指数分布应用.doc

指数分布相关问题一. 在概率论中有一种分布是指数分布，其概率密度函数为 f(x)=e(-) x0 (0 x=0 ) 这种分布具有无记忆性，和寿命分布类似。 举个例子来说就是，一个人已经活了20岁和他 还能再活20岁这两件事是没有关系的。因此指数分布也被戏称为“永远年轻”。另外正态分布也用到了指数函数，只不过表达式比较复杂，这在高中数学中也有涉及到。 二. 在复变函数中，也经常用到指数形式表示一个负数。比如说1+i=根号2*e(i/4) 这是根据著名的欧拉公式得到的：cosa+isina=e(ai),当然复指数与实数范围内的指数有很多不同的地方，在复变函数中还会学深入的学到。 复指数在信号的频谱分析中还有很重要的应用，要研究一个周期信号的还有那些频率分量就要把它展开成若干个复指数函数的线性组合，这个过程叫傅里叶分解，是法国数学家、物理学家傅里叶（Fourier）发现的。学习电信类的相关专业会对信号的分析有一个系统的学习。 幂函数最重要的应用就是级数。不严谨的说，就是把一个函数展开成无穷项等比数列求和的形式，只不过每项都是关于x的幂函数，利用这个幂级数，可以把任意一个函数表示成多项式，方便近似计算。另外，刚才提到的傅里叶分解也就是把一个周期函数（信号）展开成傅里叶级数。如果函数是非周期的（即周期无限大）这个过程就叫做傅里叶变换。指数分布的应用: 一. 许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。 指数分布可以看作当威布尔分布中的形状系数等于1的特殊分布，指数分布的失效率是与时间t无关的常数，所以分布函数简单。 二. 在电子元器件的可靠性研究中，指数分布应用广泛，在日本的工业标准和美国军用标准中，半导体器件的抽验方案都是采用指数分布。此外，指数分布还用来描述大型复杂系统（如计算机）的故障间隔时间的失效分布。但是，由于指数分布具有缺乏“记忆”的特性因而限制了它在机械可靠性研究中的应用，所谓缺乏“记忆”，是指某种产品或零件经过一段时间t0的工作后,仍然如同新的产品一样,不影响以后的工作寿命值，或者说，经过一段时间t0的工作之后，该产品的寿命分布与原来还未工作时的寿命分布相同，显然，指数分布的这种特性，与机械零件的疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损伤过程的实际情况是完全矛盾的，它违背了产品损伤累积和老化这一过程。所以，指数分布不能作为机械零件功能参数的分布形式。 指数分布虽然不能作为机械零件功能参数的分布规律，但是，它可以近似地作为高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。 三. 排队论，也称随机服务系统理论。排队是在日常生活中经常遇到的现象，在医院中，目前要求服务的数量通常都超过服务机构的容量。对服务系统进行定量分析，综合平衡患者与服机构的设置，以期提高服务质量。一、资料来源与方法(一)根据我院超声科的调查，应用排队论的理论和方法评价与优化该服务系统。超声科有3台B超仪，机构形式是单队多服务台的情形，服务时间是随机的，服务时间的分布假定平稳，即分布的参数不受时间的影响。调查内容是单位时间内到达的患者数与服务时间。(二)单位时间内到达的患者数：每10分钟为一个调查单位，随机调查72个调查单位，记录每个调查单位内到达的患者数，结果见表1：表1单位调查时间的患者人数及频度 患者数(i)出现的频数(fi)024133210344150合计72(三)服务时间：从为患者开始做B超检查(包括准备工作)时记起，到患者做完检查离去为止，随机调查113个患者的服务时间。不同服务时间的出现频(次)数见表2：表2为每位患者服务时间归类出现频(次)数服务时间(分)出现频数(fi)0551536301745460175以上0合计113二、拟合检验系统的统计推断，采用拟合优度的2检验，判定给定的排队系统符合那种分布模型。(一)单位时间内到达的患者服从possion分布的拟合检验见表3：单位时间患者平均到达计算概率计算理论频数求2值 表3单位时间内到达的患者数服从possion分布的2拟合检验患者数(i)实际频数(fi)理论频数概率(Pi)02427.610.383513.06300.473113326.460.367642.72351.614421012.680.17617.18510.5666344.050.05630.00260.0006410.970.01350.00090.0009合计72=0.0958人/分2=2.6556取=0.05，v=5-2=3时，查界值表20.05，3=7.81，220.05，3，P0.05。该单位时间内的患者到达人数服从参数为0.0958的possion分布。(二)服务时间服从负指数分布的拟合检验见表4：每次检查平均服务时间式中xi为组中值计算概率：计算理论频数求2值 表4服务时间服从负指数分布的2拟合检验服务时间(分)实际频数(fi)理论频数概率(Pi)05561.440.543841.52710.6759153628.030.248163.46232.2638301712.290.113217.72191.3856457558.500.075212.23561.4398合计113=0.0523人/分2=5.7650取=0.05，v=4-2=2时，查界值表20.05，2=5.99，220.05，2，P0.05。服务时间=0.0523的负指数分布。三、求解与结果由以上拟合优度的2检验知，该系统符合排队论中的M/M/C/FCFS型情形的排队模型，应用其计算公式得各项指标：=0.0958；=0.0523；C=3。服务强度：空闲概率：等待检查的平均患者人数：系统中平均逗留患者数：患者平均等待时间：患者平均逗留时间：系统满员率：患者到达后必须等待的概率，也称超员率(即系统中患者数已有3人，各服务台没有空闲时)：四、结论与系统最优化(一)根据以上结果知，该服务机构平均利用率61%，空闲概率14%，满员率14%，说明仪器的充分利用与2、4、5台B超仪的情形(见表5)相比最好的，患者平均等待时间6分钟，在B超室平均逗留25分钟，有50%以上患者到达后需等待，系统较为忙碌，难以保证服务质量，特别是系统发生意外(如某台设备故障)时，需长时间排队(见表5)。将设备增加至5台，各项指标虽有明显改善，但设备利用率仅36.6%，显然造成一定浪费。综上所述，4台B超仪是该系统的最优选择。 表5不同服务台数下各台的运行值台数服务强度空闲概率P0等待人数Lq逗留人数Ls等待时间Wq逗留时间Ws满员率P(n=C)20.91590.04399.532711.364099.5060118.6300.073730.61060.14010.57762.40946.029725.1500.143540.45790.15630.11421.94601.192520.3130.073350.36630.15940.02501.85670.260919.3810.0274一、旬天气情况气温：八月中旬平均气温百色市南北山区及南丹、金秀等地24.426.5，贺州、柳州、贵港三市全部，桂林、南宁两市大部、百色、河池两市局部及防港、梧州等地28.631.0，我区其余地区为26.628.5；与常年同期相比，崇左、玉林两市局部及北海等地正常到偏低0.5，其余大部地区偏高0.13.4，其中桂林大部、柳州、河池两市局部及象州等地偏高2.0以上。旬极端最高气温全区30.037.2，大部地区出现在11日、15日或19日，局部出现在1314日或16日。降雨：八月中旬降雨量北海、防城港、钦州、崇左四市大部，河池、百色、贺州、梧州、玉林五市局部及永福、来宾、贵港等地为50202.4毫米，其中北海、合浦、东兴、防城、防城港、贵港、钦州等站旬降雨量超过100毫米，我区其余地区0.149.9毫米；与常年同期相比，崇左、防城港、河池三市局部及永福、来宾、钟山、梧州、贵港、北海等地正常到偏多6成，其中钟山、贵港两地旬降雨量偏多6成以上，我区其余地区偏少110成。旬降雨日数我区桂东北大部地区为34天，其余大部地区为68天；与常年同期相比，大部地区正常到偏少2天。 日照：八月中旬日照时数全区37105小时，与常年同期相比，全区大部偏多23成。二、监测结论根据2010年8月中旬的MODIS卫星数据制作本旬归一化植被指数（NDVI）遥感监测图像（见图1）。本旬归一化植被指数值主要分布在3368（放大100倍，以下同）范围内，空间分布特征：NDVI值在4556之间的区域占全区面积最大，其次为3344之间的区域。在各类地物中，林区NDVI值最高，一般大于57，裸地和城镇用地的NDVI值较低，一般在33以下。受云影响，甘蔗产区的植被指数无法监测。本旬我区各市归一化植被指数（NDVI）分段统计结果见表1。表1 2010年8月中旬