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数学竞赛辅导讲稿平面几何第八讲 圆幂定理一、 知识要点：1、 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。即：如图，PAPC=PBPD2、 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线 段长的比例中项。即：如图，PA2=PBPC3、 割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D ，则有 PAPB=PCPD。 二、 要点分析：1、相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理。其可统一地表示为：过定点的弦被该点内分（或外分）成的两条线段的积为定值（该点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值），即2、相交弦定理通常是通过相似三角形而得到的，所以，研究圆中一些线段的比例关系总离不开相似三角形。3、相交弦定理揭示了与圆相关的线段的比例关系，应用较多，特别是在处理有关计算、作比例中项、证明角相等、四点共圆等问题时是重要的理论依据。三、 例题讲解：例1、已知：如图，在中，AM、AD分别是其中线和角平分线，ADM交AB于L,交AC于N,求证：BL=CN例2、如图，O1与O2相交于M、N,D是NM的延长线上的一点，O2O1延长线交O1于B、A,AD交O1于C,MN交O2O1、BC于E、G,求证：EM2=EDEG例3、在Rt中，D在斜边BC上，BD=4DC,一圆过点C，且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G,求证：ADBF 例4、如图，AB是O中任意一弦，M为AB的中点，过M任作两条弦CD、EF,连接CE、DF分别交AB于G、H,求证：MG=MH (蝴蝶定理)例5、ABCD是圆内接四边形，AC是圆的直径，BDAC,AC与BD的交点为E,点F在DA的延长线上，连接BF,点G在BA的延长线上，使得DGBF,点H在GF的延长线上,CHGF,证明：B、E、F、H四点共圆。第八讲 圆幂定理练习班级：_姓名：_1、O1与O2外切于点P，过P的直线与O1，O2分别相交于点A、C,AB切O2于B, O1与O2的半径分别是5、3，则AC：AB=_.2、如图：O与等边交于点D、E、F、G、H、J,如果GF=13,FC=1,AG=2,HJ=7,那么DE=_.3、 如图：在中，,D在BC上，F在AC上，G是AB的中点，且满足AG2=AFAC,BFAD,则BD:DC=_. 4、 AD、AE分别为的角平分线和中线，过点A、D、E的圆和AB、AC分别交于M、N，求证：BM=CN5、 如图，B是O的切线PA的中点，过B引O的割线与O交于点D、C,PD的延长线交O于E,PC交O于F,求证：APEF6、(1)、已知，如图，四边形ABCD内接于圆，求证：ABDC+BCAD=ACBD （2）、已知，如图，在凸四边形ABCD中，ABDC+BCAD=ACBD，求证：四边形ABCD为圆内接四边形。附加题：1、 集合A=的子集的个数为_2、 已知三个非零实数,集合A=，记为集合A的所有元素之和，为集合A的所有元素之积，若
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