb)xy1，故选B.4(2014山师大附中模拟)已知平面内一点P及ABC，若，则点P与ABC的位置关系是()A点P在线段AB上 B点P在线段BC上C点P在线段AC上 D点P在ABC外部解析：选C由得，即2，所以点P在线段AC上，选C.5(2014大连高三双基测试)设O在ABC的内部，且有230，则ABC的面积和AOC的面积之比为()A3 B.C2 D.解析：选A设AC，BC的中点分别为M，N，则已知条件可化为()2()0，即20，所以2，说明M，O，N共线，即O为中位线MN上的靠近N的三等分点，SAOCSANCSABCSABC，所以3.6(2013淮阴模拟)已知ABC和点M满足MAMBMC0.若存在实数m使得m成立，则m_.解析：由题目条件可知，M为ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则，因为AD为中线，则23，所以m3.答案：37(2013大庆模拟)已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，满足等式，则四边形ABCD的形状为_解析：，BA綊CD，四边形ABCD为平行四边形答案：平行四边形8已知D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB的中点，且a，b，给出下列命题：ab；ab；ab；0.其中正确命题的个数为_解析：a，b，ab，故错；ab，故错；()(ab)ab，故正确；baabba0.正确命题为.答案：39设两个非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：A、C、D三点共线；(2)如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A、C、D三点共线，求k的值解：(1)证明：e1e2，3e12e2，8e12e2，4e1e2(8e12e2)，与共线又与有公共点C，A、C、D三点共线(2)(e1e2)(2e13e2)3e12e2，A、C、D三点共线，与共线，从而存在实数使得，即3e12e2(2e1ke2)，得解得，k.10.如图所示，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点， ，a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)求证：B，E，F三点共线解：(1)延长AD到G，使，连接BG，CG，得到ABGC，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba(b2a)(2)证明：由(1)可知，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线第组：重点选做题1A，B，O是平面内不共线的三个定点，且a，b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则等于()Aab B2(ba)C2(ab) Dba解析：选B()()222(ba)2.如图，在ABC中，设a，b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则等于_解析：如图，连接BP，则b，a，得2ab.又()，将代入，得2ab，解得ab.答案：ab134第二节平面向量的基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.1若a、b为非零向量，当ab时，a，b的夹角为0或180，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2x2y10.试一试1若向量(2,3)，(4,7)，则()A(2，4)B(2,4)C(6,10) D(6，10)答案：A2(2013石家庄模拟)已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，则实数x的值是_解析：u(12x,4)，v(2x,3)，uv，84x36x，x.答案：用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用练一练设e1、e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1e2_a_b.解析：由题意，设e1e2manb.因为ae12e2，be1e2，所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.由平面向量基本定理，得所以答案：考点一平面向量的坐标运算1.(2014昆明一中摸底)已知点M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，则点N的坐标为()A(2,0)B(3,6)C(6,2) D(2,0)解析：选A3a3(1，2)(3,6)，设N(x，y)，则(x5，y(6)(3,6)，所以即选A.2(2013北京高考)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若cab(，R)，则_.解析：设i，j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则aij，b6i2j，ci3j，所以i3j(ij)(6i2j)，根据平面向量基本定理得2，所以4.答案：43已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n.解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得 类题通法1向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算2两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同此时注意方程(组)思想的应用考点二平面向量基本定理及其应用典例如图，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，E，F分别为线段AD与BC的中点设a，b，试用a，b为基底表示向量， ，.解babba，bba，bab. 类题通法用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理针对训练(2014济南调研)如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_解析：因为kk()k(1k)，且m，所以1km，解得k，m.答案：考点三平面向量共线的坐标表示典例平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k；解(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0.k.在本例条件下，若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.解：设d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2,4)，由题意得得或d(3，1)或(5,3)类题通法1向量共线的两种表示形式设a(x1，y1)，b(x2，y2)，abab(b0)；abx1y2x2y10，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用.2两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值 针对训练已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若2，求点C的坐标解：(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，A，B，C三点共线，.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得点C的坐标为(5，3)课堂练通考点1如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且a，b，则()AbaBbaCab Dab解析：选Aababa.2已知向量a(2,3)，b(1,2)，若(manb)(a2b)，则等于()A2 B2C D.解析：选C由题意得manb(2mn,3m2n)a2b(4，1)，由于(manb)(a2b)，可得(2mn)4(3m2n)0，可得，故选C.3(2013大连沙河口模拟)非零不共线向量、，且2xy，若 (R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是()Axy20 B2xy10Cx2y20 D2xy20解析：选A，得()，即(1).又2xy，消去得xy2，故选A.4已知点A(2,1)，B(0,2)，C(2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：直线OC与直线BA平行；2.其中正确结论的个数是()A1 B2C3 D4解析：选C由题意得kOC，kBA，OCBA，正确；，错误；(0,2)，正确；2(4,0)，(4,0)，正确5(2013保定调研)已知两点A(1,0)，B(1,1)，O为坐标原点，点C在第二象限，且AOC135，设 (R)，则的值为_解析：由AOC135知，点C在射线yx(x0)上，设点C的坐标为(a，a)，a0，若(a2b)(2ab)，则x的值为()A4 B8C0 D2解析：选Aa2b，2ab(16x，x1)，由已知(a2b)(2ab)，显然2ab0，故有(16x，x1)，R，x4(x0)4.若，是一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐标为(2,2)，则a在另一组基底m(1,1)，n(1,2)下的坐标为()A(2,0) B(0，2)C(2,0) D(0,2)解析：选Da在基底p，q下的坐标为(2,2)，即a2p2q(2,4)，令axmyn(xy，x2y)，即a在基底m，n下的坐标为(0,2)5.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是()ABCD解析：选D由向量减法的三角形法则知，排除B；由向量加法的平行四边形法则知， ，排除A、C.6在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则_.解析： (3,2)，2(6,4)(2,7)，3(6,21)答案：(6,21)7(2014九江模拟)Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1，2)n(2,3)，nR是两个向量集合，则PQ等于_解析：P中，a(1m,12m)，Q中，b(12n，23n)则得此时ab(13，23)答案：8已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是_解析：若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1.答案：k19已知a(1,0)，b(2,1)求：(1)|a3b|；(2)当k为何实数时，kab与a3b平行，平行时它们是同向还是反向？解：(1)因为a(1,0)，b(2,1)，所以a3b(7,3)，故|a3b|.(2)kab(k2，1)，a3b(7,3)，因为kab与a3b平行，所以3(k2)70，即k.此时kab(k2，1)，a3b(7,3)，则a3b3(kab)，即此时向量a3b与kab方向相反10已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线解：(1)t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t20且t12t20.(2)证明：当t11时，由(1)知(4t2,4t22)(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4)t2，A，B，M三点共线第组：重点选做题1在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D依题意，设，其中10，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有ab0，反之不成立(因为夹角为时不成立)2利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧练一练1已知向量a，b均为非零向量，(a2b)a，(b2a)b，则a，b的夹角为()A.B.C. D.解析：选B(a2b)a|a|22ab0，(b2a)b|b|22ab0，所以|a|2|b|2，即|a|b|，故|a|22ab|a|22|a|2cosa，b0，可得cosa，b，又因为0a，b，所以a，b.2(2013福建高考)在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积为()A. B2C5 D10解析：选C依题意得，1(4)220，四边形ABCD的面积为|5.考点一平面向量的数量积的运算1.(2014沧州模拟)已知平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，ab6.则的值为()A.BC. D解析：选B由已知得，向量a(x1，y1)与b(x2，y2)反向，3a2b0，即3(x1，y1)2(x2，y2)(0,0)，得x1x2，y1y2，故.2(2014温州适应性测试)在ABC中，若A120，1，则|的最小值是()A. B2C. D6解析：选C1，|cos 1201，即|2，|2|22222|26，|min.3(2013南昌模拟)已知向量e1，e2，则e1e2_.解析：由向量数量积公式得e1e2cos2sinsin4cos22.答案：24(2013全国卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.解析：因为，所以()()222.答案：2 类题通法向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解考点二平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质是高考的重点归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直角度一平面向量的模1(2013天津高考)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60 , E为CD的中点若1 , 则AB的长为_解析：由已知得，221|21|cos 60|21，|.答案：角度二平面向量的夹角2(1)已知平面向量a，b，|a|1，|b|，且|2ab|，则向量a与ab的夹角为()A. B.C. D解析：选B|2ab|24|a|24ab|b|27，|a|1，|b|，44ab37，ab0，ab.如图所示，a与ab的夹角为COA.tanCOA，COA，即a与ab的夹角为.(2)(2014云南第一次检测)若平面向量a与平面向量b的夹角等于，|a|2，|b|3，则2ab与a2b的夹角的余弦值等于()A. BC. D解析：选B记向量2ab与a2b的夹角为，又(2ab)242232423cos13，(a2b)222432423cos52，(2ab)(a2b)2a22b23ab81891，故cos ，即向量2ab与a2b的夹角的余弦值是，因此选B.角度三平面向量的垂直3(1)(2013荆州高中毕业班质量检查)已知向量a与b的夹角是，且|a|1，|b|4，若(2ab)a，则实数_.解析：若a(2ab)，则a(2ab)0，即2|a|