高二排列与组合(理科).doc

年级高二学科数学内容标题排列与组合（理科）编稿老师胡居化一、 教学目标：（1）熟练地掌握排列、组合的有关概念（排列与组合的定义、排列数与组合数的定义），理解排列与组合的区别.（2）掌握排列数、组合数的公式及排列与组合的性质并能进行简单的计算和解决简单的实际问题.（3）体会方程的数学思想、等价转化的数学思想在排列与组合中的应用.二、 知识要点：1. 排列的有关知识：（1）排列定义：一般地，从n个不同的元素中取出m（个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.注：（i）排列的定义中包括两个基本内容：一是取元素，二是按一定的顺序排列.（ii）仅当元素完全相同，排列顺序完全相同，两个排列是同一排列（2）排列数及排列数公式：排列数：是指从n个不同的元素中取出m（个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.公式：（i），（当n=m时，规定：（ii），（注：公式（i）适用于具体的计算以及解m较小时的含有排列数的方程与不等式.公式（ii）适用于排列数的有关证明，解方程、不等式等.（3）排列数的性质：（i）；（ii）2. 组合的有关知识（1）组合定义：一般地，从n个不同的元素中取出m（个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合.（i）组合定义包含两个内容：一是取出元素，二是并成一组.（ii）当两个组合中的元素完全相同时，不论顺序如何，它们都是相同的组合.（iii）区分排列与组合的重要标志：排列有序，组合无序.（2）组合数及组合数公式：组合数：从n个不同的元素中取出m（个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.公式：（3）组合数性质：（i） （ii）注：（i），（ii）当时，常用计算较简单.【典型例题】知识点一：排列的有关知识的应用例1. 判断下列问题是否是排列问题，说明理由.（1）从1、2、3、5四个数字中，任选两个数做加法.结果有多少个加数？（2）从1、2、3、5四个数字中，任选两个数做除法.结果有多少个商？（3）会场有50个座位，要求选3个座位安排三个客人，有多少种方法？（4）从集合M=1，2，3，4，5中任取相异的两个元素可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程题意分析：本题考查排列的定义，一个问题是否是排列问题主要看其是否与“顺序”有关.思路分析：对于问题（1），两个数的加法满足加法交换律.（2）两个数谁做除数与谁做被除数是不同的，（3）选3个座位分给3个客人这一问题中，类似于3个人排队.（4）前者必有ab，a、b的大小一定，后者ab与ab，a、b是确定的，不是排列问题，后者不论ab，还是a6，故解题后的思考：本题是排列数公式的应用，对公式和公式的应用要根据题目的已知条件来选择，在应用公式时要注意x的限制条件即x为正整数.同时要注意运算的技巧：如等.易错点是：忽视x的限制条件.例3. 给定数字0，1，2，3，5，9，每个数字最多用一次（1）可以组成多少个四位数？（2）可以组成多少个四位奇数？（3）可以组成多少个四位偶数？题意分析：本题是数字排列问题，在组成四位数时要注意首位数字不能是零，在组成四位奇数时要注意个位数字必为奇数，在求所求的四位偶数时其个位数字一定是偶数.思路分析：（1）首位数字不能为零，故先排首位数字，可从1，2，3，5，9中选一个排在首位，再排其余各位上的数字.（2）四位数是奇数，首先个位数字是奇数且首位数字不能为零.（3）四位数是偶数分个位数字是0或2两种情形.解题步骤：（1）首位数字不能为零，第一步从1，2，3，5，9中选一个数字排在首位，有种选法.第二步从余下的5个数字中选3个排在个位、十位、百位，有种选法.根据分步计数原理知：共有=300个（2）第一步排个位数字（必是奇数），从1，3，5，9中选一个有种选法，第二步排首位数字，首位数字不能是零，从余下的4个数字中选一个有种选法，第三步排十位、百位上的数字，从剩下的4个数字中选两个有种选法.根据分步计数原理知：共有=192个（3）要得到四位偶数，个位数字有0或2两种情形，（i）当个位数字是0时，其余各位数字是从1，2，3，5，9中选3个排列，有个，（ii）当个位数字是2时，首位数字不能是0，先排首位数字，从1，3，5，9中选一个有种排法，其次排十位、百位数字有种排法，由分步计数原理知此时有个.由分类计数原理知：满足条件的四位偶数有=108个另解（3），由（1）（2）知：共有四位偶数300192=108个解题后的思考：对于由数字排列成数的问题，要注意组成的数的首位数字不能是0，要注意分步计数原理与分类计数原理的应用.易错点是：忽视0不能在首位及分类不当.（如第（3）问）.小结：本题组主要考查排列的有关知识，在解决实际问题时要分清是否是排列的问题，同时要注意计数原理的应用.何时分类？何时分步？要清晰.在利用排列数公式进行计算时应注意运算的技巧和公式中的限制条件等.知识点二：与组合知识有关的简单应用例1. 从5名男生和5名女生中选3人组队参加学校某种项目的比赛，其中至少有一名女生入选组队的方案数是（ ）A. 100 B. 110 C. 120 D. 180题意分析：从5名男生和5名女生中选3人与顺序无关，是组合问题，注意：所选3人中至少有一名女生的含义.思路分析：根据题意：要选的3人中至少有一名女生有3种情形（i）一女二男，（ii）二女一男，（iii）三名都是女生.另外，也可以这样考虑：至少一名女生入选的方案等价于无条件的方案数减去三名都是男生的方案数.解题步骤：解法一：（i）一女二男时有种方案，（ii）二女一男时，有种方案.（iii）三名都是女生时有种方案，根据分类计数原理共有505010=110种方案解法二：不考虑任何条件有=120种方案，三名都是男生有种方案故其中至少有一名女生入选的方案数是12010=110种方案.故选B解题后的思考：本题考查用组合解决实际问题，采用了两种不同的方法，解法一是先分类后分步，体现了两个计数原理的综合应用，解法二：利用等价转化的数学思想解决，简洁明了.例2. （1）计算：（2）证明：，（题意分析：（1）由已知组合式可看出其不具备使用组合数性质进行计算，因此解本题的关键是先由组合式限制条件确定n的值，再计算.（2）利用组合数公式证明思路分析：（1）由这一条件求出n的值，代入原式计算.（2）由组合数公式从等式的右边证到左边.解题步骤：（1）由解得n=6.把n=6代入原式利用组合数性质（i）：原式=（2）由组合数公式得：得：右边=，故左边等于右边.解题后的思考：此例题的第（1）题是利用组合数公式计算的问题，第（2）题是证明.第（1）题的解题关键是确定n的值，如果看不出这一点则本题很难解决，第（2）题的证明是基础试题，在运算过程中要细心，计算要准确.这也是高考考查的能力之一（计算能力）.易错点：第（1）题没有考虑到确定n的值而是盲目地想利用组合数性质求解.例3. 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各一名，选出5名运动员参加比赛，下列情形中各有多少种选拔方案？（1）男3名女2名（3）至少一名女运动员（2）至少一名队长参加（4）既要有队长又要有女运动员题意分析：从6名男运动员、4名女运动员中选5名运动员参赛，与选拔的顺序无关，是组合问题.思路分析：对（1）直接选取，对（2）注意分类，至少一名队长参加有两种情形，一是：有1名队长参加，二是2名队长都参加.对（3）有两种方法，方法一是分类，可分为有1名、2名、3名、4名女运动员参加的四种情形，方法二是用间接法，在全部选法中减去无女运动员的情形，显然间接法较简单.对（4）分为三类：一是仅女队长参加，二是仅男队长参加，三是男女队长都参加.解题步骤：（1）种选法（2）分为两类：（i）只有一名队长参加时，第一步可从2名队长中选一名有种选法，第二步，再从余下8名运动员中选4名有种选法，由分步计数原理知：有种选法，（ii）2名队长都参加时，只需从余下的8名队员中选3名有种选法.共有种选法.（3）利用间接法：不考虑任何条件有种选法，无女运动员有种选法.此时共有种选法.（4）分三类：（i）仅女队长参加有：种选法，（ii）仅男队长参加有种选法，（iii）2名队长都参加有种选法，由分类计数原理知：有=191种选法.解题后的思考：本题主要考查用组合知识解决实际问题，在解决问题的过程中，要注意合理的分类（如第（4）问），注意解题方法是用直接法还是用间接法（如第（3）问）选择合理的分类方法和有效的数学方法将给解题带来很大的方便.小结：本题组主要是组合知识的应用，在利用组合知识解题的过程中要注意各种数学方法和数学思想的应用，如分类讨论的数学思想，间接法等.同时注意解题的优化.【本讲涉及的数学思想、方法】本讲主要讲述排列、组合的基本知识及其简单的应用，在利用这些知识解题的过程中充分运用了方程的数学思想、分类讨论的数学思想、等价转化的数学思想以及间接法等数学思想方法.【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、选择题1. 从5个中国人、4个美国人、3个日本人中各选一人的选法有（ ）A. 12种B. 24种C. 48种D. 60种2. 从3名男生、6名女生中任选一人参加读书比赛的选法有（ ）种A. 9 B. 6 C. 3 D. 183. 4名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报1种，则不同的选法有 （ ）A. 43种B. 34种C. 种D. 种4. 用排列符号把表示为（ ）A. 5. 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ） A. 140种B. 84种 C. 70种 D. 35种二、计算题6. 计算：已知：，求n的值.7. 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有多少种？8. 生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查.（1）“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？（2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少种？（3）“其中没有次品”的抽法有多少种？ 9. 一条铁路原有n个车站，为适应客运需要新增加了m个车站（m1），客车车票增加了62种，问原有多少个车站?现有多少个车站?【试题答案】一、选择题1. D 解析：分步计数原理：N=5=60）2. A 解析：分类计数原理N=3+6=9）3. B 解析：每一名学生都有3种选择方案，故有种）4. D 解析：由已知得：共有11个连续整数的乘积，5. C 解析：根据条件我们可以分2种情况第一种情况：2台甲1台乙 即 第二种情况：1台甲2台乙 即 所以总数是 3040=70种 ）二、计算题6. 解：原等式化为：即：化简整理得：.7. 解：分步完成 第一步：先从10人中挑选4人的方法有：=210种第二步：分配给甲乙丙的工作是=621=12种情况 则根据分步乘法计数原理：21012=2520种8.（1）解析：也就是说被抽查的5件产品中