数学分析三试卷及答案.doc

.数学分析(三)参考答案及评分标准一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。1. 求函数在点(0,0)处的二次极限与二重极限.解： ，因此二重极限为.(4分)因为与均不存在，故二次极限均不存在。 (9分)2. 设 是由方程组所确定的隐函数,其中和分别具有连续的导数和偏导数,求.解： 对两方程分别关于求偏导: ， (4分)。解此方程组并整理得. (9分)3. 取为新自变量及为新函数，变换方程。设 （假设出现的导数皆连续）.解：看成是的复合函数如下：。 (4分)代人原方程，并将变换为。整理得： 。 (9分)4. 要做一个容积为的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省?解： 设圆桶底面半径为,高为,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: ,约束条件: 。 (3分) 构造Lagrange函数：。令 (6分) 解得，故有 由题意知问题的最小值必存在，当底面半径为高为时，制作圆桶用料最省。 (9分)5. 设,计算.解：由含参积分的求导公式 (5分) 。 (9分)6. 求曲线所围的面积，其中常数.解：利用坐标变换 由于，则图象在第一三象限，从而可以利用对称性，只需求第一象限内的面积。 (3分)则 (6分) . (9分)7. 计算曲线积分,其中是圆柱面与平面的交线（为一椭圆），从轴的正向看去，是逆时针方向. 解： 取平面上由曲线所围的部分作为Stokes公式中的曲面，定向为上侧，则的法向量为 。 (3分) 由Stokes公式得 (6分) (9分)8. 计算积分,为椭球的上半部分的下侧.解：椭球的参数方程为，其中且 。 (3分)积分方向向下，取负号，因此， (6分) (9分) 二. 证明题（共3题，共28分）。9.（9分） 讨论函数在原点(0,0)处的连续性、可偏导性和可微性.解：连续性：当时，当，从而函数在原点处连续。 (3分)可偏导性：， ，即函数在原点处可偏导。 (5分)可微性： 不存在，从而函数在原点处不可微。 (9分)10.（9分） （9分） 设满足：（1）在上连续，（2），（3）当固定时，函数是的严格单减函数。试证：存在，使得在上通过定义了一个函数，且在上连续。证明：（i）先证隐函数的存在性。由条件（3）知，在上是的严格单减函数，而由条件（2）知，从而由函数的连续性得 ， 。现考虑一元连续函数。由于，则必存在使得， 。同理，则必存在使得， 。取，则在邻域内同时成立 ， 。 (3分)于是，对邻域内的任意一点，都成立 ， 。 固定此，考虑一元连续函数。由上式和函数关于的连续性可知，存在的零点使得0。 而关于严格单减，从而使0的是唯一的。再由的任意性，证明了对内任意一点，总能从找到唯一确定的与相对应，即存在函数关系或。此证明了隐函数的存在性。(6分)（ii）下证隐函数的连续性。设是内的任意一点，记。对任意给定的，作两平行线， 。由上述证明知 ， 。由的连续性，必存在的邻域使得 ， ， 。对任意的，固定此并考虑的函数，它关于严格单减且， 。于是在内存在唯一的一个零点使，即 对任意的，它对应的函数值满足。这证明了函数是连续的。 (9分)11.（10分）判断积分在上是否一致收敛，并给出证明。证明：此积分在上非一致收敛。证明如下：作变量替换，则。 (3分)不论正整数多么大，当时，恒有。 (5分)因此， (7分) ，当时。因此原积分在上非一致收敛。 (10分)注：不能用Dirichlet判别法