三个正数的算术-几何平均不等式.doc

专 题： 三个正数的算术-几何平均不等式一、知识学习：定理3：如果，那么。当且仅当时，等号成立。推广： 。当且仅当时，等号成立。语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。思考：类比基本不等式，是否存在：如果，那么（当且仅当时，等号成立）呢？试证明。二、例题分析：例1：求函数的最小值。解一： 解二：当即时 上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 的最小值。由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值三、巩固练习1.函数的最小值是 ( )A.6 B. C.9 D.122.函数的最小值是 .3函数的最大值是（ ）A.0 B.1 C. D. 4.(已知正数满足，求的最小值。5.设为正实数，求证：不等式选讲自我检测1 若x，y(0，)，且xys，xyp，则下列命题中正确的序号是 .当且仅当xy时，s有最小值2；当且仅当xy时，p有最大值；当且仅当p为定值时，s有最小值2；若s为定值，则当且仅当xy时，p有最大值.2若x，yR，且满足x3y2，则3x27y1的最小值是 .3设x，yR，且xy0，则(x2)(4y2)的最小值为 4函数y33x(x0)的最大值为 5若a，bR，且a2b210，则ab的取值范围为 探究点一利用柯西不等式求最值例1 已知x，y，a，bR，且1，求xy的最小值变式迁移1 若2x3y1，求4x29y2的最小值探究点三不等式的证明例3 (1)已知a、b、c为正数，且满足acos2bsin2c.求证：cos2sin21，则函数yx的最小值为_2函数y(xbc，nN*，且恒成立，则n的最大值是_5若3x4y2，则x2y2的最小值为_6函数y的最大值为_7函数yloga(x3)1(a0，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m，n0，则的最小值为_8设实数x，y满足3x22y26，则p2xy的最大值是_二、解答题(共42分)9(12分)设a，b，c为正数，求证：(abc)(a2b2c2)9abc.10(14分)设x、y均大于0，且xy1，求证：(x)2(y)2.11(16分)某养殖厂需要定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元，求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的费用最小不等式选讲答案自主梳理1(1)(2)(3)a1a2an2(1)(acbd)2adbc(2)|自我检测1解析x，y(0，)，xy2，又xys，xyp，当s一定，即xy时，p有最大值；当p一定，即xy时，s有最小值2.27解析3x27y121217，当且仅当“3x27y”即x3y且x3y2时，上式取“”，此时x1，y.39解析(x2)(4y2)54x2y2529，当且仅当x2y2时“”成立432解析x0，y33x3(3x)()32.当且仅当3x，即x时取等号当x时，函数y33x有最大值32.52，2解析由柯西不等式得，12(1)2(a2b2)(ab)2，(ab)220，2ab2，当且仅当“ba”时上式“”成立由得，或.课堂活动区例1 解题导引由于1，则可以构造xy()2()2()2()2()2的形式，从而利用柯西不等式求出最值利用柯西不等式求最值，实际上就是利用柯西不等式进行放缩，但放缩时要注意等号成立的条件是否符合题意解x，y，a，bR，1，xy()2()2()2()2()2.当且仅当，即时取等号(xy)min()2.变式迁移1 解由柯西不等式得：(4x29y2)(1212)(2x3y)21.4x29y2.当且仅当2x13y1，即2x3y时取等号由得.4x29y2的最小值为.例2 解题导引运用算术几何平均不等式解决应用问题的步骤是：(1)弄清量与量之间的关系，将要求最大值(或最小值)的变量表示为其他变量的函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为数学中的最值问题；(3)在定义域内求函数的最值；(4)根据实际意义写出正确答案解如图，设正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的边长为x(0x1)，则OB1B1B2x.由A1A2A3A4A5A6的边长为1，得OA1A1A21，所以A1B1OA1OB11x.作B1C1A1A2于C1.在RtA1B1C1中，B1A1C160，则容器的高B1C1A1B1sin 60(1x)于是容器的容积为Vf(x)Sh(6x2)(1x)x2(1x)(0x0)(2)由Va2h(h0)，得：V，而h22.所以0V，当且仅当h，即h1时取等号故当h1米时，V有最大值，V的最大值为立方米例3 证明(1)由柯西不等式可得cos2sin2(cos )2(bsin )2(cos2sin2)(acos2bsin2)0，从而(abc)290，又30，()(abc)23927.当且仅当abc时，等号成立变式迁移3 证明a，b，cR，(ab)(bc)(ca)30，30，(abc)().当且仅当abc时，等号成立课后练习区18解析yx28.当且仅当，即x2时等号成立23,0)解析y.x(x)()2.x11.03，即3yc，ac0，4n，即n4.5.解析柯西不等式(3242)(x2y2)(3x4y)2，得25(x2y2)4，所以x2y2.不等式中当且仅当时等号成立，x2y2取得最小值，解方程组得因此当x，y时，x2y2取得最小值，最小值为.6.解析函数的定义域为1,6y2()2(1)2()212()2()23515.y215.y.当且仅当1，即x时等号成立原函数的最大值为.78解析函数yloga(x3)1(a0，a1)的图象恒过定点A(2，1)则(2)m(1)n10,2mn1，m，n0.()(2mn)4428，(m，n时取等号)即的最小值为8.8.解析(3x22y2)()2()2(2xy)2，(2xy)2611.2xy，当且仅当时，上式取“”即或.x，y时，Pmax.9证明由算术几何平均不等式可得：abc3，a2b2c23，相乘得(abc)(a2b2c2)9abc即为所证结论(12分)10证明方法一要证(x)2(y)2，只需证x2y24.(3分)xy1，即要证(12xy)，即要证4x3y315x2y24xy20，(5分)即要证(4xy1)(x2y24xy2)0，(8分)即要证4xy(xy)2(x2y24xy2)0，(10分)即要证(xy)2(x2y24xy2)0.(12分)x、y均大于0，xy1，故上式成立故所证不等式(x)2(y)2成立(14分)方法二xy1，xy()2，4.(4分)又(1212)(x)2(y)2(xy)2(8分)(xy)2(1)2(14)225.(12分)即2(x)2(y)225.(x)2(y)2.(14分)11解设该厂应隔x(xN*)天购买一次饲料，平均每天支付的费用为y.饲料的保管