2012届高考数学知识圆锥曲线与方程导航复习教案.doc

2012届高考数学知识圆锥曲线与方程导航复习教案高考导航考试要求重难点击命题展望1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；4.了解圆锥曲线的简单应用；5.理解数形结合的思想；6.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 本章重点：1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系问题；3.求曲线的方程或曲线的轨迹；4.数形结合的思想，方程的思想，函数的思想，坐标法.本章难点：1.对圆锥曲线的定义及性质的理解和应用；2.直线与圆锥曲线的位置关系问题；3.曲线与方程的对应关系. 圆锥曲线与函数、方程、不等式、三角形、平面向量等知识结合是高考常考题型.极有可能以一小一大的形式出现，小题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法运用；解答题常作为数学高考的把关题或压轴题，综合考查学生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等方面的能力.知识网络 9.1 椭 圆典例精析题型一 求椭圆的标准方程【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为453和253，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.【解析】由椭圆的定义知，2a45325325，故a5，由勾股定理得，(453)2(253)24c2，所以c253，b2a2c2103，故所求方程为x253y2101或3x210y251.【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2ny21(m0，n0且mn)；(2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆C1的方程为 .【解析】方法一：先将题目中的点描出来，如图，A(2,2)，B(2，0)，C(0，6)，D(2，22)，E(22，2)，F(3，23).通过观察可知道点F，O，D可能是抛物线上的点.而A，C，E是椭圆上的点，这时正好点B既不在椭圆上，也不在抛物线上.显然半焦距b6，则不妨设椭圆的方程是x2my261，则将点A(2,2)代入可得m12，故该椭圆的方程是x212y261.方法二：欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些.不妨设有两点y212px1，y222px2，y21y22x1x2，则可知B(2，0)，C(0，6)不是抛物线上的点.而D(2，22)，F(3，23)正好符合.又因为椭圆的交点在x轴上，故B(2，0)，C(0，6)不可能同时出现.故选用A(2,2)，E(22，2)这两个点代入，可得椭圆的方程是x212y261.题型二 椭圆的几何性质的运用【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，|PF1|m，|PF2|n，在F1PF2中，由余弦定理可知4c2m2n22mncos 60，因为mn2a，所以m2n2(mn)22mn4a22mn，所以4c24a23mn，即3mn4a24c2.又mn(mn2)2a2(当且仅当mn时取等号)，所以4a24c23a2，所以c2a214，即e12，所以e的取值范围是12，1).(2)由(1)知mn43b2，所以 12mnsin 6033b2，即F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【点拨】椭圆中F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF1| |PF2|(|PF1|PF2|2)2，|PF1|ac.【变式训练2】已知P是椭圆x225y291上的一点，Q，R分别是圆(x4)2y214和圆(x4)2y214上的点，则|PQ|PR|的最小值是 .【解析】设F1，F2为椭圆左、右焦点，则F1，F2分别为两已知圆的圆心，则|PQ|PR|(|PF1|12)(|PF2|12)|PF1|PF2|19.所以|PQ|PR|的最小值为9.题型三 有关椭圆的综合问题【例3】(2010全国新课标)设F1，F2分别是椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.(1)求E的离心率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求E的方程.【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|43a.l的方程为yxc，其中ca2b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组 化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x22a2ca2b2，x1x2a2(c2b2)a2b2.因为直线AB斜率为1，所以|AB|2|x2x1|2(x1x2)24x1x2，即43a4ab2a2b2，故a22b2，所以E的离心率ecaa2b2a22.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0x1x22a2ca2b223c，y0x0cc3.由|PA|PB| kPN1，即y01x01 c3.从而a32，b3，故E的方程为x218y291.【变式训练3】已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若|PF1|PF2|e，则e的值是( )A.32B.33C.22D.63【解析】设F1(c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)，则椭圆左准线xa2c，抛物线准线为x3c，x0(a2c)x0(3c) c2a213 e33.故选B.总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a、 b的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx2ny21(m0，n0，mn)求解.2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围. 9.2 双曲线典例精析题型一 双曲线的定义与标准方程【例1】已知动圆E与圆A：(x4)2y22外切，与圆B：(x4)2y22内切，求动圆圆心E的轨迹方程.【解析】设动圆E的半径为r，则由已知|AE|r2，|BE|r2，所以|AE|BE|22，又A(4,0)，B(4,0)，所以|AB|8,22|AB|.根据双曲线定义知，点E的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支.因为a2，c4，所以b2c2a214，故点E的轨迹方程是x22y2141(x2).【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.【变式训练1】P为双曲线x29y2161的右支上一点，M，N分别是圆(x5)2y24和(x5)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为( )A.6B.7C.8D.9【解析】选D.题型二 双曲线几何性质的运用【例2】双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，使 0，求此双曲线离心率的取值范围.【解析】设P(x，y)，则由 0，得APPQ，则P在以AQ为直径的圆上，即 (x3a2)2y2(a2)2，又P在双曲线上，得x2a2y2b21，由消去y，得(a2b2)x23a3x2a4a2b20，即(a2b2)x(2a3ab2)(xa)0，当xa时，P与A重合，不符合题意，舍去；当x2a3ab2a2b2时，满足题意的点P存在，需x2a3ab2a2b2a，化简得a22b2，即3a22c2，ca62，所以离心率的取值范围是(1，62).【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.【变式训练2】设离心率为e的双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是( )A.k2e21B.k2e21C.e2k21D.e2k21【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满足bakba，即k2b2a2c2a2a2e21，故选C.题型三 有关双曲线的综合问题【例3】(2010广东)已知双曲线x22y21的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，y1)是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；(2)若过点H(0，h)(h1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1l2，求h的值.【解析】(1)由题意知|x1|2，A1(2，0)，A2(2，0)，则有直线A1P的方程为yy1x12(x2)，直线A2Q的方程为yy1x12(x2).方法一：联立解得交点坐标为x2x1，y2y1x1，即x12x，y12yx，则x0，|x|2.而点P(x1，y1)在双曲线x22y21上，所以x212y211.将代入上式，整理得所求轨迹E的方程为x22y21，x0且x2.方法二：设点M(x，y)是A1P与A2Q的交点，得y2y21x212(x22).又点P(x1，y1)在双曲线上，因此x212y211，即y21x2121.代入式整理得x22y21.因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点A1，A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点(0,1)及A2(2，0)的直线l的方程为x2y20.解方程组 得x2，y0.所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.故轨迹E不过点(0,1).同理轨迹E也不过点(0，1).综上分析，轨迹E的方程为x22y21，x0且x2.(2)设过点H(0，h)的直线为ykxh(h1)，联立x22y21得(12k2)x24khx2h220.令16k2h24(12k2)(2h22)0，得h212k20，解得k1h212，k2h212.由于l1l2，则k1k2h2121，故h3.过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1l2，因此A1HA2H，由h2(h2)1，得h2.此时，l1，l2的方程分别为yx2与yx2，它们与轨迹E分别仅有一个交点(23，223)与(23，223).所以，符合条件的h的值为3或2.【变式训练3】双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于( )A.122B.322C.422D.522【解析】本题考查双曲线定义的应用及基本量的求解.据题意设|AF1|x，则|AB|x，|BF1|2x.由双曲线定义有|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a (|AF1|BF1|)(|AF2|BF2|)(21)xx4a，即x22a|AF1|.故在RtAF1F2中可求得|AF2|F1F2|2|AF1|24c28a2.又由定义可得|AF2|AF1|2a22a2a，即4c28a2222a，两边平方整理得c2a2(522) c2a2e2522，故选D.总结提高1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意不同点，如a，b，c的关系、渐近线等.2.要深刻理解双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，P的轨迹是双曲线；当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，P的轨迹是以F1或F2为端点的射线；当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，P无轨迹.3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要掌握以下两个问题：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线ybax，可将双曲线方程设为x2a2y2b2(0)，再利用其他条件确定的值，求法的实质是待定系数法.9.3 抛物线典例精析题型一 抛物线定义的运用【例1】根据下列条件，求抛物线的标准方程.(1)抛物线过点P(2，4)；(2)抛物线焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5.【解析】(1)设方程为y2mx或x2ny.将点P坐标代入得y28x或x2y.(2)设A(m，3)，所求焦点在x轴上的抛物线为y22px(p0)，由定义得5|AF|mp2|，又(3)22pm，所以p1或9，所求方程为y22x或y218x.【变式训练1】已知P是抛物线y22x上的一点，另一点A(a,0) (a0)满足|PA|d，试求d的最小值.【解析】设P(x0，y0) (x00)，则y202x0，所以d|PA|(x0a)2y20(x0a)22x0x0(1a)22a1.因为a0，x00，所以当0a1时，此时有x00，dmin(1a)22a1a；当a1时，此时有x0a1，dmin2a1.题型二 直线与抛物线位置讨论【例2】(2010湖北)已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有 0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：(x1)2y2x1(x0).化简得y24x(x0).(2)设过点M(m,0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).设l的方程为xtym，由 得y24ty4m0，16(t2m)0，于是 又 (x11，y1)， (x21，y2). 0 (x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y20.又xy24，于是不等式等价于 y214 y224y1y2(y214y224)10 (y1y2)216y1y214(y1y2)22y1y210.由式，不等式等价于m26m14t2.对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于m26m10，即322m322.由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有 0，且m的取值范围是(322，322).【变式训练2】已知抛物线y24x的一条弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直线与y轴的交点坐标为(0,2)，则1y11y2 .【解析】 y24my8m0，所以1y11y2y1y2y1y212.题型三 有关抛物线的综合问题【例3】已知抛物线C：y2x2，直线ykx2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.(1)求证：抛物线C在点N处的切线与AB平行； (2)是否存在实数k使 0？若存在，求k的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)证明：如图，设A(x1,2x21)，B(x2,2x22)，把ykx2代入y2x2，得2x2kx20，由韦达定理得x1x2k2，x1x21，所以xNxMx1x22k4，所以点N的坐标为(k4，k28).设抛物线在点N处的切线l的方程为yk28m(xk4)，将y2x2代入上式，得2x2mxmk4k280，因为直线l与抛物线C相切，所以m28(mk4k28)m22mkk2(mk)20，所以mk，即lAB.(2)假设存在实数k，使 0，则NANB，又因为M是AB的中点，所以|MN| |AB|.由(1)知yM12(y1y2)12(kx12kx22)12k(x1x2)412(k224)k242.因为MNx轴，所以|MN|yMyN|k242k28k2168.又|AB|1k2 |x1x2|1k2 (x1x2)24x1x21k2 (k2)24(1)12k21 k216.所以k216814k21 k216，解得k2.即存在k2，使 0.【点拨】直线与抛物线的位置关系，一般要用到根与系数的关系；有关抛物线的弦长问题，要注意弦是否过焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须使用一般弦长公式.【变式训练3】已知P是抛物线y22x上的一个动点，过点P作圆(x3)2y21的切线，切点分别为M、N，则|MN|的最小值是 .【解析】455.总结提高1.在抛物线定义中，焦点F不在准线l上，这是一个重要的隐含条件，若F在l上，则抛物线退化为一条直线.2.掌握抛物线本身固有的一些性质：(1)顶点、焦点在对称轴上；(2)准线垂直于对称轴；(3)焦点到准线的距离为p；(4)过焦点垂直于对称轴的弦(通径)长为2p.3.抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线的类型，可采用待定系数法.4.抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握.但由于抛物线的离心率为1，所以抛物线的焦点有很多重要性质，而且应用广泛，例如：已知过抛物线y22px(p0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：|AB|x1x2p或|AB|2psin2(为AB的倾斜角)，y1y2p2，x1x2p24等. 9.4 直线与圆锥曲线的位置关系典例精析题型一 直线与圆锥曲线交点问题【例1】若曲线y2ax与直线y(a1)x1恰有一个公共点，求实数a的值.【解析】联立方程组 (1)当a0时，方程组恰有一组解为 (2)当a0时，消去x得a1ay2y10，若a1a0，即a1，方程变为一元一次方程y10，方程组恰有一组解 若a1a0，即a1，令0，即14(a1)a0，解得a45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点.综上所述，a0或a1或a45.【点拨】本题设计了一个思维“陷阱”，即审题中误认为a0，解答过程中的失误就是不讨论二次项系数 0，即a1的可能性，从而漏掉两解.本题用代数方法解完后，应从几何上验证一下：当a0时，曲线y2ax，即直线y0，此时与已知直线yx1 恰有交点(1,0)；当a1时，直线y1与抛物线的对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零)；当a45时直线与抛物线相切.【变式训练1】若直线ykx1与双曲线x2y24有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为( )A.1，1，52，52B.(，5252，)C.(，11，)D.(，1)52，)【解析】由 (1k2)x22kx50， k52，结合直线过定点(0，1)，且渐近线斜率为1，可知答案为A.题型二 直线与圆锥曲线的相交弦问题【例2】(2010辽宁)设椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60， 2 .(1)求椭圆C的离心率；(2)如果|AB|154，求椭圆C的方程.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y10，y20.(1)直线l的方程为y3(xc)，其中ca2b2.联立 得(3a2b2)y223b2cy3b40.解得y13b2(c2a)3a2b2，y23b2(c2a)3a2b2.因为 2 ，所以y12y2，即3b2(c2a)3a2b22 3b2(c2a)3a2b2.解得离心率eca23.(2)因为|AB|113|y2y1|，所以23 43ab23a2b2154.由ca23得b53a，所以54a154，即a3，b5.所以椭圆的方程为x29y251.【点拨】本题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问题，以及用待定系数法求椭圆方程.【变式训练2】椭圆ax2by21与直线y1x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为32，则ab的值为 .【解析】设直线与椭圆交于A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，弦中点坐标为(x0，y0)，代入椭圆方程两式相减得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0 2ax02by0y1y2x1x20 ax0by00.故aby0x032.题型三 对称问题【例3】在抛物线y24x上存在两个不同的点关于直线l：ykx3对称，求k的取值范围.【解析】设A(x1，y1)、B(x2、y2)是抛物线上关于直线l对称的两点，由题意知k0.设直线AB的方程为y1kxb，联立 消去x，得14ky2yb0，由题意有124 14k b0，即bk10.(*)且y1y24k.又y1y221k x1x22b.所以x1x22k(2kb).故AB的中点为E(k(2kb)，2k).因为l过E，所以2kk2(2kb)3，即b2k3k22k.代入(*)式，得2k3k3210 k32k3k30 k(k1)(k2k3)0 1k0，故k的取值范围为(1,0).【点拨】(1)本题的关键是对称条件的转化.A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线l对称，则满足直线l与AB垂直，且线段AB的中点坐标满足l的方程；(2)对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称，求有关参数的范围问题，利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判别式大于零建立不等式求解；或者用参数表示弦中点的坐标，利用中点在曲线内部的条件建立不等式求参数的取值范围.【变式训练3】已知抛物线yx23上存在关于xy0对称的两点A，B，则|AB|等于( )A.3B.4C.32D.42【解析】设AB方程：yxb，代入yx23，得x2xb30，所以xAxB1，故AB中点为(12，12b).它又在xy0上，所以b1，所以|AB|32，故选C.总结提高1.本节内容的重点是研究直线与圆锥曲线位置关系的判别式方法及弦中点问题的处理方法.2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论，即联立方程组 通过消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2bxc0进行讨论.这时要注意考虑a0和a0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除a0，0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).由此可见，直线与圆锥曲线只有一个公共点，并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件.3.弦中点问题的处理既可以用判别式法，也可以用点差法；使用点差法时，要特别注意验证“相交”的情形.9.5 圆锥曲线综合问题典例精析题型一 求轨迹方程【例1】已知抛物线的方程为x22y，F是抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l2，记l1和l2交于点M.(1)求证：l1l2；(2)求点M的轨迹方程.【解析】(1)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx12.联立 消去y整理得x22kx10.设A的坐标为(x1，y1)，B的坐标为(x2，y2)，则有x1x21，将抛物线方程改写为y12x2，求导得yx.所以过点A的切线l1的斜率是k1x1，过点B的切线l2的斜率是k2x2.因为k1k2x1x21，所以l1l2.(2)直线l1的方程为yy1k1(xx1)，即yx212x1(xx1).同理直线l2的方程为yx222x2(xx2).联立这两个方程消去y得x212x222x2(xx2)x1(xx1)，整理得(x1x2)(xx1x22)0，注意到x1x2，所以xx1x22.此时yx212x1(xx1)x212x1(x1x22x1)x1x2212.由(1)知x1x22k，所以xx1x22kR.所以点M的轨迹方程是y12.【点拨】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的就是直接法.要注意“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌.【变式训练1】已知ABC的顶点为A(5,0)，B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是( )A.x29y2161B.x216y291C.x29y2161(x3)D.x216y291(x4)【解析】如图，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826，根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29y2161(x3)，故选C.题型二 圆锥曲线的有关最值【例2】已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆x23y24上，对角线BD所在直线的斜率为1.当ABC60时，求菱形ABCD面积的最大值.【解析】因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.于是可设直线AC的方程为yxn.由 得4x26nx3n240.因为A，C在椭圆上，所以12n2640，解得433n433.设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x23n2，x1x23n244，y1x1n，y2x2n. 所以y1y2n2.因为四边形ABCD为菱形，且ABC60，所以|AB|BC|CA|.所以菱形ABCD的面积S32|AC|2.又|AC|2(x1x2)2(y1y2)23n2162，所以S34(3n216) (433n433).所以当n0时，菱形ABCD的面积取得最大值43.【点拨】建立“目标函数”，借助代数方法求最值，要特别注意自变量的取值范围.在考试中很多考生没有利用判别式求出n的取值范围，虽然也能得出答案，但是得分损失不少.【变式训练2】已知抛物线yx21上有一定点B(1,0)和两个动点P、Q，若BPPQ，则点Q横坐标的取值范围是 .【解析】如图，B(1,0)，设P(xP，x2P1)，Q(xQ，x2Q1)，由kBP kPQ1，得x2P1xP1 x2Qx2PxQxP1.所以xQxP1xP1(xP1)1xP11.因为|xP11xP1|2，所以xQ1或xQ3.题型三 求参数的取值范围及最值的综合题【