高数辅导之专题十九：正项级数的敛散性判别法.doc

专题十九基础知识常数项级数的部分和数列，。定义1 若，常数项级数收敛，且； 若不存在，常数项级数发散。（常数项级数是否收敛取决于的部分和数列是否存在极限）常数项级数的基本性质：性质1若级数、收敛，其和分别为、，、是常数，则级数亦收敛，且其和为，亦即推论1若级数收敛，发散，则发散，其中是不为零的常数。思考：若级数、发散，级数是否一定发散？性质2（级数收敛的必要条件）级数收敛的必要条件是推论2若不存在或，级数发散。（常用此推论证明级数发散）常数项级数实际上是由数列逐项相加得到的。数列的极限是否存在与数列的前几项没有任何关系，只与数列的后面无穷多项有关。常数项级数的和是否存在同样与数列的前几项没有任何关系，只与数列的后面无穷多项有关，只是如果级数收敛的话，数列的前几项在级数的和中占有极大的比重。（故如果级数收敛，应着重注意其首项是从几开始的）常数项级数可分为正项级数、交错级数、任意项级数等，本专题介绍正项级数的敛散性判别法。定理1正项级数（）收敛的充分必要条件是其部分和数列有上界。定理2（比较判别法）设和都是正项级数，且，（1）若级数收敛，则级数亦收敛；（2）若级数发散，则级数亦发散。（实际上只要求大于某一即可，不需要从1开始）定理3（比较判别法的极限形式）设和都是正项级数，且（1）若，则和同时收敛或同时发散；（2）若且级数收敛，则级数收敛；（3）若且级数发散，则级数发散。定理4（达朗贝尔比值判别法）设是正项级数，且（1）当时，级数收敛；（2）当（或）时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛也可能发散。定理5（根式判别法）设是正项级数（），若，则（1）当时，收敛；（2）当时，发散；（3）当时，可能收敛也可能发散。注：应用比较判别法的关键是收集一些已知其敛散性的正项级数，并选择其中合适的一个做为参照物。在此给出几个重要的正项级数：（1）几何级数：当时收敛，且；当时发散。（2）级数：当时收敛，当时发散。（3）调和级数发散。（4）级数收敛。注：其中的级数非常非常重要，很多题目的解答均有涉及。例题1. 判定级数的敛散性。解： 故收敛且。注：此方法最为一般，但也最为具有代表性，一定要掌握。2. 在级数、中，有哪些是收敛的？解：对于，由于，发散，由比较判别法知发散。对于，由于，收敛，由比较判别法知收敛。对于，由于 由级数收敛的必要条件知发散。注：在判定正项级数的敛散性时，等价无穷小替换同样适用。如此题中的故级数与的敛散性相同。又如对于本题中的级数，其与的敛散性相同。（时，）3. 解：由于 （时，）收敛，由比较判别法的极限形式知收敛。4. 设为常数，讨论级数的敛散性。解：分三种情形说明：（1）当时，由级数收敛的必要条件知发散。（2）当时，由级数收敛的必要条件知发散。（3）当时，由于，收敛，由比较判别法知收敛。综上，当时收敛，时发散。5. 已知数列收敛，亦收敛，证明：收敛。证明：由于 故 设，则 故收敛，且。6. 设数列单调增、有界，且，试判别级数的敛散性。解：由数列极限的单调有界定理知数列收敛，设。令，由，知，于是。又 由于 故 级数收敛，由比较判别法知收敛，亦即收敛。7. 讨论级数的敛散性（为参数）。解：分两种情形说明：（1）当时，（），级数发散，由比较判别法知发散。（2）当时，任取一，由于 级数收敛（），由比较判别法的极限形式知收敛。8. 求。解：令，考察级数，且 由比值判别法知收敛，故由级数收敛的必要条件知，亦即。9. 设（），试判别级数的敛散性。解：令，由知数列严格单调递增，亦即，且，故有 令，则，正项级数的部分和数列有上界，故