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文档简介

利用导数研究函数极值 已知函数f x 2x3 6x2 7 1 求f x 的单调区间 并画出其大致图象 函数的极值 复习与思考 2 函数f x 在x 0和x 2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系 设函数y f x 在x x0及其附近有定义 1 如果在x x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都大 即f x f x0 则称f x0 是函数y f x 的一个极大值 记作 y极大 f x0 并把X0称为函数f x 的一个极大值点 函数极值的定义 2 如果在x x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都小 即f x f x0 则称f x0 是函数y f x 的一个极小值 记作 y极小 f x0 并把X0称为函数f x 的一个极小值点 极大值与极小值统称为极值 x0叫做函数的极值点 观察上述图象 试指出该函数的极值点与极值 并说出哪些是极大值点 哪些是极小值点 1 极值是一个局部概念 反映了函数值在某一点附近的大小情况 2 极值点是自变量的值 极值指的是函数值 3 函数的极大 小 值可能不止一个 而且函数的极大值未必大于极小值 关于极值概念的几点说明 4 函数的极值点一定在区间的内部 区间的端点不能成为极值点 函数y f x 在极值点的导数值为多少 在极值点附近的导数符号有什么规律 x y 问题探究 x1 x2 在极大值点附近 在极小值点附近 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 极值点两侧导数 1 如果f x0 0 并且在x0附近的左侧f x 0右侧f x 0 那么f x0 是极大值 函数的极值与导数的关系 2 如果f x0 0 并且在x0附近的左侧f x 0 那么f x0 是极小值 例题 求函数的极值 解 令 列表如下 所以函数有极大值 极小值 练习 求函数的极值 对于可导函数而言 其极值点一定是导数为0的点 反之导数为0的点不一定是函数的极值点 因此 导数值为0的点是该点为极值点的必要不充分条件 1 求导数f x 2 解方程f x 0求得所有实数根 3 通过列表检查f x 在方程f x 0的根的左右两侧的符号 进而确定函数的极值点与极值 求函数极值的步骤 问 最大值与最小值可能在何处取得 怎样求最大值与最小值 极值与最值的关系 已知函数f x x3 3ax2 2bx在x 1处有极小值 1 试求实数a b的值及函数f x 的单调区间 课后练习 课后作业
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