相遇与追及问题初步.docx

学科培优 数学“相遇与追及问题初步”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位在今天这节课中，我们来研究行程问题中的相遇与追及问题这一讲就是通过例题加深对行程问题三个基本数量关系的理解，使学生养成画图解决问题的好习惯！在行程问题中涉及到两个或两个以上物体运动的问题，其中最常见的是相遇问题和追及问题.知识梳理一、相遇甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度相遇时间+乙的速度相遇时间=（甲的速度+乙的速度）相遇时间=速度和相遇时间.一般地，相遇问题的关系式为：速度和相遇时间=路程和，即二、追及有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度追及时间-乙的速度追及时间=（甲的速度-乙的速度）追及时间=速度差追及时间. 一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差追及时间，即 【重点难点解析】1直线上的相遇与追及2环线上的相遇与追及【竞赛考点挖掘】1. 多人多次相遇与追及例题精讲【试题来源】【题目】一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米。3.5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米？【答案】329（千米）【解析】（46+48）3.5=943.5=329（千米）【知识点】相遇与追及问题初步【适用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【题目】两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米。甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？【答案】453=135（千米）。403=120（千米）【解析】255（45+40）=25585=3（小时）。453=135（千米）。403=120（千米）。【知识点】相遇与追及问题初步【适用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【题目】两地相距3300米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？【答案】5（分钟）【解析】3300-（82+83）15（82+83）=3300-16515165=3300-2475165=825165=5（分钟）【知识点】相遇与追及问题初步【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？【答案】2（小时）【解析】出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-105（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上.10（15-10）1052（小时）【知识点】相遇与追及问题初步【适用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【题目】南辕与北辙两位先生对于自己的目的地s城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?【答案】550（千米）【解析】两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，（50+60）5=550（千米）【知识点】相遇与追及问题初步【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】军事演习中，“我”海军英雄舰追击“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰?【答案】20分钟【解析】“我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米（=100010）.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000米-600米）即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间.即（100010-600）（1470-1000）=（10000-600）470=9400470=20（分钟），所以，经过20分钟可开炮射击“敌”舰【知识点】相遇与追及问题初步【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝.小红、小蓝二人的速度各是多少？【答案】10（米/秒）【解析】小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为205=4（米/秒）；若小红让小蓝先跑4秒，则小红6秒可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差就等于46=24（米），也即小蓝在4秒内跑了24米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度.综合列式计算如下：小蓝的速度为：20564=6（米/秒），小红的速度为：6+4=10（米/秒）【知识点】相遇与追及问题初步【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】小明步行上学，每分钟行70米.离家12分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明.问爸爸出发几分钟后追上小明？【答案】4（分钟）【解析】爸爸要追及的路程：7012=840（米）,爸爸与小明的速度差：280-70=210（米/分）,爸爸追及的时间：840210=4（分钟）【知识点】相遇与追及问题初步【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【答案】8点32分。【解析】画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-44（千米）.而爸爸骑的距离是 4 8 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 1243（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8324（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了41216（千米）.少骑行24-168（千米）.摩托车的速度是88=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.881632.所以这时是8点32分。【知识点】相遇与追及问题初步【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇后3时，甲车到达B地。求A，B两地的距离。【答案】200千米【解析】相遇后甲行驶了403=120千米，即相遇前乙行驶了120千米，说明甲乙二人的相遇时间是12060=2小时，则两地相距（40+60）2=200千米【知识点】相遇与追及问题初步【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中的A处相遇。若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小红和小强的家相距多远? 【答案】2196（米）【解析】因为小红的速度不变，相遇地点不变，所以小红两次走的时间相同，推知小强第二次比第一次少走4分。由（704）（90-70）=14（分），推知小强第二次走了14分，第一次走了18分，两人的家相距（52+70）18=2196（米）【知识点】相遇与追及问题初步【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出，4小时后两车相遇，然后各自继续行驶3小时，此时甲车距B地10千米，乙车距A地80千米问：甲车到达B地时，乙车还要经过多少时间才能到达A地?【答案】1时48分【解析】由4时两车相遇知，4时两车共行A，B间的一个单程相遇后又行3时，剩下的路程之和108090（千米）应是两车共行431（时）的路程所以A，B两地的距离是（1080）（43）4360（千米）。因为7时甲车比乙车共多行801070（千米），所以甲车每时比乙车多行 70710（千米），又因为两车每时共行90千米，所以每时甲车行 50千米，乙车行40千米行一个单程，乙车比甲车多用360403605097218（时）1时48分【知识点】相遇与追及问题初步【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离.【答案】【解析】先画图如下：.若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：（26-6）=20（分）。同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50（266）=1600（米）.所以，甲的速度为16002080（米/分），由此可求出A、B间的距离。50（26+6）（26-6）=50322080（米/分）（80+50）61306=780（米）【知识点】相遇与追及问题初步【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离？【答案】18（千米）.【解析】画一张示意图（可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？）离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，小张比小王多走了2千米小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是2（5-4）2（小时）.因此，甲、乙两地的距离是（5 4）218（千米）.【知识点】相遇与追及问题初步【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇求A、B两地间的距离？【答案】260(千米)【解析】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即953=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：953-25=285-25=260(千米)【知识点】相遇与追及问题初步【适用场合】当堂例题【难度系数】3习题演练【试题来源】【题目】甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问：二人几小时后相遇？【答案】3小时【解析】3小时【知识点】相遇与追及问题初步【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】哥哥和弟弟在同一所学校读书哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远?【答案】520米【解析】520米【知识点】相遇与追及问题初步【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】小新和正南二人同时从学校和家出发，相向而行，小新骑车他的三轮车每分钟行00米，分钟后小新已超过中点米，这时二人还相距米，正南每分钟行多少米？【答案】74米/分【解析】74米/分【知识点】相遇与追及问题初步【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】B地在A，C两地之间甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。【答案】先追甲120分钟，先追乙90分钟【解析】先追甲120分钟，先追乙90分钟【知识点】相遇与追及问题初步【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】夏夏和冬冬同时从两地相向而行，两地相距1100米，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，问两人在距两地中点多远处相遇？【答案】50米【解析】50米【知识点】相遇与追及问题初步【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】甲、乙两列火车同时从东西两镇之间的A地出发向东西两镇反向而行，它们分别到达东西两镇后，再以同样的速度返回，已知甲每小时行60千米，乙每小时行70千米，相遇时甲比乙少行120千米，东西两镇之间的路程是多少千米？