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七年级数学下册第五单元测试5.1 认识三角形典型例题例1 选择题：下列各组线段中能组成三角形的是（ ）A B C D 分析：判断三条线段能否组成三角形，就是根据：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边解：应选C说明：在应用三角形三边之间的关系时，要注意“大于”“小于”如上题中的选项B，有 ，也构不成三角形例2 如图是某个蔬菜大棚的构架图，那么图中共有多少个三角形？分析：数图形个数时，既要不重又要不漏数三角形个数有两种方法：（1）按大小顺序数，其中“单个的小三角形”有四个： ，含有两个小三角形的较大三角形有两个： ，另外还有一个大三角形： （2）先固定一个顶点，变换另两个顶点来数例如以A为顶点的三角形有3个，分别是： ，用该法时注意不要重复解：图中共有7个三角形例3 三角形一个角是第二个角的 倍，第三个角比这两个角的和大30，求这个三角形的三个角分析：如果设第二个角是 ，则有第一个角是 ，第三个角是 ，由三角形内角和等于180可以列出方程，从而求出各个角解：设第二个角是 ，则第一个角是 ，第三个角是 ，根据三角形三个内角和是180，得 解这个方程，得 所以 答：这个三角形第一个角是45，第二个角是30，第三个角是105说明：一般在三角形求内角问题时，我们首先应考虑应用三角形三个内角间的关系例4 根据条件，判断 的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）（1） （2） （3） 分析：三角形中如果有一个内角是钝角（或直角）那么这个三角形一定是钝角三角形（或直角三角形），但是如果有一个内角是锐角，那么它未必是锐角三角形，因为锐角三角形必须是三个内角均为锐角可以根据三角形内角和定理确定各内角的度数，进而确定三角形的形状解：（1） ， 是锐角三角形（2）在 中， 又 ， ， 是直角三角形（3） ，又 ， ， ， 是钝角三角形例5 在Rt 中， ，AD是 的高，找出图中相等的角分析：根据题意可知，图中有三个直角三角形，分别是Rt 、Rt 、Rt ，根据“直角三角形的两个锐角互余”可以得出三组互为余角的角，再根据“同角（或等角）的余角相等”可以找出相等的角解：在Rt 中， （直角三角形的两个锐角互余）又在Rt 中， ， （同角的余角相等）同理可得： 习题精选一、选择题1现有两根木棒，它们的长度分别为20cm和30cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）A10cm的木棒 B20cm的木棒 C50cm的木棒 D60cm的木棒2以下列三条线段为边，能构成三角形的是（ ）A3，6，12 B3，7，10 C2，6，9 D3，4，33三角形的高在（ ）A三角形外部 B三角形内部C三角形的边上 D三角形内部、外部或与边重合二、填空题1一个等腰三角形的周长为30cm，它有一条边长是另一条边长的一半，它的底边_cm，一腰长_cm2三角形的两边分别为4和5，第三边为 ，则 的取值范围是_3等腰三角形的腰长为6，它的底边长的范围是_4若 ，线段c的长是正整数，则以a、b、c为边的三角形有_种可能形状5 中， ，周长是一个偶数，则 ， 是_三角形6如图，AD是 的角平分线，且 ，则 度， 度7如图， ，则 度， 度8如图， 中， 平分 交AB于E，则 的度数为_， 的度数为_9如图，已知AD是 的BC边的高，AE是 的平分线，若 则 度10如图，图中共有_个三角形，其中，以AC为一边的三角形有_， 是 中边_的对角11如果用3根火柴作为一边，用8根火柴作为另一边摆三角形，那么第三边能用火柴的根数是_12若一个三角形的两个内角分别为53和60，则此三有形为_三角形13三角形三个内角的比为1：3：5，则最大内角是_度，该三角形是_三角形三、解答题1 的周长为24cm，三边为a、b、c，且 ，求a、b、c2如图，点E是 的两条角平分线的交点（1）若 ，求 的度数；（2）若 ，求 的度数；（3） 能是直角吗？能是锐角吗？说明理由参考答案一、1B 2D 3D二、1 6，12 2 3大于0，小于12 45 59，等腰 6 778，110 835，85 916 108， 117、7、8、9、10 12锐角 13100 钝角三、12（1）130 （2）80 （3）不能是直角，如果是直角则 ，不可能，同理也不能是锐角，如果是锐角则 ，不可能5.2.图形的全等典型例题例1 指出下面图形中，哪对是全等图形分析：（1）（2）（4）的形状大小都没变，所以（1）（2）（4）的每对图形都是全等图形，而（3）大小发生了变化，故（3）中的一对图形不是全等图形解：（1）、（2）、（4）是全等图形，（3）不是全等图形说明：在判断两个图形是否全等时，（1）是形状相同，（2）是大小相等例2 指出下列8个图形中的全等图形分析：要判断两个图形是否是全等图形，可以根据定义，即：把两个图形叠在一起，看是否能够重合，重叠时根据需要可以适当改变图形的方向；也可以观察两个图形的大小和形状是否相同解：上面8个图形中，全等图形有：（1）与（6），（4）与（5），（7）与（8）例3 下列叙述：（1）能够重合的图形一定是全等图形（2）全等图形的面积一定相同（3）两个面积相等的图形一定是全等图形（4）两个周长相等的图形一定是全等图形中正确的个数是（ ）A1个 B2个 C3个分析：全等图形的形状、大小、面积、周长均相同，但是很明显，面积或周长相同的两个图形未必是全等图形，因为它们的形状可以各种各样故本题中，（1）、（2）是正确的，而（3）、（4）是错误的解：选B例 4 将下面的平行四边形田地划分成两个全等的部分分析：结合图形的实际进行全等图形的划分，对于平行四边形有四种划分方法解：习题精选一、填空题1下列图形中是全等图形的是：_2从同一张底片上冲出来的两张五寸照片_全等图形，从同一张底片上洗出来的一张五寸照片和一张七寸照片_全等图形（填“是”或“不是”）3如图，把 沿直线BC为轴翻转180后变到 的位置，那么 与 _全等图形（填“是”或“不是”）；若 的面积为3，则 的面积为_二、判断题1正方体的两个面是全等图形；（ ）2所有半径相等的圆都是全等图形；（ ）3面积相等的两个三角形是全等图形；（ ）4所有的正方形都是全等图形；（ ）5所有的等边三角形都是全等图形；（ ）三、解答题1一个正方形纸片，沿着其对角线剪开得到两个三角形，这两个三角形是否全等？为什么？2如图，分别是长方形、平行四边形、梯形、圆四种纸片，沿图中给的虚线剪开，都得到一对图形，问有哪几对是全等图形，并说明理由参考答案：一、1（2）与（3），（4）与（8），（1）与（9），（11）与（12）2是 不是 3是 3 二、1 2 3 4 5三、1全等，互相重合2长方形、平行四边形、圆，沿虚线剪开，所得的一对图形分别彼此全等，理由是，剪开后相互重合：梯形剪开后所得的一对图形不是全等图形，理由是彼此不能重合5.3.图案设计2009-08-10 20:19典型例题例1 按下列步骤设计图案： （1）画一个正方形 ；（2）去掉两个全等的直角三角形1、2；（3）将直角三角形1、2分别放在3、4的位置上；（4）在得到的图形上画出你喜欢的图案；（5）再做出若干个这样的图案，利用它们拼成一个美丽的图案。解析：根据提示可以得到图案（见下图），展开丰富的想象力，在图形上绘制出适当的图案，再试着将若干个这样全等的图形拼摆起来得到一个大的图案。下面给出一种参考答案。例2 下图是由几种全等图形拼成的图案，请你在图案中找出几种全等的图形，并分别说出它们的名称分析：仔细观察，注意发现全等图形解：有全等六边形，全等五边形，全等正方形和两种全等三角形等说明：图形要观察全面 基础习题1用如图所示的六个全等的菱形，你能设计出一个美丽的图案吗？试试看！2给你两块全等的含30角的三角板，如图所示，展开你丰富的想象力，你能拼出哪些不同的几何图形？3请你自己设计一个美丽的图案，并简单地写出设计图案的步骤，与你的同伴交流参考答案1略23略提高习题1观察下图，请指出每个图案都由几种简单图形组成，试把这几种图形画出来，并试设计一种图案。 2 如下图，试用电脑中的图，组合成下面图案，并把组成图案的图单独画出来。5.4.全等三角形2009-08-10 20:20典型例题例1 如图， ，写出其对应顶点、对应边、对应角分析：找对应元素，有一简便方法：先结合图形判断已知条件中的“ ”是否按照对应顶点的顺序写的，如果确认顺序正确，则可以按照以下顺序： 写出它们的对应边：AB与AD，BC与DE，AC与AE，类似地，可以写出它们的对应顶点、对应角解：对应顶点：A与A，B与D，C与E对应边：AB与AD，BC与DE，AC与AE对应角： 与 ， 与 ， 与 例2 如图，已知 ，且 在同一直线上，（1） 和 相等吗？试说明理由；（2）如果 ，求 和 的度数分析：（1）因为 ，所以 （2）因为 ， ，又因为 ，所以 所以 解：（1） ，因为 ，所以 ,所以 （2） 因为 ，所以， 所以 ，所以 ，所以 说明：该题主要是应用“全等三角形对应边相等，对应角相等”，在找相等的边和角时，应注意“对应”例3 下列各题的全等三角形经过怎样的运动后能完全重合？（1） ；（2） ；（3） 分析：这样的题关键是先找到对应边和对应角，即哪个边和哪个边重合，哪个角和哪个角重合就可以找到运动的办法解：（1）把三角形ADE顺时针旋转45；（2）把三角形ABC沿AC对折过去；（3）把三角形ABC沿A、F所在的直线对折过去说明：（1）要找准对应边、对应角；（2）运动是相对的，所以两个三角形中移动哪个都可以例4 如图， ，求证： 分析：本题是全等三角形与平行线的综合应用，由三角形全等可推出对应角相等，而由角相等可推出直线（或线段）平行同学们，数学知识是前后贯通的，你体会到了吗？解： （全等三角形对应角相等） （内错角相等，两直线平行）例5 如图， 与 全等，你能找出其中相等的线段和相等的角吗？分析：观察图形可知，公共边BC与CB、最长边BD与CA、最短边AB与DC是对应边然后根据“对应边所对的角是对应角”或“两条对应边所夹的角是对应角”可以识别对应角解：由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得 习题精选一、选择题1已知 ，且 ，则 （ ）A50 B100 C30 D50或100或302已知 ，且 ，则 （ ）A3cm B4cm C5cm D以上都不对3若两个三角形（ ），则一个三角形，和另一个三角形全等A面积相等 B周长相等C对应边相等，对应角相等 D以上都不对4如果D是 中BC边上一点，并且 ，则 是（ ）A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D等腰三角形二、填空题1如图，若把 沿着直线BC移动，它就和 重合，那么 和 _；对应相等的边分别是_、_、_；对应相等的角分别是_、_、_2如图， ，则对应边有_，对应角有_3如图， ，则 的对应角是_，BD的对应边是_4已知： ， ， cm，则 5如果 ， cm，则 cm6若 ， 的周长为32cm， ，则 cm， cm， cm7如图， 沿BC折叠，若A与D重合，则 _ ，其对应边为 ，对应角为 8如图， ，写出相等的角和边9已知， ，则三、解答题1如图，下列各题的全等三角形，经过怎样的运动才能完全重合（1） ；（2） ；（3） 2已知 ，若 ，你能求出 的周长吗？3如图，已知 且 ，求证： 四、解答题1如图， 在一条直线上运动到 的位置，延长AC、 相交于D点，（1）试说明 ；（2）试说明 ；（3）你还能发现哪些信息2如图， 是由 绕A点点逆时针旋转60得到的，且 （1）求 的度数；（2）若 ，求四边形 的周长 参考答案：一、1C 2A 3C 4D二、1全等 ；2AC和AB，AE和AF，BE和CF； 和 3 470，10cm 547，25 69，12，117 AB与DB、AC与DC、BC与BC 与 与 与8边：角：978 23三、1（1）把其中一个三角形沿AF所在的直线对折过去 （2）把其中一个三角形绕O点旋转180 （3）把其中一个三角形沿 的角平分线对折过去2 周长为25cm3 且四、1提示： 2（1） （2）8cm（提示： ）5.探索三角形全等的条件2009-08-10 20:23典型例题例 1 分析下列结论：（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等（2）有两边和一角对应相等的两个三角形全等（3）判定两个三角形全等，至少需要一对对边应相等（4）三个角对应相等的两个三角形全等（5）三条边对应相等的两个三角形全等其中，正确的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个分析：（1）有两角和一边对应相等，只有两种情况：两角和夹边对应相等、两角和其中一角的对边对应相等，可以根据ASA、AAS判定全等，故（1）正确（2）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形未必全等，如下图：故（2）错误在 与 中 但显然 与 不全等（3）观察四个判定三角形全等的条件（包括后面将要学习的HL），每一个都至少要求一对边对应相等，故（3）正确（4）三个角对应相等的两个三角形未必全等，如下图所示的两个三角形：根据“SSS”，（5）正确解：选C例2 如图，在 与 中，如果 ，那么 与 全等吗？如果全等，请指出根据分析：在 与 中，由于 ， ，根据三边对应相等，两个三角形全等，可知 解： ，根据 ，即 说明：判断两个三角形是否全等，应找其全等应满足的条件例3 如图，A、F、C、D在同一直线上， ，问 和 能全等吗？如果全等请指出根据分析：在 和 中，由 ，可知 ；由 ，可知 ；而由 可知 ，所以根据 ，可得 解： 根据：因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，因为 ，所以 所以根据 得， 说明：这个题也可以根据 来判断，请读者自行试一试例4 如下图， ，那么 吗？分析：判定两个三角形全等，需要三个条件，已知两个条件：一对边对应相等，一对角对应相等，需要结合图形，寻找第三个条件，一般地，可以从以下几个方面考虑：公共边 公共角 对顶角 直角本题中有公共边，可以利用SAS来证明三角形全等，注意三个条件的罗列顺序，第一个是边相等，第二个是角相等，第三个是边相等解：在 和 中 （SAS）例5 如图，AC是 的角平分线，且 ，试说明 分析：要说明 ，只需说明 ，而 ，所以 解：在 和 中，因为 ，且AC平分 ，即 所以 ，根据是 ，所以 说明：在两个三角形中，来判断两个三角形的两条边相等，经常用判断这两个三角形全等的办法来判断，但需注意要判断相等的线段必须是这两个三角形的对应边5.5.探索三角形全等的条件2009-08-10 20:24习题精选一、选择题1如图，在 中， 为BC边中点，那么以下结论不正确的是（ ）A BCAD平分 D 是等边三角形2如图， ，则 （ ）A45 B55 C35 D653已知：如图，AB与DC相交于点 ，若使 ，则（ ）A应补充条件 B应补充条件C不用补充条件 D以上说法都不正确4如图，已知 ，则图中全等三角形的总对数是（ ）A3 B4 C5 D6二、填空题1如图，已知 ，则 _， _2如图，若点E、F在DC上， ，则 _ _，根据是_3如图，BE平分 ，且 ，则 _ _，根据是_； ，根据是_4已知在 和 中， ，若 ，还需要的条件是_5如图，在 中， 于 于F，且 与DC相等吗？你能说明下面小明思考过程的理由吗？_ _三、解答题1如图，已知C在BD上， 和 全等吗？若全等请说出根据2如图，已知 ，问 和 全等吗？若全等请说出根据3如图，已知 的交点是E，并且 与 相等吗？试说明你的答案4如图：已知， ，那么 吗？5如图，D是 的边AB上一点，DF交AC于点 ，那么 吗？参考答案：一、 1D 2B 3C 4D二、1 2 3 ，全等三角形对应边相等 4 或 或5：AAS 全等三角形的对应边相等三、1全等，根据：2全等，根据： 或3相等（提示 ）4即在 和 中 （SSS）5在 和 中 （ASA）5.7.利用三角形全等测距离2009-08-10 20:25典型例题例 有一个池塘的形状如图所示，A、B之间的距离不能直接测得，你能否想办法测量A、B之间的距离？并且说明理由（只有卷尺可以利用）分析：想方设法构造全等三角形，使AB等于另一条便于测量长度的线段解：在池塘右边的空地上找一个能直接到达点A和点B的点C，连结AC并延长至D，使得 ，连接BC并延长至E，使得 ，连接DE，则DE的长度就是A、B之间的距离理由：在 和 中 （已知） （对顶角相等） （已知） （SAS） （全等三角形的对应边相等）习题精选1如图，为了要测量湖宽AB，先在AB的延长线上选下C点，再选一适当的点M，然后延长BM、CM到 ，使 ，又在 的延长线上找一点 ，使 、M、A三点在同一条直线上，这时，只要量出线段 的长度就可知湖宽你能说明其中的道理吗？2如图，将两根钢条 的中点O连在一起，可以作成一个测量工件内槽宽的工具（工人把这种工具叫卡钳），只要量出 的长度，就可以知道工件的内径AB是否符合标准，你能说出工人这样做的道理吗？3如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段弧状，A、B之间的距离不能直接测量，你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B之间的距离吗？参考答案1提示： ， 2在 和 中 （SAS） 3方案：在湖右边的空地上选一个能直接到达A点和B点的C点，连接AC并延长至D，使 ，连接BC并延长至E，使 ，连接DE，并测量DE的长度即可求出A、B之间的距离5.8.探索直角三角形全等的条件2009-08-10 20:26典型例题 例1 如图，已知 ，求证： 。分析：要证 ，可以证明 ；要证明 ，可以通过证明 ，或者 。再看已知：两个垂直条件（垂直可以得到直角三角形），还有 （是两个直角三角形的斜边、直角边），故可以利用“HL”来证明 。解：在Rt 和Rt 中，Rt Rt （HL） （全等三角形的对应角相等） （内错角相等，两直线平行）例2 如图，点C在 内部， 于 于 ，若 ，求AB的长分析：观察图可以发现，最好能说明 ，只要连结AC，问题就变成了说明Rt Rt 了解：连结AC在 和 中，因为 且 是公用边所以Rt Rt ，所以 说明：这种判断三角形全等的方法只有在两个三角形都是直角三角形时才能使用，题中的连线叫做辅助线，目的是通过做辅助线建立已知和所求之间的联系，这是几何中常用的方法例3 已知：如图，AD是 的中线， 于 于F，且 问AD是否平分 ？如果是请说明理由分析：（如图） 解：AD平分理由：在 和 中，已知 由（HL）可知 ，所以 ，在 和 中， 由（HL）可知在 所以 ，即AD平分 例4 如图，D是 的平分线OC上一点，过点D的直线交AO、BO于点E、F，并且 ，求证：分析：要证明 ，可以通过证明 ，由 得， 和 都是直角三角形，要证明两个直角三角形全等，首先考虑“HL”，但有时也要用到其他判定方法本题由OC是 的平分线得 ，另外有两个直角、一条公共边，故可以利用“ASA”来证明全等解： ， 是 的平分线在 和 中， （已证） （公共边） （已证） （ASA） （全等三角形的对应边相等）习题精选一1如图， ，问AD和BC相等吗？为什么？2如图，已知 ，垂足为 ，那么 吗？3已知，如图 于 于F，求证： 4如图，在Rt 的斜边BC上截取 ，过点D作BC的垂直线交AB于E，则有哪两条线段相等，请说明理由5如图，等腰直角 中， ，过C作直线 于 于N，则BN和CM相等吗？请说明你的答案参考答案1相等（提示：连结DC，根据HL有 ）2 提示：直接利用HL3证明： 在 和 中 （AAS） 4 （提示：连结CE，说明 ）5相等（提示： ）二1如图，在 中， 于 于 ，找出和 相等的线段，并说明理由2如图，已知 ，若 ，求D到AB的距离3如图，已知 是 和 平分线上的交点，且 交AC于 试求AB和CD间的距离 参考答案1 （