初中八年级数学人教版12.3角的平分线的性质.docx

1、如图，在ABC中，C=90，AD是BAC的角平分线，且BD：DC=2：l，则B满足（）A 0B15BB=15C 15B30DB=30D过点D作DEAB，根据角平分线的性质，求证ED=CD，再利用BD：DC=2：l，求证出=，即可解；过点D作DEAB，在ABC中，C=90，AD是BAC的角平分线，ED=CD，BD：DC=2：l，DEAB，=，B=30故选D2、如图所示，若DEAB，DFAC，则对于1和2的大小关系下列说法正确的是（）A一定相等B一定不相等C当BD=CD时相等D当DE=DF时相等D已知有点到BAC的两边的距离，根据角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上，要满足1=2，须有DE=DF，于是答案可得解：根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上，故选D3、如图，O是BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则AEOAFO的依据是（）A HLB AASC SSSD ASAA利用点O到AB，AC的距离OE=OF，可知AEO和AFO是直角三角形，然后可直接利用HL求证AEOAFO，即可得出答案解：OEAB，OFAC，AEO=AFO=90，又OE=OF，AO为公共边，AEOAFO故选A4、三角形ABC的三条内角平分线为AE、BF、CG，下面的说法中正确的个数有（）ABC的内角平分线上的点到三边距离相等三角形的三条内角平分线交于一点三角形的内角平分线位于三角形的内部三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分A 1个B 2个C 3个D 4个B画出图形，设O为BAC的角平分线和ACB的角平分线的交点，过O作ONAB于N，OMBC于M，OQAC于Q，求出ON=OM=OQ，判断即可解： 设O为BAC的角平分线和ACB的角平分线的交点，过O作ONAB于N，OMBC于M，OQAC于Q，ON=OQ，OQ=OM，ON=OM=OQ，ABC的三个内角的角平分线的交点到三角形三边的距离相等，错误；ONAB，OMBC，ON=OM，O在ABC的角平分线上，即O是ABC的三个角的平分线交点，正确；三角形的三个内角的平分线都在三角形的内部，正确；三角形的任意中线把三角形的面积分为面积相等的两部分，而三角形的任意角平分线不一定把三角形的面积分成面积相等的两部分，错误；故选B5、如图，已知A=90，BD平分ABC，AD=1cm，BC=6cm，则BDC的面积为（）A 1cm2B 6cm2C 3cm2D 12cm2C从已知思考，根据角平分线的性质可得点D到BC的距离为1cm，也就是三角形BCD的BC边上的高，有高有底，面积可求解：过D作DEBC于点E，点D到BC的距离DE=AD=1cm则BDC的面积=61=3cm2故选C6、如图表示三条公路，到三条公路距离相等的点有（）个A 1B 2C 3D 4D利用角平分线性质定理：角的平分线上的点，到这个角的两边的距离相等三个内角平分线交点，有一个；外角平分线交点，有三个解：满足条件的点有四个：1三个内角平分线交点，有一个如图O为所求作点2外角平分线交点，有三个如图（O2为第二个满足条件的点，A、B、C表示三条公路，其余O3，O4两个点同理）故选D7、下列语句中，正确的个数有（）有两个不同顶点的外角是钝角的三角形是锐角三角形；两条边和一个角相等的两个三角形是全等三角形；方程用关于x的代数式表示y是y=63x；三角形的三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等A 0个B 1个C 2个D 3个A利用角平分线的性质、解二元一次方程、三角形及全等三角形的判定的有关知识逐一判断即可得到答案解：有两个不同顶点的外角是钝角的三角形是可能是锐角三角形、钝角三角形或直角三角形，故本选项错误；两条边和一个角（两边夹角）相等的两个三角形是全等三角形，故本选项错误；方程都乘以6后，得：3x2y=6，整理得：y=3，故本选项错误；三角形的三条角平分线的交点到三边的距离相等，故本选项错误故正确的有0个，故选：A8、如图，ABC中，A=90，BD是平分线，AC=10cm，CE=6cm，则点E到BC的距离为（）A 6cmB 4cmC 10cmD 2cmB利用角平分线的性质可以得到点E到BC的距离等于EA的长，求得AE的长即可解：BD是角平分线，点E到BC的距离等于E点到AB的距离，AC=10cm，CE=6cm，AE=ACCE=106=4，点E到BC的距离为4故选B9、ABC中，点O是ABC内一点，且点O到ABC三边的距离相等；A=40，则BOC=（）A110B120C130D140A由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出BOC的度数解：由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有CBO=ABO=ABC，BCO=ACO=ACB，ABC+ACB=18040=140OBC+OCB=70BOC=18070=110故选A10、如图，在ABC中，C=90，CAB的平分线AD交BC于点D，BC=8，BD=5，那么点D到AB的距离是（）A3B4C5D6A根据角平分线的质可得，DE=DC，根据BD=5，BC=8，求得CD即可求解解：C=90，AD是ABC中CAB的角平分线，DEAB于E，DE=DC，BD=5，BC=8，DC=BCCD=85=3，DE=3故选A11、如图，ABC中，ABC、ACB外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的有（）AAF平分BCBAF平分BACCAFBCD以上结论都正确B过F点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、D，由角平分线的性质可得出EF=GF=DF，再根据角平分线的判定定理可得出AF平分BAC解：过F点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别E、G、D，ABC、ACB外角的平分线相交于点F，EF=GF，GF=DF，EF=DF，AF平分BAC故选B12、如图，在ABC中，ABC=110，ACB=40，CE是ACB的角平分线，D是AC上一点，若CBD=40，则CED=_20作ENBD，EMBC，EHAC，垂足分别是N M H，根据三角形的内角和定理求出ABD，ABM=70，根据角平分线性质求出EN=EM=EH，推出DE是ADB的平分线，求出ADE=ACB=40，根据平行线的性质和判定即可求出结论解：A=180ACBABC=18011040=30，作ENBD，EMBC，EHAC，垂足分别是N、M、H，ABC=110，CBD=40，ABD=70，ABC的外角是ABM=180110=70；BE是DBM的角平分线，EM=EN，CE是ACB的平分线，EMCB，EHAC，EM=EH，EH=EN，DE是ADB的平分线，ADB=180AABD=1803070=80，ADE=ADB=40=ACB，DECB，CED=ECB=20故答案为：2013、如图ABC中，AD是BAC的平分线，过D作BA的平行线交AC于F，已知AB=15cm，AC=10cm，则DF=_cm，FC=_cm6; 4利用角平分线性质和平行线的性质，利用等量代换得=解得FC，再利用DFAB，2=3，AF=FD，求得DF即可解：由AD是BAC的平分线得，=，又DFAB，=，解得FC=4，AF=ACFC=104=6，由DFAB，2=3，AF=FD，则DF=6故答案分别为：6；414、已知点O是ABC内到三边的距离相等的点，A=40，则BOC=_110由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出BOC的度数解：如图，由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有CBO=ABO=ABC，BCO=ACO=ACB，ABC+ACB=18040=140，OBC+OCB=70，BOC=18070=110故答案为：11015、如图，ABC中，C=90，AD平分BAC，AB=7，CD=3，则ABD的面积是_10.5过点D作DEAB，垂足为E，设AC的边长为a，利用勾股定理和各三角形的面积关系列方程，求出a，然后即可求得AB的长，再利用三角形面积公式即可求得答案解：过点D作DEAB，垂足为E，C=90，AD平分BAC，点D到AB的距离=ED=3，ABD的面积是732=10.5故答案为：10.516、如图，ABC中，C=90，BD平分ABC，交AC于D，若AB=10，CD=3，则ABD的面积是_15过点D作DEAB于点E，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得DE=DC=4，再根据三角形的面积计算公式得出ABD的面积解：如图，过点D作DEAB于点E，BD平分ABC，又DEAB，DCBC，DE=DC=3，ABD的面积=ABDE=103=15故答案为：1517、如图，在ABC中，C=90，AC=BC，AD平分CAB，交BC于D，DEAB于E，且DEB的周长等于（2+）cm，则AB为_cm2+利用角平分线的性质求得AE=AC，CD=DE，然后利用线段中的等长来计算AB的长解：C=90，AD平分CAB，交BC于D，DEAB于EAC=AE，CD=DE，AC=BCB=45BE=DEDEB的周长等于（2+）=BE+DE+BD=BE+AC=AB即AB=2+故填2+18、如图，AOB=30，OC平分AOB，P为OC上一点，PDOA交OB于点D，PEOA于E，OD=4cm，则PE=_2cm过P作PFOB于F，根据角平分线的定义可得AOC=BOC=15，根据平行线的性质可得DPO=AOP，从而可得PD=OD，再根据30度所对的边是斜边的一半可求得PF的长，最后根据角平分线的性质即可求得PE的长解：过P作PFOB于F，AOB=30，OC平分AOB，AOC=BOC=15，PDOA，DPO=AOP=15，PD=OD=4cm，AOB=30，PDOA，BDP=30，在RtPDF中，PF=PD=2cm，OC为角平分线，PEOA，PFOB，PE=PF，PE=PF=2cm故答案为：2cm19、如图，已知ABC中，D是BC上一点，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F如果DE=DF，BAC=60，AD=20cm，那么DE的长是_cm10首先判定AD为角A的平分线，然后按照含30角的直角三角形的性质求解即可解：DEAB，DFAC，DE=DF，AD平分BAC，BAC=60，BAD=30，AD=20DE=10cm，故答案为：1020、如图，已知点O为ABC内角平分线的交点，过点O作MNBC，分别交AB于AC点M、N，若AB=12，AC=14，则AMN的周长是_26根据角平分线性质和平行线的性质推出MOB=MBO，推出BM=OM，同理CN=ON，代入三角形周长公式求出即可解：BO平分ABC，MBO=CBO，MNBC，MOB=CBO，MOB=MBO，OM=BM，同理CN=NO，BM+CN=MN，AMN的周长是AN+MN+AM=AN+CN+OM+ON=AB+AC=12+14=26故答案为：2621、如图，ABC中，C=90，AD是CAB的角平分线，DEAB于点E，且BC=8cm，BD=5cm，则DE=_cm3根据角平分线的性质可得，DE=DC，根据BD=5，BC=8，求得CD即可求解解：C=90，AD是ABC中CAB的角平分线，DEAB于E，DE=DC，BD=5，BC=8，DC=BCCD=85=3，DE=3故答案为：322、已知：如图，D是BC上一点，AD平分BAC，AB=3，AC=2，若SABD=a，则SADC=_（用a的代数式表示）a过点D分别作DEABDFAC利用角平分线的性质求出DE=a=DF，然后即可求出SADC解：如图，过点D分别作DEAB，DFACAD平分BAC，DE=DF，若SABD=a，即ABDE=a，则DE= a=DF，则SADC=ACDF=2a=a故答案为：a23、在ABC中，ABAC，A=90，BD是角平分线，若D点到BC的距离为2，D点在AC上，则DA=_2根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到BC的距离=DE=2解：在ABC中，A=90，BD是角平分线，DEBC，DA=DE；又DE=2，DA=2；故答案是：224、四边形ABCD中，BD平分ABC，且DA=DC，请你选用恰当的工具画图说明A与C的数量关系是_相等或互补画出符合题意的两种情况的图形，当AB=BC时，证ABDCBD，即可求出答案，当ABBC时，在BC上截取BC=AB，连接DC，证ABDCBD，推出A=BCD，即可求出答案解：如图1，当AB=BC时，BD平分ABC，ABD=CBD，在ABD和CBD中，ABDCBD（SAS），A=C；如图2，当ABBC时，在BC上截取BC=AB，连接DC，同理求出ABDCBD，A=DCB，AD=DC，AD=DC，DC=DC，C=DCC，DCB+DCC=180，A+C=180，即A和C的关系式相等或互补故答案为：相等或互补25、如图，AD是ABC的外角平分线，B=C=40，则DAC=_40根据三角形的外角性质得到EAC=B+C，求出EAC的度数，根据角平分线的定义求出即可解：EAC=B+C，=40+40=80，AD平分EAC，DAC=EAC=40，故答案为：4026、如图，已知ABC的周长是21，OB，OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且OD=4，ABC的面积是_42过O作OEAB于E，OFAC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE=OD=OF=4，根据ABC的面积等于ACO的面积、BCO的面积、ABO的面积的和，即可求出答案解： 过O作OEAB于E，OFAC于F，连接OA，OB，OC分别平分ABC和ACB，ODBC，OE=OD，OD=OF，即OE=OF=OD=4，ABC的面积是：SAOB+SAOC+SOBC=ABOE+ACOF+BCOD=4（AB+AC+BC）=421=42，故答案为：4227、如图，AC=BC，ACB=90，AE平分BAC，BFAE，交AC延长线于F，且垂足为E，则下列结论：AD=BF； BF=AF； AC+CD=AB，AB=BF；AD=2BE其中正确的结论有_（填写番号）根据ACB=90，BFAE，得出ACB=BED=BCF=90，推出F=ADC，证BCFACD，根据全等三角形的性质即可判断；假如AC+CD=AB，求出F+FBC90，和已知矛盾，即可判断，证根据全等三角形的判定ASA得出BEAFEA，推出BE=EF，即可判断解：ACB=90，BFAE，ACB=BED=BCF=90，F+FBC=90，BDE+FBC=90，F=BDE，BDE=ADC，F=ADC，AC=BC，BCFACD，AD=BF，正确；错误；BCFACD，CD=CF，AC+CD=AF，假如AC+CD=AB，AB=AF，F=FBA=65，FBC=6545=20，F+FBC90，错误；错误；由BCFACD，AD=BF，AE平分BAF，AEBF，BEA=FEA=90，BAE=FAE，AE=AE，BEAFEA，BE=EF，正确；故答案为：28、如图，在直角ABC中，C=90，BC=6cm，AD平分CAB交BC于点D，DEAB于点E，若EB=2cm，则DEB的周长为_cm8由题目的已知条件应用AAS易证CADEAD得到DE=CD，于是BD+DE=BC=AC=AE，则周长可利用对应边相等代换求解解：AD平分CAB，C=90，DEAB，CAD=BAD，C=AED又AD=AD，在CAD和EAD，CADEAD，CD=DEBC=6cm，EB=2cm，DEB的周长为DB+DE+EB=DB+CD+EB=CB+BE=6+2=8cm故答案为：829、如图，RtABC中，ACB=90，CDAB于D，AF平分CAB交CD于点E，交CB于点F，且EGAB交BC于点G求证：CF=BG证明：过E作EMBC交AB于M，EGAB，四边形EMBG是平行四边形，BG=EM，B=EMD，CDAB，ADC=ACB=90，1+7=90，2+3=90，AE平分CAB，1=2，3=4，4=7，CE=CF，ADC=ACB=90，CAD+B=90，CAD+ACD=90，ACD=B=EMD，在CAE和MAE中，CAEMAE（AAS），CE=EM，CE=CF，EM=BG，CF=BG过E作EMBC交AB于M，得出平行四边形EMBG，推出BG=EM，求出4=7，得出CE=CF，证CAEMAE，推出CE=EM，即可得出答案30、如图所示，在ABC中，C=90，BD平分ABC交AC于点D，过点D作DEBC交AB于点E，过点D作DFAB于点F，说明：BC=DE+EF成立的理由解：BD平分ABC，DFAB，C是直角，CD=DF，DBC=DBE，DFB=C，BCDBFD，BC=BF，DEBC，DBC=EDB，即DBC=DBE，BDE是等腰三角形，BE=DE，BF=BC=DE+EF先由BD平分ABC，DFAB，C是直角得到CD=DF，DBC=DBE，由全等三角形的判定定理可知BCDBFD，故BC=BF，再由DEBC可知DBC=EDB，故DBC=DBE，即BDE是等腰三角形，BE=DE，故BF=BC=DE+EF31、如图，BE=CF，DEAB，垂足为E，DFAC，垂足为F，且DB=DC求证：（1）RtBEDRtCFD；（2）AD是BAC的平分线证明：（1）DEAB，DFAC，E=DFC=90，在RtBED和RtCFD中，RtBEDRtCFD（HL）证明：（2）RtBEDRtCFD，DE=DF，DEAB，DFAC，AD是BAC的平分线（1）根据直角三角形全等的判定HL证出即可；（2）由（1）推出DE=DF，根据角平分线性质推出即可32、（1）如图，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，且EB=FC求证：DB=DC（2）观察ACD与ABD的相等的角和边，由此你可以得到什么结论？证明：（1）AD平分BAC，DE=DF，DEAB，DFAC，DFC=DEB=90，又EB=FC，DFCDEB，DB=DC（2）在ACD与ABD中，CAD=BAD，DB=DC，相等的角正好对应着相等的边（1）根据AD平分BAC，利用角平分线性质得DE=DF，然后利用SAS求证DFCDEB即可（2）由DB=DC，CAD=BAD，即可得出结论33、如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是点E，F，连接EF，交AD于点G，求证：ADEF解：AD平分BAC，DEAB，DFACDE=DF，在RtAED和RtAFD中，RtAEDRtAFD（HL），AE=AF，又AD平分BAC，ADEF根据角平分线性质求出DE=DF，根据证AED和AFD全等，推出AE=AF，根据等于三角形的性质求出即可34、如图，有三条公路两两相交于A、B、C处，现计划修建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，那么该如何选择加油站的位置？请你在图中确定加油站的位置P解：如图所示：（1）作出ABC两内角的平分线，其交点为O1；（2）分别作出ABC两外角平分线，其交点分别为O2，O3，O4，故满足条件的修建点有四处，即O1，O2，O3，O4从已知提供的条件结合角平分线的性质进行思考，在三角形内部三条角平分线相交于同一点，而外部的角平分线的角点补重合，有3个满足要求的点，结论可得35、如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，E为AB上一点，且ED平分ADC，EC平分BCD求证：（1）AE=BE； （2）CD=AD+BC（1）证明：如图所示：取CD中点F，连接EF，ADBC，ADC+DCB=180，DE平分ADC，CE平分BCD，EDC=ADE=ADC，DCE=DCB，EDC+DCE=90，DEC=18090=90，F为CD中点，DF=EF=CF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），CDE=DEF，EDC=ADE，ADE=DEF，ADEF，ADBC，ADEFBC，CF=DF，AE=BE；（2）证明：ADBC，AE=BE，CF=DF，EF=（AD+BC），由（1）知EF=DF=CF=CD，CD=AD+BC（1）取CD中点F，连接EF，根据平行线性质求出ADC+DCB=180，根据角平分线性质求出EDC+DCE=90根据三角形的内角和定理求出DEC=90，推出EF=CF=DF，推出DEF=FDE=ADE，推出EFADBC，根据CF=DF推出即可；（2）由（1）得出EF是梯形的中位线，推出EF=（AD+BC），由（1）得出EF=CF=DF=CD，即可得出答案36、如图，OC是AOB的角平分线，P是OC上一点，PEOA交OA于E，PFOB 交OB于F，Q是OC上的另一点，连接QE，QF求证：QE=QF证明：PEOA，PFOB，OEP=OFP=90，又AOC=BOC（角平分线的性质），OPE=OPF，（1分）即OP平分EPF，OE=OF，（4分）在OEQ和OFQ中，OEQOFQ（SAS），（7分）QE=QF（8分）通过角平分线OP的性质、垂直的性质以及三角形的内角和定理推知OP平分EPF，则由角平分线上的一点到两边的距离相等的性质知OE=OF；然后根据全等三角形的判定定理SAS判定OEQOFQ，所以全等三角形的对应边相等，即QE=QF37、如图，已知CDAB于D，BEAC于E，CD交BE于点O若OC=OB，求证：点O在BAC的平分线上（提示：连接AO）若点O在BAC的平分线上，求证：OC=OB解：连接AOCDAB，BEAC，CEB=BDO=90；又COE=BOD（对顶角相等），C=B（等角的余角相等）；在CEO和BDO中，CEOBDO（ASA），OE=OD（全等三角形的对应边相等），点O在BAC的平分线上；证明：AO平分BAC，CDAB，BEAC，OD=OE，在DOB和EOC中，DOB=EOC，OD=OE，ODB=OEC，DOBEOC（ASA），OB=OC连接AO通过全等三角形的判定定理ASA证明CEOBDO，然后根据全等三角形的对应边相等知OC=OB；由角平分线的性质可得OD=OE，然后证明DOBEOC，可得证OB=OC38、如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，EG平分BEF，若1=50，2=65，（1）求证：ABCD；（2）在（1）的条件下，求AEM的度数（1）证明：1+2+FEG=180，1=50，2=65，FEG=65，EG平分BEF，BEF=2FEG=130，BEF+1=180，ABCD（2）AEM=BEF，BEF=130，AEM=130，答：AEM的度数是130（1）根据三角形的内角和定理能求出FEG的度数，由EG平分BEF，求出BEF的度数，计算出BEF+1=180，根据平行线的判定定理即可得到答案；（2）根据对顶角相等即可求出答案39、如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，AB=2AD，梯形周长为40，对角线BD平分ABC，求梯形的腰长及两底边的长解：四边形ABCD是等腰梯形，ABDC，AD=BC，DBA=CDB，又BD平分ABC，CBD=DBA，CDB=CBD，CD=BC，又AB=2AD，AB+AD+CD+BC=40，2AD+AD+AD+AD=40，5AD=40，AD=8，CD=8，AB=16，即梯