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第9章金融衍生工具定价理论 考试要求 9 1未定权益定价的一般原理占优策略 套利机会与风险中性概率测度市场的完全性与未定权益的定价9 2二叉树模型单期二叉树模型单期二叉树模型下衍生品的定价公式多期二叉树模型CRR模型9 3Black Scholes模型Black Scholes微分方程的推导基于鞅方法的Black Scholes公式 希腊字母 及其意义 要点详解 9 1未定权益定价的一般原理1 占优策略 套利机会与风险中性概率测度 1 一般的单期市场模型模型仅涉及两个时刻 0时刻 即当前时刻 此时金融资产的价格是确定的 1时刻 即未来某个时刻 对风险资产而言 其价格是一个随机变量 假定1时刻市场的状态空间为 其中代表未来市场可能出现的一种状态 在上存在客观的概率测度P 满足假设市场上存在N个基础风险资产 那么交易者在资产组合策略下的成本为 其中表示N个基础风险资产在0时刻的价格向量 代表交易者持有资产i的数量 N个资产在1时刻的支付矩阵用D表示 其中dij表示第i个证券在状态下的支付额 从而在1时刻资产组合的市值可以表示为 其第j个分量表示1时刻出现状态时资产组合的市值 用表示 2 占优策略 套利机会若存在另一个策略 使得且对任意的 成立 则称策略是一个占优策略 一个套利机会是指满足下列两个条件之一的策略 或根据占优策略以及套利机会的定义可知 如果市场存在一个占优策略 那么市场一定存在套利机会 命题9 1 如果市场是无套利的 则市场不存在占优策略 此命题反过来的结论是不成立的 即市场不存在占优策略但却可能存在套利机会 3 市场无套利条件称资产组合为Arrow Debreu证券 若在1时刻市场出现状态i时 组合的支付额为1单位 当出现状态j时 组合的支付额为0 称 为状态价格向量 如果满足 或者 其中 一般而言 市场不一定存在Arrow Debreu证券和状态价格向量 若两者都存在 则第i个Arrow Debreu证券的成本为 资产定价第一基本定理 市场无套利 市场存在状态价格向量 4 风险中性概率测度令 可以将视为无风险证券的价格 在单期市场模型中 若假定存在无风险资产 则其0时刻的价格为 即 其中r为无风险收益率 定义一个上新的概率测度Q 令 也即对应了Q在每个样本点上的概率值 Q与已存在的客观概率测度P不同 它是主观的 二者的关系是 Q等价于P 根据状态价格向量的定义可以得到等式 若用表示测度Q下的期望 则有 如果市场存在无风险收益率r 上式可写为 至此可以看出 测度Q是风险中性投资者对市场状态空间给出的概率测度 称Q为风险中性概率测度 资产定价第一基本定理可写为 市场无套利市场存在风险中性概率测度 2 市场的完全性与未定权益的定价称上的随机变量为未定权益 以下假定市场存在无风险收益率r 称一个未定权益X是可复制的 如果存在一个由无风险资产和基础风险资产的组合 使得该组合l时刻的收益与X相同 由于无风险资产和基础风险资产都有期初价格 因此可复制的未定权益是可定价的 如果所有的未定权益都是可复制的 则称市场是完全的 对单期市场模型 选取独立的n个未定权益 市场完全意味着对任意的都存在复制策略 成立 这等价于且矩阵D的秩等于n 从而有如下结论 单期市场模型是完全的且矩阵D的秩等于n如果不同的复制策略的期初成本不等 不妨设则是一个套利组合 这与市场无套利的假设矛盾 因此未定权益有唯一的期初价格 由于未定权益的全体就是上随机变量构成的线性空间 因此对任意的风险中性概率测度Q和Q 都有 由于在无套利市场中无风险收益率r是唯一的 所以 也即证明了如下的定理 资产定价第二基本定理 完全的无套利市场存在唯一的风险中性概率测度 资产第一和第二基本定理是资产定价理论的基础 它提供了一个市场的框架 完全 无套利 在这一框架下 资产的期初价格是存在且唯一的 假定市场是完全且无套利的 此时任意的未定权益X的价格为 借助条件期望的概念和性质 可以将上式推广到多期和连续的情形 其表达式分别为 这两个等式中贴现的未定权益的价格过程是一个Q鞅 因此Q也称为等价鞅测度 等价 的含义是Q与客观概率测度P等价 9 2二叉树模型1 单期二叉树模型在单期二叉树模型中市场仅存在两个基础资产 无风险资产和基础风险资产 1时刻的分别代表l时刻基础风险资产的价格上升和下降的比例 且 假设无风险收益率r满足 显然 当二叉树模型无套利时 上式一定成立 1 基础风险资产的价格过程假定基础风险资产是股票 其0 1时刻的价格如图9 1所示 2 债券的价格过程假定市场中无风险债券的收益率为r 0时刻的面值为1的债券在1时刻的价格为er 假设市场上还有一个在0时刻签订的价格为C0 l时刻到期的未定权益 即衍生品 其价值依赖于股票价格的变化 在1时刻 股票价格上升时其价格为Cu 股票价格下降时其价格为Cd 一旦确定了衍生品的含义 就可以知道其在1时刻的支付 例如 若未定权益为执行价格为K的看涨期权 则1时刻的支付为 2 单期二叉树模型下衍生品的定价公式考虑一个股票与债券的资产组合 即在0时刻持有单位的股票和单位的债券 构建衍生品的复制策略 即下面的方程组成立 解得 由无套利假设该组合在0时刻的成本即为衍生品在0时刻的价格 9 1 二叉树模型的性质 首先 由式 9 1 可知二叉树模型是完全的 此外还可以证明在d er u的条件下 它也是无套利的 根据资产定价第一基本定理 只需证明存在风险中性概率测度Q即可 将等式改写为 由式d er u可知 和都大于0 且二者之和为1 因此可以定义 则式 9 1 又可写为 因此Q为风险中性概率测度 从而市场是无套利的 这样我们证明了式d er u等价于市场无套利 因此 d er u也被称为无套利条件 例题9 1 假设市场存在一种无风险债券和一种股票 股票的初始价格为l 无风险利率为0 在下一个时段末 股票的价格变为2或者0 5 如果一个衍生品规定当股价上升时支付1 股价下降不进行支付 利用单期的二叉树模型计算该衍生品的价格 解 根据题意可得债券价格 股票价格 衍生品价格的过程如图9 4所示 其中X代表衍生品1时刻的支付 构建0时刻的复制策略 则满足 因此该衍生品的期初价格为 3 多期二叉树模型在多期二叉树模型中 市场仍然只有两种基础资产 无风险资产和基础风险资产 两个资产可以在每个节点处 见图9 5 进行交易 除此之外 仍假设市场是理想化的 1 基础风险资产的价格过程 假定基础风险资产是股票 假设市场有n 1个可交易的时间点0 1 j n股价从i时到i 1时点的变化过程服从单期二叉树模型 即股价过程可以用图9 5描述 从图9 5可以看出 i时刻有2i种可能的股价 从时刻i 1到时刻i的股价只有两种变化 从节点j开始 下降至节点2j或者上升至节点2j 1 2 无风险资产的价格过程假设第i期的无风险利率为ri 同样时刻到期的衍生品的价格也有种情况 与股价过程有所不同的是 每个ri在i 1时刻就是已知的 而Si只有在i时刻才是已知的 3 多期二叉树模型下衍生品定价在n期二叉树模型中 n时刻 每个对应了价格树上的一条路径 当仅考虑0时刻和n时刻时 为保证市场的完全性 须假定市场至少有2n个基础风险资产 当n很大时这个假定过强 同样这里衍生品的定价原理也是采用复制的方法 并用倒推的方法求解复制资产组合 根据基础资产在n时刻的2n个可能值写出衍生品的2n种可能值 利用单期模型的公式可以计算n 1时刻的2n 1个节点处衍生品的价格 以此类推直到0时刻 即得衍生品的期初价格 在整个过程中 每个节点处都没有资金的注入和撤出 假设在i 1时的j节点处构建一个资产组合 即持有单位的股票和单位的无风险资产 则当股价上升时 当股价下降时 解得 由此可以推出风险中性概率测度下股价上升的概率为 则衍生品的价格在该节点的价格为 例题9 2 已知股票的价格过程满足下列二叉树模型 即图9 7 已知每个时间区间上的连续复利率均为5 试计算执行价格为45的欧式看涨期权0时刻的价格 解 根据题中的条件 可以写出衍生品的价格过程图9 8 首先考虑l时刻到2时刻的时间区间 先计算V 1 在该节点上风险中性概率测度下股价上升的概率为 显然V 2 0 其次考虑时刻0到时刻1的时间区间 在风险中性概率测度下 股价上升的概率为 因此0时刻该标准欧式买权的价格为 CRR模型Cox Ross Rubinstein给出了一种特殊的二叉树模型 股价上升的比例和下降的比例不随时间的变化而变化 如图9 9所示 此模型下 i时的股价为 其中Ni是一随机变量 表示0时刻到i时刻股价上升的步数 这就意味着在n时刻股价有n 1种状态而不是之前的2n种 CRR模型假设了衍生品到期时的支付仅仅依赖于股价上升和下降的步数 而不依赖于股价上升或下降的顺序 设到期时衍生品的支付为cn 2020 3 18 21 Cox Ross Rubinstein根据多期二叉树模型推导出了衍生品的一般定价公式 即其中cn i 为衍生品n时刻的价格 且在前面的n期有i次上升 由于达到cn i 的每条路径在风险中性概率测度下的概率均为qi 1 q n I 其数目为 所以将所有的cn i 乘以再相加即得EQ cn 贴现即为c0 例题9 3 一个期权价格的二叉树模型如下图 如果模型中上升 下降的比例不随时间的变化而变化 市场无风险连续复利为5 则C0值为 2011年春季真题 A 2 06B 2 19C 2 39D 2 58E 2 86 答案 B 解析 设标的资产价格上升的概率为q 于是由得 于是 9 3Black Scholes模型Black Scholes是一个连续时间衍生品的定价模型 该模型建立在对市场的下列假设之上 基础资产不支付红利 且其价格服从几何布朗运动 即基础资产的价格满足随机微分方程 9 2 其中为常数 以下均假设基础资产为股票 市场是完全的 即所有未定权益都是可复制的 市场是无套利的 无风险利率r是一个常数 且任何期限的借贷利率都相等 可以无限制的卖空 市场无摩擦 即无税收成本 无交易成本 基础资产可以以任何数量在任何连续的时间交易 根据以上的假设可以推导出衍生品价格满足的偏微分方程 Black Scholes微分方程 结合边界条件就可以求出衍生品的价格 1 Black Scholes微分方程的推导 Black Scholes微分方程假设衍生品的期限为T f t St 表示衍生品t时刻的价格 假设函数具有连续的二阶偏导数 因此f t St 满足引理的条件 从而有 9 3 构建一个无风险组合以消去dWt项 考虑下面一种构建方法 即持有 l单位的衍生品 单位的股票 则t时刻组合的价格为 对该资产组合求微分整理得到 从上式可以看出 组合价格的变化仅与时间有关 与市场的状态无关 因此是无风险组合 故从而有 9 4 此等式即为Black Scholes微分方程 2 关于Black Scholes微分方程及其推导的几点说明 将式差分 得到 所以基于t刻的信息集Ft对上式两边求条件期望可得 所以的含义是股票的连续收益率 同理求 st基于Ft的条件方差可得 所以的含义是收益率的 瞬时 标准差 分别度量了股票的收益和风险 方程并未涉及衍生品的具体类型 因而式适用于所有的衍生品 衍生品的类型一般决定了微分方程满足的边界条件 例如欧式看涨期权满足的边界条件为 解Black Scholes微分方程就得到标准欧式期权的价格 其中 组合是动态的 由的定义可以看出 的价格是随时间变化的 组合中的系数也是随时间变化的 这表明套期保值是一个动态的过程 衍生品的价格过程与基础资产的价格过程紧密相关 在一定的假设条件下二者都可以用随机微分方程描述 引理正是联系二者的桥梁 一般而言 偏微分方程的求解是非常困难的 甚至会出现没有解析解的情况 因此 金融数学中更为常用的衍生品定价方法是鞅定价法 假设式只涉及一个dWt项 这表明市场是由一个布朗运动驱动的 也就是说市场只有一个 风险源 如果衍生品涉及多个风险 如随机利率的股票期权的定价中涉及到两个风险 需要用dW1t和dW2t 描述其对价格的影响 这样的模型称为双因素模型 衍生品价格满足的微分方程的推导中将用到二维的引理 但推导的思路与单因素的情形相同 如果基础资产支付红利 其价格满足的随机微分方程变为 类似的 可以推导出衍生品价格满足的微分方程 其中q为股票的红利率 方程和是基于对衍生品价格不同的理解得到的 前者是将它理解为一个与股票价格过程相关的随机过程 后者则是将它理解为一个股票价格和时间的二元函数 例题9 4 一个一年期欧式看涨期权 其标的资产为一只公开交易的普通股票 已知 a 股票现价为122元b 股票年收益率标准差为0 2c ln 股票现价 执行价现价 0 2利用Black scholes期权定价公式计算该期权的价格 2011年春季真题 A 18B 20C 22D 24E 26 答案 D 解析 利用Black scholes期权定价公式可得 由得 于是 2 基于鞅方法的Black Scholes公式在Black Scholes模型的假设下 市场存在唯一的风险中性概率测度Q 且T时刻到期的衍生品在t时刻的价格可以表示为 这里XT是在衍生品到期时的支付额 下面分5个步骤证明这一结论 1 建立贴现的基础资产价格过程 通过Girsanov定理找到风险中性概率测度Q 使得Dt是一个Q鞅 通过求解可得客观概率测度下 所以由Girsanov定理 我们可以找到概率测度Q使得 其中是一个Q标准布朗运动 且即表明Dt是一个Q鞅 2 定义过程 3 定义过程Et 由条件期望的塔性质可知Et是一个Q鞅 4 由鞅表示定理可知 存在一个Ft可料过程 称是Ft可料过程 如果可测的 其中使得 5 设 因此如果在t时刻持有单位的基础资产和单位的无风险资产 其价格为 则t时刻组合的价格为 并且所以该策略是自融资的 其资产组合在t时刻的价格等于衍生品t时刻的价格 即 9 4 步骤2中未采用Xt而采用了符号Vt 事实上Vt Xt 这样做是想明确Vt是一个复制组合的价格 而不是衍生品本身 尽管二者的价格是相等的 对欧式看涨期权式可写为 不失一般性 求解c0 因ST在Q下服从对数正态分布因此在Q下服从正态分布设事件 则其中IA为A的示性函数 可以看出 鞅方法将前面求解Black Scholes微分方程的复杂过程变为较为简单的求随机变量的数学期望 3 希腊字母 及其意义希腊字母是衍生品的常用避险参数的总称 这些避险参数度量了衍生品价格对各变量的敏感性 1 对于任意衍生品 的定义为 其中f为衍生品的价格 命题9 1 对于欧式看涨期权 是对基础资产价格敏感性的度量 度量了基础资产价格波动对衍生品价格的影响 基础资产本身的 1 0为 中立状态 通过调整资产组合中各单一资产的权重 可能达到各单一资产按投资比例加权的 值为0 中立状态是风险管理者消除基础资产价格风险的最佳状态 2 对于任意衍生品 的定义为 对于欧式看涨期权 度量了基础资产价格的变化对 的影响 即度量了衍生品价格与基础资产价格之间的凹凸性 给出了如何重新回到 中立状态的方法 3 v 对于任意衍生品 v的定义为 对于欧式看涨期权 v度量了基础资产价格波动性的变化对衍生品价格的影响 v较小意味着资产组合的价格对基础资产价格波动率的变化不敏感 没有必要花费较大的成本获得波动率的准确值 反之 若v较大 则有必要获得较准确的信息 通常情况下 波动率是基于基础资产价格的历史数据估计出来的 这样得到的称为历史的波动率 另一种获得的方法是基于某个定价公式 如Black Scho