专题18：动态几何之和差问题探讨.doc

【2013年中考攻略】专题18：动态几何之和差问题探讨动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题进行了探讨，本专题对和差问题进行探讨。结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从四方面进行动态几何之和差问题的探讨：（1）静态和差问题；（2）和差为定值问题；（3）和差最大问题；（4）和差最小问题。一、静态和差问题：典型例题：例1：（2012海南省3分）如图，在ABC中，B与C的平分线交于点O. 过O点作DEBC，分别交AB、AC于D、E若AB=5，AC=4，则ADE的周长是 .【答案】9。【考点】角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定。【分析】OB是B的平分线，DBO=OBC。 又DEBC，OBC =BOD。DBO=BOD。DO=DB。 同理，EO=EC。 又AB=5，AC=4， ADE的周长=ADDEAE=ADDOEOAE=ADDBECAE=ABAC=54=9。例2：（2012湖北荆门3分）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为【 】A 8 B 4 C 8 D 6【答案】C。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的对称性质，正方形的性质，勾股定理。【分析】如图，正方形ABCD的对角线长为2，即BD=2，A=90，AB=AD，ABD=45，AB=BDcosABD=BDcos45=2。AB=BC=CD=AD=2。由折叠的性质：AM=AM，DN=DN，AD=AD，图中阴影部分的周长为AM+BM+BC+CN+DN+AD=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。故选C。例3：（2012四川内江3分）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为【 】A.15 B.20 C.25 D.30【答案】D。【考点】翻折变换（折叠问题），矩形和折叠的性质。【分析】根据矩形和折叠的性质，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长，为2（10+5）=30。故选D。例4：（2012山东枣庄3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为【 】A、14 B、16 C、20 D、28 【答案】D。【考点】平移的性质，勾股定理。【分析】由勾股定理，得AB=，将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD，五个小矩形的周长之和=2（AB+CD）=2（6+8）=28。故选D。例5：（2012湖北武汉3分）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB5，BC6，则CECF的值为【 】A11 B11C11或11 D11或1【答案】C。【考点】平行四边形的性质和面积，勾股定理。【分析】依题意，有如图的两种情况。设BE=x，DF=y。 如图1，由AB5，BE=x，得。 由平行四边形ABCD的面积为15，BC6，得， 解得（负数舍去）。 由BC6，DF=y，得。由平行四边形ABCD的面积为15，AB5，得， 解得（负数舍去）。 CECF=（6）（5）=11。 如图2，同理可得BE= ，DF=。 CECF=（6）（5）=11。 故选C。例6：（2012山东枣庄8分）已知：如图，在四边形ABCD中，ABC90，CDAD，AD2CD22AB2（1）求证：ABBC；（2）当BEAD于E时，试证明：BEAECD【答案】解：（1）证明：连接AC。ABC90，AB2BC2AC2。CDAD，AD2CD2AC2。AD2CD22AB2，AB2BC22AB2。ABBC。（2）证明：过C作CFBE于F。BEAD，四边形CDEF是矩形。CDEF。ABEBAE90，ABECBF90，BAECBF。又ABBC，BEACFB，BAECBF（AAS）。AEBF。BEBFEF AECD。【考点】勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）题目中存在直角，垂直，含线段平方的等式，因此考虑连接AC，构造直角三角形，利用勾股定理证明。（2）可采用“截长”法证明，过点C作CFBE于F，易证CD=EF，只需再证明AE=BF即可，这一点又可通过全等三角形获证.例7：（2012内蒙古呼和浩特7分）如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DEAG于E，BFDE，交AG于F（1）求证：AFBF=EF；（2）将ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F，若正方形边长为3，求点F与旋转前的图中点E之间的距离【答案】（1）证明：如图，正方形ABCD，AB=AD，BAD=BAG+EAD=90。 DEAG，AED=90。EAD+ADE=90。ADE=BAF。又BFDE，AEB=AED=90。在AED和BFA中，AEB=AED，ADE=BAF，AD = AB。AEDBDA（AAS）。BF=AE。AFAE=EF，AFBF=EF。（2）解：如图，根据题意知：FAF=90，DE=AF=AF，FAE=AED=90，即FAE+AED=180。AFED。四边形AEDF为平行四边形。又AED=90，四边形AEDF是矩形。EF=AD=3。点F与旋转前的图中点E之间的距离为3。【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，可得出BAD为90，AB=AD，进而得到BAG与EAD互余，又DE垂直于AG，得到EAD与ADE互余，根据同角的余角相等可得出ADE=BAF，利用AAS可得出三角形ABF与三角形ADE全等，利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE，由AFAE=EF，等量代换可得证。（2）将ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F，连接EF，如图所示，由旋转的性质可得出FAF为直角，AF=AF，由（1）的全等可得出AF=DE，等量代换可得出DE=AF=AF，再利用同旁内角互补两直线平行得到AF与DE平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得出AEDF为平行四边形，再由一个角为直角的平行四边形为矩形可得出AEDF为矩形，根据矩形的对角线相等可得出EF=AD，由AD的长即可求出EF的长。例8：（2012重庆市10分）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作MECD于点E，1=2（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME【答案】解：（1）四边形ABCD是菱形，ABCD。1=ACD。 1=2，ACD=2。MC=MD。MECD，CD=2CE。CE=1，CD=2。BC=CD=2。（2）证明：F为边BC的中点，BF=CF=BC。CF=CE。在菱形ABCD中，AC平分BCD，ACB=ACD。在CEM和CFM中，CE=CF，ACB=ACD，CM=CM，CEMCFM（SAS），ME=MF。延长AB交DF于点G，ABCD，G=2。1=2，1=G。AM=MG。在CDF和BGF中，G=2，BFG=CFD，BF=CF，CDFBGF（AAS）。GF=DF。由图形可知，GM=GF+MF，AM=DF+ME。【考点】菱形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）根据菱形的对边平行可得ABD，再根据两直线平行，内错角相等可得1=ACD，所以ACD=2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度。（2）先利用SAS证明CEM和CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明1=G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用AAS证明CDF和BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证。例9：（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到AME当AB=1时，AME的面积记为S1；当AB=2时，AME的面积记为S2；当AB=3时，AME的面积记为S3；当AB=n时，AME的面积记为Sn当n2时，SnSn1= 例10：（2012贵州铜仁4分）如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为【 】A6B7C8D9【答案】D。【考点】角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】ABC、ACB的平分线相交于点E，MBE=EBC，ECN=ECB，MNBC，EBC=MEB，NEC=ECB。MBE=MEB，NEC=ECN。BM=ME，EN=CN。MN=ME+EN，即MN=BM+CN。BM+CN=9MN=9。故选D。例11：（2012广东梅州3分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将ABC沿着DE折叠压平，A与A重合，若A=75，则1+2=【 】A150B210C105D75【答案】A。【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。【分析】ADE是ABC翻折变换而成，AED=AED，ADE=ADE，A=A=75。AED+ADE=AED+ADE=18075=105，1+2=3602105=150。故选A。例12：（2012湖北孝感3分）已知是锐角，与互补，与互余，则的值是【 】A45 B60 C90 D180【答案】C。【考点】余角和补角、【分析】根据互余两角之和为90，互补两角之和为180，结合题意即可得出答案：由题意得，=180，=90，两式相减可得：=90。故选C。例13：（2012湖南长沙3分）如图，ABCDEF，那么BAC+ACE+CEF= 度【答案】360。【考点】平行线的性质。【分析】ABCD，BAC+ACD=180。CDEF，CEF+ECD=180。+得，BAC+ACD+CEF+ECD=180+180=360，即BAC+ACE+CEF=360。练习题：1. （2012辽宁本溪3分）如图 在直角ABC中，BAC=90，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则ACE的周长为【 】A、16 B、15 C、14 D、132. （2012吉林省3分）如图，在等边ABC中，D是边AC上一点，连接BD将BCD绕点B逆时针旋转60得到BAE，连接ED若BC=10，BD=9，则AED的周长是_ _.3. （2012福建龙岩3分）如图，RtABC中，C=90，AC = BC = 6，E是斜边AB上任意一点，作EFAC于F，EGBC于G，则矩形CFEG的周长是 4. （2012福建宁德4分）如图，在矩形ABCD中，AB2，BC3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EFHG，EHFG，则四边形EFGH的周长是【 】A B C2 D25. （2012内蒙古包头10分）如图，已知AB为O的直径，过O上的点C的切线交AB 的延长线于点E , ADEC 于点D 且交O于点F ，连接BC , CF , AC 。（1）求证：BC=CF；（2）若AD=6 , DE=8 ，求BE 的长；（3）求证：AF + 2DF = AB。6. （2012山东东营10分）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE求证：CECF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果GCE45，请你利用（1）的结论证明：GEBEGD（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B90，ABBC，E是AB上一点，且DCE45，BE4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积7. （2012黑龙江牡丹江8分）如图，ABC中。AB=AC，P为底边BC上一点，PEAB，PFAC， CHAB，垂足分别为E、F、H易证PE+PF=CH证明过程如下：（1）如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量网关系?请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若A=300，ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= 点P到AB边的距离PE= 8. （2012江苏南通3分）如图，在ABC中，C70，沿图中虚线截去C，则12【 】A360 B250 C180 D1409.（2012江苏南京2分）如图，、是五边形ABCDE的4个外角，若，则 10.（2012四川绵阳3分）如图，将等腰直角三角形虚线剪去顶角后，1+2=【 】。A225 B235 C270 D与虚线的位置有关11.（2012四川凉山4分）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中+的度数是【 】A B C D 二、和差为定值问题：典型例题：例1： （2012广西崇左10分）如图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E、F移动过程中；（1）EAF的大小是否发生变化？请说明理由.（2）ECF的周长是否发生变化？请说明理由.【答案】解：（1）EAF的大小不会发生变化。理由如下：在正方形ABCD中，AHEF，AHF=D=90，AF=AF，AH=AD，RtAHFRtADF(HL)。HAF=DAF。同理RtAHERtABE，HAE=BAE。HAF+DAF+HAE+BAE=90，EAF=HAF+HAE=45。EAF的大小不会发生变化。（2）ECF的周长不会发生变化。理由如下：由（1）知：RtAHFRtADF， RtAHERtABE，FH=FD，EH=EB。EF=EH+FH=EB+FD。CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD。CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD。【考点】正方形的性质，动点和定值问题，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）由HL证得RtAHFRtADF和RtAHERtABE即可得EAF=HAF+HAE=45，即EAF的大小不会发生变化。（2）由（1）两个全等即可得CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD，即CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD。【点评】第二问，ECF的周长即CE+CF+EF为定值：正方形ABCD边长的2倍。例2：（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）如图1，PE=BE，EBP=EPB又EPH=EBC=90，EPHEPB=EBCEBP，即PBC=BPH。又ADBC，APB=PBC。APB=BPH。（2）PHD的周长不变为定值8。证明如下：如图2，过B作BQPH，垂足为Q。由（1）知APB=BPH，又A=BQP=90，BP=BP，ABPQBP（AAS）。AP=QP，AB=BQ。又AB=BC，BC=BQ。又C=BQH=90，BH=BH，BCHBQH（HL）。CH=QH。PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。（3）如图3，过F作FMAB，垂足为M，则FM=BC=AB。又EF为折痕，EFBP。EFM+MEF=ABP+BEF=90。EFM=ABP。又A=EMF=90，AB=ME，EFMBPA（ASA）。EM=AP=x在RtAPE中，（4BE）2+x2=BE2，即。又四边形PEFG与四边形BEFC全等，。，当x=2时，S有最小值6。【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。【分析】（1）根据翻折变换的性质得出PBC=BPH，进而利用平行线的性质得出APB=PBC即可得出答案。（2）先由AAS证明ABPQBP，从而由HL得出BCHBQH，即可得CH=QH。因此，PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。（3）利用已知得出EFMBPA，从而利用在RtAPE中，（4BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可。例3：（2012黑龙江绥化8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQBC于点Q，PRBD于点R（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ= （不需证明）（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想【答案】解：（2）图2中结论PRPQ=仍成立。证明如下：连接BP，过C点作CKBD于点K。四边形ABCD为矩形，BCD=90。又CD=AB=3，BC=4，。SBCD=BCCD=BDCK，34=5CK，CK=。SBCE=BECK，SBEP=PRBE，SBCP=PQBC，且SBCE=SBEPSBCP，BECK=PRBEPQBC。又BE=BC，CK=PRPQ。CK=PRPQ。又CK=，PRPQ=。（3）图3中的结论是PRPQ=【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。【分析】（2）连接BP，过C点作CKBD于点K根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明。（3）图3中的结论是PRPQ=125 。连接BP，SBPESBCP=SBEC，SBEC 是固定值，BE=BC 为两个底，PR，PQ 分别为高，从而PRPQ=。例4：（2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(2，O)、B(2，0)、C(0，l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点分别过点C、D(0，2)作平行于x轴的直线、 (1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以ON为直径的圆与直线相切； (3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2bxc，则 解得。抛物线对应二次函数的解析式 所以。 （2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为点M、N在抛物线上， ，x22=4(y2+1)。又，。又y2l，ON=2y2。设ON的中点E，分别过点N、E向直线作垂线，垂足为P、F， 则 ，ON=2EF，即ON的中点到直线的距离等于ON长度的一半，以ON为直径的圆与相切。（3）过点M作MHNP交NP于点H，则，又y1=kx1，y2=kx2，（y2y1)2=k2(x2x1)2。MN2=(1+k2)(x2一xl)2。又点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上，即x24kx4=0，x2x1=4k，x2x1=4。MN2=(1+k2)(x2一xl)2=(1+k2) (x2xl)24x2xl =16(1+k2)2。MN=4(1+k2)。延长NP交于点Q，过点M作MS交于点S，则MSNQ=y12y22= MS+NQ=MN，即M、N两点到距离之和等于线段MN的长。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中点坐标的求法，直线与圆相切的条件，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。（2）要证以ON为直径的圆与直线相切，只要证ON的中点到直线的距离等于ON长的一半即可。（3）运用一元二次方程根与系数的关系，求出MN和M、N两点到直线的距离之和，相比较即可。例5：（2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0x2.5. 试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；记DGP的面积为S1，CDG的面积为S2试说明S1S2是常数；当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.【答案】解：（1）CGAP，CGD=PAG，则。GF=4，CD=DA=1，AF=x，GD=3x，AG=4x。，即。y关于x的函数关系式为。当y =3时，解得:x=2.5。（2），为常数。（3）延长PD交AC于点Q.正方形ABCD中，AC为对角线，CAD=45。PQAC，ADQ=45。GDP=ADQ=45。DGP是等腰直角三角形，则GD=GP。，化简得：，解得：。0x2.5，。在RtDGP中，。【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由可解出x的值。（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可。（3）延长PD交AC于点Q，然后判断DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在RtDGP中，解直角三角形可得出PD的长度。练习题：1. （广东广州14分）已知关于的二次函数的图象经过点C（0，1），且与轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求的值；（2）求的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记PCD的面积为S1，PAB的面积为S2，当01时，求证：S1S2为常数，并求出该常数2. （2011湖南岳阳8分）如图，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到ABD和ECF，固定ABD，并把ABD与ECF叠放在一起（1）操作：如图，将ECF的顶点F固定在ABD的BD边上的中点处，ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）求证：BHGD=BF2（2）操作：如图，ECF的顶点F在ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AGCE，交FE于点G，连接DG探究：FD+DG= 请予证明3. （2011福建莆田10分） 如图，将矩形OABC放在直角坐际系中，O为坐标原点点A在x轴正半轴上点E是边AB上的个动点(不与点A、N重合)，过点E的反比例函数的图象与边BC交于点F。（1）(4分)若OAE、OCF的而积分别为S1、S2且S1S2=2，求的值：（2）(6分) 若OA=20C=4问当点E运动到什么位置时，四边形OAEF的面积最大其最大值为多少?4. （2011黑龙江龙东五市8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQBC于点Q，PRBD于点R。（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=（不需证明）。（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。5. （2011湖南永州10分）探究问题：方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足EAF=45，连接EF，求证DE+BF=EF感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD，BG=DE, 1=2，ABG=D=90，ABG+ABF=9090=180，因此，点G，B，F在同一条直线上EAF=45 23=BADEAF=9045=451=2， 13=45即GAF=_又AG=AE，AF=AFGAF_=EF，故DEBF=EF 方法迁移：如图，将RtABC沿斜边翻折得到ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且EAF=DAB试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想问题拓展：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足EAF=DAB,试猜想当B与D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF请直接写出你的猜想（不必说明理由）6.（2011福建莆田14分）已知菱形ABCD的边长为1ADC=60，等边AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动记等边AEF的外心为点P （4分）猜想验证：如图2猜想AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明； （6分）拓展运用：如图3，当AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值若是请求出该定值；若不是请说明理由。三、和差最大问题：典型例题：例1： （2012广西崇左10分）如图所示，抛物线（a0）的顶点坐标为点A（2，3），且抛物线与y轴交于点B（0，2）. （1）求该抛物线的解析式；（2）是否在x轴上存在点P使PAB为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P是x轴上任意一点，则当PAPB最大时，求点P的坐标.【答案】解：（1）抛物线的顶点坐标为A(2，3)，可设抛物线的解析式为。由题意得 ，解得。物线的解析式为，即。（2）设存在符合条件的点P，其坐标为（p，0），则PA=，PB=，AB=当PA=PB时，=，解得；当PA=PB时，=5，方程无实数解；当PB=AB时，=5，解得。x轴上存在符合条件的点P，其坐标为（，0）或（-1,0）或（1,0）。（3）PAPBAB，当A、B、P三点共线时，可得PAPB的最大值，这个最大值等于AB，此时点P是直线AB与x轴的交点。设直线AB的解析式为，则，解得。直线AB的解析式为，当=0时，解得。当PAPB最大时，点P的坐标是（4，0）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）由已知用待定系数法，设顶点式求解。（2）分PA=PB、PA=PB、PB=A三种情况讨论即可。（3）求得PAPB最大时的位置，即可求解。例3：（2012广东广州14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CEAB于E，设ABC=（6090）（1）当=60时，求CE的长；（2）当6090时，是否存在正整数k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由连接CF，当CE2CF2取最大值时，求tanDCF的值【答案】解：（1）=60，BC=10，sin=，即sin60=，解得CE=。（2）存在k=3，使得EFD=kAEF。理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，F为AD的中点，AF=FD。在平行四边形ABCD中，ABCD，G=DCF。在AFG和CFD中，G=DCF， G=DCF，AF=FD，AFGCFD（AAS）。CF=GF，AG=CD。CEAB，EF=GF。AEF=G。AB=5，BC=10，点F是AD的中点，AG=5，AF=AD=BC=5。AG=AF。AFG=G。在AFG中，EFC=AEF+G=2AEF，又CFD=AFG，CFD=AEF。EFD=EFC+CFD=2AEF+AEF=3AEF，因此，存在正整数k=3，使得EFD=3AEF。设BE=x，AG=CD=AB=5，EG=AE+AG=5x+5=10x，在RtBCE中，CE2=BC2BE2=100x2。在RtCEG中，CG2=EG2+CE2=（10x）2+100x2=20020x。CF=GF（中已证），CF2=（CG）2=CG2=（20020x）=505x。CE2CF2=100x250+5x=x2+5x+50=（x）2+50+。当x=，即点E是AB的中点时，CE2CF2取最大值。此时，EG=10x=10，CE=，。【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形的性质，对顶角的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理。【分析】（1）利用60角的正弦值列式计算即可得解。（2）连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明AFG和CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF，再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得AEF=G=AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得EFC=2G，然后推出EFD=3AEF，从而得解。设BE=x，在RtBCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在RtCEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答。例4：（2012河北省12分）如图1和2，在ABC中，AB=13，BC=14，cosABC=探究：如图1，AHBC于点H，则AH= ，AC= ，ABC的面积SABC= ；拓展：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为SABD=0）（1）用含x，m，n的代数式表示SABD及SCBD；（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值【答案】解：探究：12；15；84。拓展：（1）由三角形面积公式，得，。 （2）由（1）得， ABC中AC边上的高为，x的取值范围为。 随x的增大而减小，当时，的最大值为15，当时，的最小值为12。（3）x的取值范围为或。发现：直线AC，A、B、C三点到这条直线的距离之和最小，最小值为。【考点】动点问题，锐角三角函数定义，特殊角有三角函数值，勾股定理， 垂直线段的性质，反比例函数的性质。【分析】探究：在RtABH中，AB=13，BH=AB。 根据勾股定理，得。 BC=14，HC=BCBH=9。根据勾股定理，得。 。拓展：（1）直接由三角形面积公式可得。 （2）由（1）和即可得到关于x的反比例函数关系式。根据垂直线段最短的性质，当BDAC时，x最小，由面积公式可求得；因为AB=13，BC=14，所以当BD=BC=14时，x最大。从而根据反比例函数的性质求出m+n）的最大值和最小值。 （3）当时，此时BDAC，在线段AC上存在唯一的点D；当时，此时在线段AC上存在两点D；当时，此时在线段AC上存在唯一的点D。因此x的取值范围为或。发现：由拓展（2）知，直线AC，A、B、C三点到这条直线的距离之和（即ABC中AC边上的高）最小，最小值为（它小于BC边上的高12和AB边上的高）。练习题：1. （2011内蒙古乌兰察布4分）如图，是半径为 6 的D的圆周，C点是上的任意一点， ABD是等边三角形,则四边形ABCD的周长P的取值范围是 2.（2011四川广安12分）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BCAD，BAD=90，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（），B（），D（3，0）连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON若抛物线经过点D、M、N（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值3. （2011河南省11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在轴上，点B的横坐标为8（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PEAB于点E设PDE的周长为，点P的横坐标为，求关于的函数关系式，并求出的最大值；连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变当顶点F或G恰好落在轴上时，直接写出对应的点P的坐标4. （2011山东青岛10分）)问题提出：我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差MN，若MN0，则MN；若MN0，则MN；若MN0，则MN问题解决：如图1，把边长为b(b)的大正方形分割成两个边长分别是、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小解：由图可知：M22，N2MN222()2，()20MN0MN类别应用：(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克(、是正数，且)，试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低(2)试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小()联系拓广：小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示(其中bac0)，售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由四、和差最小问题：典型例题：例1：（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，A=120，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】A1 B C 2 D1【答案】B。【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】分两步分析： （1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1Q，交BD于点K1。 由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得 P1K1 = P K1，P1K=PK。 由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1KQKP1Q= P1K1Q K1= P K1Q K1。 此时的K1就是使PK+QK最小的位置。 （2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。 因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1QAB时P1Q最短。 过点A作AQ1DC于点Q1。 A=120，DA Q1=30。 又AD=AB=2，P1Q=AQ1=ADcos300=。 综上所述，PK+QK的最小值为。故选B。例2：（2012四川攀枝花4分）如图，正方形ABCD中，A