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数学广角数与形莒南县第三小学 袁彦飞1、 教学内容：人教版六年级上册第八单元P107例1。2、 教学目标：1. 使学生通过自主探究发现图形中隐藏着的数的规律，并会应用所发现的规律。2. 让学生体会和掌握数形结合、归纳推理等基本的数学思想，积累数学活动经验。3. 介绍华罗庚、毕达哥拉斯等数学史实资料，让学生体会数学的魅力和研究的乐趣。3、 教学过程：一、开门见山，直接导入师：同学们，听说过这样一句话吗？“数学是研究数量关系和空间形式的科学”，从这句话中我们知道数学就是研究“数”与“形”的科学。今天这节课我们就一起研究“数与形”（板书课题）师：我们的研究先从数开始，1、3、5.接下来是几？再往下是几？有什么规律？生答师总结：对，这组数的规律是每次增加2，也可以说他们都是连续的奇数。二、探究与解决师：同学们太棒了，再给你一组数：1、4、9接下来是几？你是怎么想的？生：16，依次加3加5加7.师：第五个数呢？有什么规律？师：（课件）第一个数是1，第二个数4就可以看成1+3,再加5就是9，再加7就是16，再加9就是25.你有什么发现？师：同学们的意思就是连续奇数相加，一个奇数是1,两个从1开始的连续奇数相加是？3个呢？4个呢？n个从1开始的连续奇数相加的和是多少呢？如何表示？师：看来这个问题是有难度。不过不要紧，我们遇到复杂问题时，可以先从简单开始，退、退、退，退到最简单的1个奇数相加，和是？（课件）这样的两个奇数相加，和是？3个呢？4个呢？（课件闪烁）你是不是有什么发现？在小组内说说自己的发现。小组交流全班汇报师：谁来说说你的发现？能找一个数解释一下吗？生答师：为了便于观察，我们可以将算式隐藏起来确认一下，真有这个规律吗？师：1个连续奇数的和就是1,2个这样的奇数相加，和就是4。9呢？16呢？25呢？.师：以此类推如果有20个这样的连续奇数相加，你觉得和应该是多少？100个呢？n 个呢？因此，我们得出结论：从1开始的n连续奇数相加的和就是n。师：有没有意思？进一步深入思考，为什么从1开始的n连续奇数相加的和就是n?师：看来解释起来有难度，华罗庚爷爷告诉我们：“不懂就画图”我来做个示范，1个连续奇数就用1个小正方形来表示，那么1+3应该怎么表示？小组长拿出小组内的正方形，拼一拼。小组活动全班交流（选择拼成其他图形和正方形的）师：我们先来看这两幅图，能表示1+3吗？1在哪？3呢？这两幅图都能表示1+3，关键是我们不仅要表示出1+3，还要解释为什么能用22来表示，哪幅图更合适？师：22在哪里？师：看来拼成正方形就可以表示1+3和22，那1+3+5又该怎么拼？你来试试看。小组活动（同时找一生到黑板排列）师：大家都拼成正方形了吗？我看到大家拼的正方形的样子都不大一样，颜色排列不同，这位同学排的好不好？好在哪里？师：对，虽然都拼成了正方形，但我们数学要讲究顺序、规律、条理。这样，你能解释为什么1+3+5能用3来算吗？生答师：1+3+5+7，你会拼吗？可是方块已经没有了，想一想，如果在这个基础上再增加7个，你觉得这个7可以怎么摆？拼完后是什么图形？师：（课件）是这样吗？这个正方形每行有几个？有几行？这些不同的颜色表示几？为什么1+3+5+7可以用4来算？师：（课件）如果继续拼下去，再加一个奇数9，现在有几个奇数？是几的平方？为什么？师：再增加一个奇数11，和是？再增加一个13，和是？师：以此类推，如果有n个从1开始的连续奇数相加的和就是n。师：现在明白了吗？其实，我们不仅可以用正方形来解释，还可以用点子图来解释，（课件）这些点也可以连成正方形。总结：数是很抽象的，很多道理我们需要借助形的力量来理解，把数化成形之后，可以使复杂的数量关系变得更加清楚、明白。我们把这样的过程叫做“化数为形，以形助数”。师：数的规律可以借助图形思考，那形的变化背后是不是也隐藏着数的规律？出示做一做师：我们来看，这几幅图有规律吗？以此类推第10幅图有多少个蓝色的小正方形？生独立完成全班交流师：借助图形说说你的做法。师：为什么不画图？是的，画图太麻烦了，这时就需要借助数的力量，把形的问题用计算来做会更加的快速、简便而且准确。我们把这样的过程叫做“化形为数，以数解形”课件展示规律计算师总结：回顾这两个例子，在第一个例子中，数的问题可以借助图形来思考，第二个例子，形的知识可以借助数来计算。数和形各有优点，它们一一对应，而且可以相互转化，互为补充，这就意味着我们在解决问题时要把数和形结合起来，这在数学上是一种重要的思想，叫做“数形结合思想”。其实，对于数形结合我们并不陌生，让我们把时光倒流到一年级，看！（课件）师：数形结合的思想不光在小学陪伴着我们，到初中、高中的学习中，我们也会经常用到。我国数学家华罗庚就曾经说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。（齐读）师：数形结合百般好。可怎样做到数形结合呢？我想，这既是一种思想，就要落实到“思”和“想”上，也就是要见数思形，见形想数。试试你能不能做到？3、 练习（1）32=6平方厘米 有这样一道算式，你能想到什么图形？（2）师：再来看，这是一位同学画的一副图形，它用来表示一个数，你觉得它是那一个数呢？（3）师：有这样一个数量关系，一袋大米中60千克，吃了四分之三，你能够想到用什么图形来表示它？（4）师：这样一个图形，你会想到是几的平方？为什么？师：边长为3可以用3的平方来表示，我们把3的平方还原成像第一张那样几个连续奇数的相加这个算式，这应该是什么样子的？师：那这样的一个算式又可以用几的平方来表示？师：那4的平方你又能想到什么图形？师：多大的正方形？师：如果把上边的算式合起来，和应该是多少？师：想一想，3的平方等于几？4的平方等于几？9+16=25，是5的平方师：5的平方你又能想到什么图形？师：大家看，一个有趣的算式出现了，3的平方加4的平方等于5的平方，这个有趣的算式背后还隐藏着有趣的图形，大家看，直角三角形它的一条直角边如果是3，另一条直角边是4，那他的斜边就一定是5，这是我们初中要学的一个重要的定理。师：下面给大家介绍一些有意思的数。像当中的这些数化成图形都是正方形，我们就把这样的数叫做“正方形数”；按照这样的叫法，这些数叫做“三角形数”；这些可以叫“梯形数”这些呢？“五边形数”，像这样的数还有很多。我们现在再来感受一下这些数。你觉得这些数它还只是数吗？它有形状吗？这些形它还只是形吗？它有数吗？数和形，形和数能分得开吗？所以数学上也没把他们分开，我们就把这样有形状的数叫做“形数”，知道形数是谁发现的吗？他叫“毕达哥拉斯”，他有一个著名的理论，他认为世界上万事万物的背后都隐藏着数的规律，它还举了一个例子，1可以用1个点来表示，2用两个点来表示，那它就可以练成一条