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第二篇利率期限结构与随机利率模型第6章利率期限结构理论 考试要求 6 1传统的利率期限结构理论利率期限结构的含义预期理论期限溢价理论市场分割理论6 2收益率曲线的构建原理直接法间接法6 3利率风险的度量Macaulay久期与修正久期Macaulay凸度与修正凸度有效久期与有效凸度久期与凸度的应用 资产负债匹配 要点详解 6 1传统的利率期限结构理论1 利率期限结构的含义利率期限结构 仅在期限长短方面存在差异的证券的收益率和期限之间的关系 1 几种利率的概念 短期利率 实际中 期限为1年之内的利率 在随机利率模型中 则是指期限无限小的利率 即瞬时利率 一般地 n年期面值为1的零息债券的当前价格为 其中 ri为第i年的年利率 即第i年的短期利率 即期利率 期限从0时刻 即当前时刻 开始的利率 到期收益率与短期利率之间的关系可以表示为 6 1 yi表示i年期零息债券的到期收益率 说明 即期利率可以理解为当前时刻零息债券的到期收益率 远期利率 指利用不同期限的到期收益率推出未来的短期利率 通常用fi 1表示从0时刻看未来i时刻的 期限为1年的远期利率 计算公式 由式可以得到 相除得 如果远期利率的期限不是1年 通常用fi j表示从0时刻看i时刻的 期限为j年的远期利率 几种利率的区别 短期利率仅对利率的期限有限制 对期限从何时开始没有限制 即期利率和远期利率则仅对期限的开始时点有限制 而对期限的长短没有限制 例题6 1 根据表6 1回答 1 3 表6 1列出的是面值1000美元 但期限不同的零息债券的价格 表6 1 1 3年期的零息债券的到期收益率是 A 6 21 B 6 33 C 6 35 D 6 37 E 6 38 答案 B 解析 3年零息债券的到期收益率是y3 则可得y3 6 33 2 第3年预计的远期利率是 A 6 B 7 C 8 D 9 E 10 答案 C 解析 898 47 1 y3 3 1000 831 92 1 y2 2 1000 则 3 面值是1000美元 期限是4年 年付息票率是12 的债券的价格是 美元 A 1716 7B 1176 7C 1167 7D 1165 7E 1163 7 答案 B 解析 计算1年期和4年期零息债券的到期收益率分别为 相关的到期收益率 y1 5 00 y2 5 50 y3 6 33 y4 6 99 所以债券的价格为 2 收益率曲线以横坐标代表债券的期限 纵坐标代表相应的利率或收益率 称此描述利率期限结构的曲线为收益率曲线 说明 本章讨论的是债券及其相应的到期收益率相联系的利率期限结构 图6 1收益率曲线样图分析图6 1中的国债收益率曲线 可得 第一 收益率随着期限的不同而不同 第二 曲线变动的斜率有时为正有时为负 也可能出现为零 即切线为水平 的情况 第三 对于期限结构的不同部分 存在不同的曲率 弯曲程度 即有平滑的部分 缓和的弯曲 和尖锐的部分 剧烈的弯曲 2 预期理论预期理论或称为纯粹预期理论 该理论的假设是 1 不存在违约风险 2 所有投资者都是风险中性的 3 没有交易成本 4 所有投资者都能准确预测未来的利率 5 投资者对债券不存在期限偏好 预期理论的结论是 长期零息债券的到期收益率等于当前短期利率和未来预期短期利率的几何平均 即 1 yn n 1 r1 1 f1 1 1 fn 1 1 其中yn为n年期零息债券的到期收益率 fk 1 1为第k期的远期利率 r1为一年期短期利率 远期利率fk 1 1等于市场整体对未来短期利率的预期E rk 根据预期理论 收益率曲线的形状是由投资者的预期决定的 一般的 收益率曲线向上倾斜表明投资者预期短期利率将变高 而收益率曲线向下倾斜则表明投资者预期短期利率将变低 如果投资者预期短期利率保持不变 收益率曲线就应该是水平的 例题6 2 当前1年期零息债券的到期收益率为7 2年期零息债券到期收益率为8 财政部计划发行2年期债券 息票利率为9 每年付息 债券面值为100美元 并按票面价值收回 如果收益率曲线的预期理论是正确的 则市场预期明年该债券售价为 美元 A 87 6B 99 99C 102 4D 101 35E 132 2 答案 B 解析 由零息票收益率曲线推导下一年的远期利率 解得 利用下一年的期望利率9 01 计算债券的预计价格 得 p 109 1 0901 99 99 美元 3 期限溢价理论期限溢价理论是考虑到风险溢价的影响 对纯粹预期假设理论的修正理论 流动性偏好假设 由于短期债券清偿的期限较短 利率变化导致的价格波动比长期债券要小得多 因而短期债券的流动性比长期债券高 如果投资者是风险回避者 对高流动性债券的偏好将使得短期债券的利率水平低于长期债券 期限溢价理论认为 长期利率是预期短期利率与流动性补贴之和 假定大多数投资者偏好持有短期证券 为了吸引投资者持有期限较长的债券 必须向他们支付流动性补贴 流动性补偿的数额是市场为将期限延长到预定年限所需要的超额收益 流动性补贴随着期限的增加而增加 按照流动性偏好假设 实际观察到的收益率曲线总是比完全由纯粹预期假设所预计的要高 到期收益率yn的计算方法 其中rk为第k年预期的短期利率 1Lk为第k年开始的1年期的流动性补贴 一般假设1Lk为k的增函数 4 市场分割理论市场分割理论也称为区间偏好理论 市场分割理论认为 市场是由具有不同期限偏好的投资者构成的 大致将市场的投资者分为短期 中期 长期投资者三类 贷款者和借款者分割的市场行为基本上决定了收益率曲线的形态 在极端情况下 某种特定期限的利率完全取决于该期限的资金的供求状况 与其他期限的供求状况毫不相关 贷款市场是按照期限完全分割的 将这些分割的曲线的交点连在一起 就决定了收益率曲线 通常情况下 如果在某一期限范围内出现与其他期限范围较大的收益率的偏差 投资者将抛弃原来的期限偏好 但如果没有出现较大的收益率的偏差 投资者将保持原来的期限偏好 从而导致贷款市场是局部分割的 结论 如果债券期限的供求不平衡 债券就要在预期收益的基础上溢价或折价售出 说明 按照区间偏好假设 预期的未来短期即期利率与隐含远期利率之间没有正式关系 收益率曲线的形状是资金的供给与需求决定的 例题6 3 下面说法正确的是 A 根据预期理论 如果收益率曲线是向上倾斜的 市场会预期短期利率上升B 收益率曲线的形状与投资者的预期决定无关C 根据市场分割理论 可以大致将市场的投资者分为短期 长期投资者D 根据期限溢价理论 短期债券的流动性比长期债券低E 常称期限为1年之内的利率为即期利率 答案 A 解析 B项 根据预期理论 收益率曲线的形状是由投资者的预期决定的 C项 根据市场分割理论 可以大致将市场的投资者分为短期 中期 长期三类 D项 根据期限溢价理论 短期债券的流动性比长期债券高 E项 常称期限为1年之内的利率为短期利率 所以正确选项为A 6 2收益率曲线的构建原理证券提供的现金流总是离散的 理论上只能得到收益率曲线上有限个点 为了得到整条收益率曲线 主要有直接法和间接法两种构建方式 1 直接法直接法 利用息票债券市场价格推导出隐含零息债券价格的方法 假设条件 为了讨论问题方便 假定n个到期收益率恰可由n种零息债券的价格解出 表示t时刻的n种付息债券价格组成的n维列向量 表示这n种债券相对应的n n维现金流矩阵 包括利息和本金 在这里假设各种债券现金流的流入时间均为tj 用代表t时刻的零息债券价格组成的n维列向量 其中B t tj 表示tj时刻到期的1单位面值的零息债券在t时刻的价格 计算 由利息理论容易得到下列方程 用矩阵表示为 6 2 假设F是可逆的 即假设各种债券的支付之间不存在线性相关关系 6 2 式可写为 说明 推导出来的价格并不是真实的零息债券的市场价值 而是与市场价格保持一致的隐含的零息债券价格 收益率曲线的构建 将所得的隐含的零息债券价格代入即得t时刻发行的期限为的零息债券的到期收益率 图6 2为通过计算得到的收益率绘得收益率曲线的散点图 其中横坐标为债券的到期时间 单位为年 纵坐标为相应零息债券的到期收益率 图6 2从观察到的收益率构造零息债券的到期收益率曲线 需要借助一定的方法由离散零息债券的到期收益率推导出完整的零息债券的到期收益率曲线 常用的方法有 1 线性插值法假设已知t时刻的期限为ti和tj的零息债券的到期收益率分别是利用线性插值法 期限为tk ti tk tj 的零息债券的到期收益率为 缺陷 从市场上看 某些债券的流动性通常要低于新发行的债券 因此其实际交易时的收益率也要略高于线性插值的结果 线性插值得出的曲线不是光滑的 其一阶导数在连接点上不存在 即使存在 其大小和符号的变化也较大 使用线性插值法导出的零息债券的远期收益率曲线仍是不光滑的 2 活动曲线法原理 构造一个多项式或者一组不同阶的多项式 以形成一条把所有已知利率点连接起来的平滑曲线 前提假设是收益率曲线是多项式形式的 常采用一个二阶或高阶多项式对各利率点进行拟合 使用二阶多项式所构造的活动曲线是二次活动曲线 使用三阶多项式所形成的曲线是三次活动曲线 以此类推 优点 二次以上的活动曲线的一阶导数的大小和符号都不会在某些点发生突变 其模拟结果比线性插值法更接近观察到的利率 其曲线形状与实际的利率点间的凸状弧线相仿 缺陷 已知的信息仅为有限个利率点 无法确定收益率曲线准确的函数形式 无法对该方法中假设进行客观的评价 当活动曲线法应用于那些一阶导数的符号在较小期限范围内发生反向变动的曲线的利率点时 会产生与现实不符的结果 3 阶梯函数法在一个给定的到期日范围内使用一个不变的利率 得到一个在某一时段内固定的收益率曲线 也称局部平直的收益率曲线 该方法称为阶梯函数法 说明 该方法要对曲线上阶梯或跳跃的位置进行假定 跳跃点通常与零息债券收益率曲线的已知利率点相对应 问题及解决方法 由阶梯型的曲线导出远期收益率曲线时会产生尖点 如果使用过少的 阶梯 构造收益率曲线 远期曲线中的尖点就将比较尖 此问题可以通过在收益率曲线曲率较大的地方使用更多的已知利率点来解决 4 其他直接法 波动率调整插值法首先从简单的线性插值中得出相关结果 然后利用一个既定的公式对已发行有价证券的价格进行调整 该方法使用了一些自变量的组合 因变量是加在简单线性插值结果之上的利差 通过回归分析 从实际历史交易数据中可以得到自变量与因变量之间的函数关系 假定函数关系可以是线性的 也可以是二次加 型 的 优点 与简单的线性插值法相比 采用了更多的历史信息 对已发行的有价证券收益率的估计更接近于交易者在实际交易中所获得的收益率 原理较为简单且运算速度快 在市场发生重大变动的日子中能够多次对模拟结果加以更新 更贴近市场 缺陷 同简单的线性插值法一样 仍无法保证得出的收益率曲线是连续的和二次可微的 2 间接法间接法 需要预先确定收益率曲线的形式 假设条件 从市场中选出n个付息债券 它们在t时刻的市场价格为Ptj 1 j n j债券在时刻s提供的现金流为Fsj s t 假设所有债券都是每年付息一次的 假定贴现函数为 或假定零息债券到期收益率 的具体形式 其中 是参数向量 重点是f和g的函数形式的选择 函数f一般是多项式或指数函数 确定函数g的原则依据g中参数的经济含义 符号说明 n为估计收益率曲线的付息债券的数量 Ptj为第j种付息债券在t时刻的市场价格 为第j种息票债券在t时刻的理论价格 为价格向量 Tj 第j种债券的期限 Tj为整数 则Tj也是第j种债券发生的所有现金流的次数 Fsj为第j种债券在s时刻 s t 支付的利息或本金 kj为第j种债券未发生的现金流的次数 B t s 为折现因子 B t t 1 为被估计的贴现函数的参数向量 为无约束条件下的估计值 为约束条件下的估计值 为债券定价公式中的各种参数间的相关系数矩阵 最优问题 当付息债券理论价格与其市场价格最为接近时 可估计出参数向量的最优结果 即是下列最优问题的解 上式中 是由等式或得出的付息债券的理论价格 n个债券价格可写成下面的向量形式 其中 残差项满足三个条件 1 j n j为参数 其中j j 残差项的协方差矩阵可以写成 2 其中 0 且 确定参数 j2 实际中 为了简化模型 常假定各种债券是同方差的 即 j2 1 1 j n 按照可得到更精确的 j2 其中ytj和Dtj分别为第j种债券在时刻t的到期收益率和久期 如需提高短期债券估价方法的精确度 取 实务中也可取 j2 Tj2 最优问题归结为 s t B t t 1 6 3 因 所以约束条件可写成 考虑如下两种情况 1 多项式样条函数 以三次样条函数为例 由B t s f s t 可以假设B t s B s t 假定贴现函数为 其中 s t 该贴现函数12个参数 为了使贴现函数在5 10处光滑的连接 下面约束条件也应成立 其中B i 表示函数B 的第i阶导数 i 1 2 3 利用约束条件 6 4 6 5 及 6 6 将相互间独立的参数缩减到五个 优化问题转化为 2 指数样条函数 假定贴现函数为 6 7 其中参数 0 其余符号的含义与 1 相同 通过类似的处理方法 能够将该模型中的参数减少到五个 对上面的两种情况 条件B t t 1可写成矩阵的形式 对B t t 1运用约束条件下的广义最小二乘法 得到 其中 为债券定价公式中参数向量的相关系数矩阵 由多元统计分析可知 对于无约束条件下的估计值 有 所以 说明 一般地 样条函数的选择取决于对贴现函数平滑度的要求 如果用来拟合零息债券收益率曲线的多项式函数是p阶的 希望贴现函数B t s 是p 1阶连续可导的 实际中常用指数样条函数来估计零息债券的价格 在 6 7 中 B 是 的函数 因此 可视为起息日为未来无限远时的瞬间远期利率 6 3利率风险的度量利率风险 指市场利率发生不利变动引起的收入的减少 成本的增加或投资价值下降的风险 通常利率波动的方式 利率总体水平的波动 指整个市场的利率发生一个同向的波动 这种同向波动通常是由市场基准利率的波动引起的 相关利率的波动 指市场中不同的金融资产的收益率之差发生波动 即不同期限的金融工具或同一期限的借贷利差发生波动 这种波动反映在收益率曲线的图形上是倾斜程度的变动 长期利率相对于短期利率发生波动 从图形上看 收益率曲线发生了扭动 从债券定价公式中长期债券的价格比短期债券的价格更容易受利率波动的影响 可将债券的到期时间作为衡量风险的一个尺度 引入久期来描述债券的期限 1 Macaulay久期与修正久期 1 Macaulay久期 久期 债券的多次现金流的期限经加权平均得到的平均期限 度量了债券价格对利率变化的敏感性 Macaulay久期 债券所有现金流发生时间的加权平均值 情形一 设债券的价格为P ti时的现金流为 则债券价格与债券现金流之间的关系可以表示为 6 8 其中N为债券提供的现金流的次数 y为债券的到期收益率 债券的Macaulay久期 显然期限ti在Macaulay久期中的权重为 其表示第i次现金流的现值在现金流现值总和中所占的比例 反映了第i次现金流的重要程度 情形二 如果将 1 y 用连续复利e 表示 则债券价格变为 Macaulay久期为 结论 Macaulay久期是债券的加权平均的期限 其单位通常是年 零息票债券的Macaulay久期就等于其期限 付息债券的Macaulay久期要比其到期期限短 应用Macaulay久期的条件 收益率曲线是水平的 所有未来现金流的贴现率是固定的 债券的现金流不受利率变动的影响 优点 Macaulay久期形式简单且便于计算 局限 Macaulay久期不适用于含选择权的债券如可赎回债券 有提前偿付风险的抵押支持证券 投资者从Macaulay久期所获得的信息远不能满足其在作投资选择时对风险评估的需求 2 修正久期 在公式中 将P理解为y的函数P y 修正久期的定义 DM c与DMod的关系为 说明 当到期收益率y的变化量 y很小时 修正久期可以很好地度量 P 例题6 4 下列选项中 久期最长的债券为 A 8年期 6 的息票利率B 8年期 11 的息票利率C 15年期 6 的息票利率D 15年期 8 的息票利率E 15年期 11 的息票利率 答案 C 解析 选择C项 久期与到期时间成正比 与息票率成反比 例题6 5 5年期面值为1000美元的债券的息票率和到期收益率均为8 采取年付的方式 并且到期以面值赎回 它的Macaulay久期是 修正久期是 A 4 31 3 99B 4 99 3 31C 4 29 3 99D 4 31 3 79E 4 31 3 59 答案 A 解析 对久期的计算如表6 2所示 表6 2修正的久期 4 31 l 08 3 99年 2 Macaulay凸度与修正凸度 1 修正凸度的定义为 因CMod是正的 故债券的价格收益率曲线是凸的 且CMod越大 价格收益率曲线越弯曲 债券价格的变化率的估计 2 Macaulay凸度的定义为 3 Macaulay久期和Macaulay凸度的关系 例题6 6 10年期的平价债券 修正久期为7 修正凸度为50 如果该债券的收益率上升10个百分点 则对价格产生的影响是 A 0 705 B 0 700 C 0 698 D 0 690 E 0 685 答案 C 解析 债券收益率的变化而导致的价格变化的百分比为 这里DMod是债券的修正久期 CMod是它的修正凸度 y是给定的收益率变化 所以 基于给定的信息 收益率10 的变化对价格所产生的影响可以计算如下 P P 7 0 001 1 2 50 0 001 2 0 00698 3 有效久期与有效凸度度量含权债券利率风险的两个重要概念 有效久期和有效凸度 1 有效久期设P0 P P 分别表示债券的初始价格 收益率在初始收益率的基础上增加和减少 时对应的价格 这里 通常以若干个基点数表示 有效久期定义为 显然DE可以方便地通过价格的历史信息计算出来 从DE的计算并不需要债券价格P的表达式 因此对于含权债券 DE也是适用的 2 有效凸度有效凸度定义为 有效久期和有效凸度的概念十分简单 且仅需要价格的历史信息即可算出 对定价公式没有任何要求 因此在实际中得到了广泛的应用 例 可赎回债券为例加以说明有效凸度的计算 设PR为可赎回债券的价格 P为不含可赎回条款的普通债券的价格 p为赎回条款对应期权的价格 可赎回债券的价格应为 PR P p因为 中的 是期权的一个避险参数 故可赎回债券的久期为 是期权的避险参数 故可赎回债券的凸度为 说明 CMod为不含可赎回条款的普通债券的凸度 例题6 7 考虑一种20年期债券 息票率为9 每年付息 按6 的到期收益率的价格134 41进行交易 当收益率上升10个基点的时候 价格跌至132 99 当收益率降低10个基点的时候 价格涨至135 85 则此债券的有效久期是 A 11 25B 10 73C 10 64D 10 50D 10 45 答案 C 解析 由已知条件可得有效久期为 10 64 例题6 8 已知一个6年期可赎回债券的现价为100元 当收益率上升100个基点时 该债券的价格将降为95 87元 当收益率下降l00个基点时 该债券的价格将升至l04 76元 该债券的有效凸度和有效久期分别为 A 62 4 425B 63 4 445C 64 4 425D 65 4 445E 66 4 425 答案 B 解析 该债券的有效久期为该债券的有效凸度为 4 久期与凸度的应用 资产负债匹配对资产组合进行有效的风险管理是金融机构的核心任务之一 而资产组合提供的现金流能满足负债的要求是资产风险管理应达到的首要目标 1 负债的定义和分类负债 指在规定的时间必须支出的现金流 从支付时间和支付金额的角度看 负债可以分为四类 时间与金额都是确定的 如银行的定期存款业务产生的负债 时间不确定 金额确定 如寿险中的以生存为赔付条件的业务产生的负债 时间确定 金额不确定 欧式期权发行者的负债属于这种类型 时间和金额都不确定 美式期权的发行者 养老金业务都属于这种类型 2 资产负债匹配的策略 套期保值策略资产负债匹配的最重要策略是套期保值策略 其基本思想是假定资产和负债受相同风险因素的影响 如果能求出资产和负债与因素间的函数关系 通过调整所持有资产的头寸 可做到当风险因素变化时 资产与负债的变化量大小相等 但方向相反 从而资产与负债构成的组合不受风险因素的影响 这种投资策略被形