高中数学必修一复习资料 知识点及习题及答案.doc

高中数学专题提升专题一 集合与函数第一章 集合（一） 集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为；空集是任何集合的子集，记为；空集是任何非空集合的真子集；如果，同时，那么A = B.如果.已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（）（例：S=N； A=，则CsA= 0） 空集的补集是全集. 若集合A=集合B，则CBA = ， CAB = CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ）.3. （x，y）|xy =0，xR，yR坐标轴上的点集.（x，y）|xy0，xR，yR二、四象限的点集. （x，y）|xy0，xR，yR 一、三象限的点集.注：对方程组解的集合应是点集.例： 解的集合(2，1).点集与数集的交集是. （例：A =(x，y)| y =x+1 B=y|y =x2+1 则AB =）4. n个元素的子集有 个. n个元素的真子集有 个. n个元素的非空子集有 个. n个元素的非空真子集有 个. 5. 集合运算：交、并、补.6. 主要性质和运算律（1） 包含关系：（2） 等价关系：（3） 集合的运算律：交换律： 结合律: 分配律:.0-1律：等幂律：补：拓展：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card() =0.基本公式：【例题精练】1.（15年安徽文科）设全集，则( )（A） （B） （C） （D）【答案】B2. (15年广东理科) 若集合，则 A B C D【答案】3. (15年天津理科) 已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合 （A） （B） （C） （D） 【答案】A4.集合用列举法表示5.设集合，则6.设全集，集合，则实数a的值为 8或2 7.已知M2，a，b，N2a，2，b2，且MN，求a，b的值 0、1或1/4、1/2 8设集合，则=_1,2,3,4_9.设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，则P+Q中元素的个数是_8_ 个10设集合，.（1）若，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若，求实数a的值.解：（1）由题意知：，.当时，得，解得当时，得，解得综上，（2）当时，得，解得；当时，得，解得综上，（3） 由，则11.【易错点】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。 设，若，求实数a组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。解析：集合A化简得，由知故（）当时，即方程无解，此时a=0符合已知条件（）当时，即方程的解为3或5，代入得或。综上满足条件的a组成的集合为，故其子集共有个。第2章 函数高考题概览（检阅基础）1.（15年北京文科）下列函数中为偶函数的是（ ）A B C D【答案】B2.（15年北京理科）如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是A BC D【答案】C3.（15年北京理科）设函数（画图法）若，则的最小值为；若恰有2个零点，则实数的取值范围是【答案】(1)1，(2) 或.4.(15年北京文科) ，三个数中最大数的是 【答案】【解析】（找到中间数来比0、1/2、1）试题分析：，所以最大.考点：比较大小.5.（15年广东理科）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A B C D【答案】6.（15年新课标2理科）设函数,( )（A）3 （B）6 （C）9 （D）12【答案】C一、函数的概念与表示 1、映射（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：AB。（2）象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么集合A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象。注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。2、函数（1）函数的定义原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫作自变量。 近代定义：设A、B都是非空的数的集合，f：xy是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：AB就叫做函数，记作y=f(x)，其中，原象集合A叫做函数的定义域，象集合C叫做函数的值域。（2）构成函数概念的三要素 定义域对应法则值域3、函数的表示方法解析法列表法图象法注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。4、 补充：同一函数的判定5、 求解析式方法例题，自编例3，例4类型的题典型例题讲解：【例1】设X=x|0x2，Y=y|0y1，则从X到Y可建立映射的对应法则是 C （A） （B） （C） （D）【例2】下列各组函数中表示同一函数的是 D（A）与 （B）与（C）与 （D）与【例3】已知，则等于 （令）（A） （B） （C） （D）【例4】函数满足条件，求的解析式（代换法）二、函数的解析式与定义域1、函数解析式：函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式，解析式亦称“解析表达式”或“表达式”，简称“式”。（注意分段函数）补充知识2、函数的定义域：要使函数有意义的自变量x的取值的集合。求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。3。复合函数定义域：已知f(x)的定义域为,其复合函数的定义域应由不等式解出。已知复合函数的定义域，则f(x)的定义域为在a，b内值域。典型例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）y= （2）【例2】已知函数f(x)的定义域为a,b，且a+b0，求f(x2)的定义域； 【例3】设（1）求函数的定义域；（2）f(x)是否存在最大值和最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由。【例4】若函数的定义域是R，求实数m的取值范围。M1【例5】设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_(1,e)_。【例6】若函数，则函数的定义域为_f（x）不为-1_即x不为-2_。随堂练习：1、 已知函数的定义域为，求的定义域2、 已知函数的定义域为，求函数的定义域3、 若的定义域为，求的定义域4、若函数的定义域为，则的定义域为_。三、函数的值域1函数的值域的定义在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。补充：2确定函数的值域的原则当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。补充：3求函数值域的方法直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域；反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的定义域；判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；单调性法：利用函数的单调性求值域；不等式法：利用不等式的性质求值域；图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。典型例题讲解：【例1】下列函数的值域： 【例2】若，则的值域是代入消元推出的范围 ， 原式=【例3】求函数 的值域（单调性法）【例4】求函数 的值域（图像法或分析法）【例5】求 （换元法）【例6】已知定义在(-，+)上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x0时，f(x)=x2-2x+2，求函数f(x)的解析式。【例7】已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，求f(2)随堂训练：1.函数y=|x-3|-|x+1|的值域是( ) 分段讨论画图像法(A) (B)-4，4 (C) (D)R2.函数y=x2-4x+2(1x4)的值域是( ) （图像法）(A)-1,2 (B)-2,2 (C)-3,2 (D)-1,33、函数 的值域是_ （单调性法）4、若函数f(x)=ax3+bx+7，且f(5)=3，则f(-5)= 四函数的奇偶性1定义:设y=f(x)，xA，如果对于任意A，都有，则称y=f(x)为偶函数。设y=f(x)，xA，如果对于任意A，都有，则称y=f(x)为奇函数。如果函数是奇函数或偶函数，则称函数y=具有奇偶性。（商的判定方法）2.性质：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数，若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和奇奇=奇 偶偶=偶 奇奇=偶 偶偶=偶 奇偶=奇两函数的定义域D1 ，D2，D1D2要关于原点对称对于F(x)=fg(x):若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数3奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称看f(x)与f(-x)的关系补充：4.求对称区间解析式例题讲解：【例3】确定下列各函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数: （1）. ()；（2）.； （3）. 【例4】判定函数的奇偶性。【例5】设（其中a,b,c为常数），且，试求f（2）的值。随堂训练：1、判断下列函数的奇偶性： （1） （2）（3） （4） （5） （6）2、判断下列函数的奇偶性：（1） 3、已知函数若，求的值。五、函数的单调性1、函数单调性的定义；2、判断函数单调性（求单调区间）的方法：（1）从定义入手，（2）从图象入手，（3）从函数运算入手，（4）从熟悉的函数入手（5）从复合函数的单调性规律入手注：函数的定义域优先3、函数单调性的证明：定义法“取值作差变形定号结论”。4、一般规律（1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数；（2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数；（3）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（4）设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。典型例题讲解：【例1】在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（ ）A.在区间上是增函数，区间上是增函数B.在区间上是增函数，区间上是减函数C.在区间上是减函数，区间上是增函数D.在区间上是减函数，区间上是减函数【例2】已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.【例3】已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）A. B. C. D. 【例4】设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题： 若f(x)单调递增，g(x)单调递增，f(x)-g(x)单调递增； 若f(x)单调递增，g(x)单调递减，f(x)-g(x)单调递增； 若f(x)单调递减，g(x)单调递增，f(x)-g(x)单调递减； 若f(x)单调递减，g(x)单调递减，f(x)-g(x)单调递减；其中真命题的序号是：（ ）（A） （B） （C） （D）【例5】如果奇函数f(x)在区间3，7上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间-7，-3上是（ ）（A）增函数且最小值为-5 （B）增函数且最大值为-5（C）减函数且最小值为-5 （D）减函数且最大值为-5【例6】定义在区间（-，+）上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间0，+）上的图象与f(x)图象重合，设ab0，给出下列不等式：其中成立的是（ ） f(b)-f(-a)g(a)-g(-b) f(b)-f(-a) f(a)-f(-b)g(b)-g(-a)f(a)-f(-b) （A）与 （B）与 （C）与 （D）与【例7】已知奇函数f(x)在3,7上是增函数，且有最小值5，那么f(x)在-7,-3上一定是A.增函数，且有最小值-5 B.增函数，且有最大值-5 C.减函数，且有最小值-5 D.减函数，且有最大值-5【例8】若函数f (x) = (a-2) x2+ 2(a-2) x-4的图象位于x轴的下方，则实数a的取值范围是A.(-,2) B.-2,2 C.(-2,2) D.(-,-2)【例9】 函数y = x2- 2ax+ a2-1在(-,1)上是减函数，则实数a的取值范围是 .【例10】 若f (x) 是偶函数，其定义域为R，且在0，+上是减函数，则的大小关系是_.【例11】求的单调区间和值域.随堂练习：1下列函数中，在上为减函数的是 （ ）AB CD2下列函数中，为偶函数的是 （ ）A B C D3函数当时为增函数，当是减函数，则 等于 （ ）A1 B9 C D134函数的递增区间为 （ ）A B C D5已知，且，则的值为 （ ）AB C D6已知函数在R上为奇函数，且当时，则在R 上的解析式为 （ ）A B C D7设为上的奇函数且不恒为零，那么时，函数 是（ ）A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数又不是偶函数8已知函数，则下列说法中，正确的是 （ ）A是偶函数，且在上是增函数 B是偶函数，且在上是减函数 C是非奇非偶函数，且在上是增函数 D是非奇非偶函数，且在上是减函数六、反函数1、 反函数的概念：设函数y=f(x)的定义域为A，值域为C，由y=f(x)求出，若对于C中的每一个值y，在A中都有唯一的一个值和它对应，那么叫以y为自变量的函数，这个函数叫函数y=f(x)的反函数，记作，通常情况下，一般用x表示自变量，所以记作。注：在理解反函数的概念时应注意下列问题。（1）只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数；（2）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤（1）解关于x的方程y=f(x)，达到以y表示x的目的；（2）把第一步得到的式子中的x换成y，y换成x；（3）求出并说明反函数的定义域（即函数y=f(x)的值域）。3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；（3）y=f(x)和x=f-1(y)互为反函数，但对同一坐标系下它们的图象相同；（4）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)；（5）f-1f(x)=x;（6）若点P(a,b)在y=f(x)的图象上，又在y=f-1(x)的图象上，则P(b,a)在y=f(x)的图象上；（7）证明y=f(x)的图象关于直线y=x对称，只需证得y=f(x)反函数和y=f(x)相同；4、反函数与原函数的关系： 函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是其反函数的反函数，故函数的原来函数与反函数互称为反函数。反函数的定义域与值域分别是原来函数的值域与定义域。只有确定函数的映射是一一映射的函数才存在反函数，由此得出下面点：偶函数必无反函数。单调函数必有反函数。奇函数如果有反函数，其反函数也是奇函数。原函数与其反函数在他们各自的定义域上单调性相同。互为反函数的图象间的关系。函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线yx对称，关于这一关系的理解要注意以下三点：i）函数y=f (x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称，这个结论是在坐标系中横坐标轴为x轴，纵坐标轴为y轴，而且横坐标轴与纵坐标轴的单位长度一致的前提下得出的；ii）（a,b）在y=f (x)的图象上（b,a）在y=f-1(x)的图象上；iii）若yf (x)存在反函数y=f-1(x)，则函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称的充分必要条件为f (x)f-1(x)，即原、反函数的解析式相同。例题讲解：【例1】函数20的反函数是 【例2】求下列函数的反函数：（1），6， （2）3，5，1【例3】关于yx对称，求g(2)的值【例4】已知函数yf(x)在其定义域内是增函数，且存在反函数，求证yf(x)的反函数yf-1(x)在它的定义域内也是增函数随堂训练：(1)求函数yf(x)的反函数yf-1(x)的值域；(2)若点P(1，2)是yf-1(x)的图像上一点，求函数yf(x)的值域3函数yx2(x0)的反函数是 4函数yx(2x)(x0)的反函数的定义域是 A0，)B，1C(0，1)D(，0)5下列各组函数中互为反函数的是 七二次函数1二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0)，其中a是开口方向与大小，c是Y轴上的截距，而是对称轴。(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。(3)两根式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。求一个二次函数的解析式需三个独立条件，如：已知抛物线过三点，已知对称轴和两点，已知顶点和对称轴。又如，已知f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)-x=0的两根为，则可设f(x)-x=或。2二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标（1）a0时，抛物线开口向上，函数在上单调递减，在上单调递增，时，（2）a0)=b2-4acax2+bx+c=0 (a0)ax2+bx+c0 (a0)ax2+bx+c0)图象与解0=00,a0,M0,N0(4)对数换底公式：（5）对数的降幂公式：九指数函数与对数函数1、 指数函数y=ax与对数函数y=logax (a0 , a1)互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系名称指数函数对数函数一般形式Y=ax (a0且a1)y=logax (a0 , a1)定义域(-,+ )(0,+ )值域(0,+ )(-,+ )过定点（，1）（1，）图象指数函数y=ax与对数函数y=logax (a0 , a1)图象关于y=x对称单调性a 1,在(-,+ )上为增函数a1,在(0,+ )上为增函数a1 ? y0? y0时,求解:为奇函数，的定义域关于原点对称，故先求0,为奇函数，当0时例5一已知为偶函数，为奇函数，且有+， 求,.解：为偶函数，为奇函数，,不妨用-代换+= 中的,即显见+即可消去,求出函数再代入求出5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发