比较中学习椭圆与双曲线.docx

比较中学习椭圆与双曲线江苏省姜堰中学 张圣官（225500）让我们先来做做以下两道题： 题1.某圆锥曲线上一点P到两个焦点满足，求该圆锥曲线离心率的值 题2.（1）设椭圆的左右顶点分别为，线段CD是垂直于椭圆长轴的弦，连结并延长相交于点P，则动点P的轨迹方程是；（2）设双曲线的左右顶点分别为，线段CD是垂直于双曲线实轴的弦，连结并延长相交于点P，则动点P的轨迹方程是 在题1中圆锥曲线可能有两种形态：椭圆或双曲线，离心率的值为或在题2中运用交轨法求轨迹，结果发现在椭圆中动点P的轨迹方程就是双曲线；而在双曲线中动点P的轨迹方程恰好是椭圆其实，椭圆与双曲线有许多相关、相似又相异的性质，需要我们在学习的过程中运用比较法进行探讨，在辨析中加深对相关知识的掌握一比较中认识椭圆与双曲线名 称椭圆双曲线定 义 平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆，平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线，即图 象标准方 程焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 焦点在轴上时：的关 系 ，【点睛】引导学生领会椭圆和双曲线的定义与标准方程的差别仅在“和”与“差”上，抓住矛盾的两个方面，为将椭圆的性质类比到双曲线上作铺垫F1F2QPNxyO二比较中探究椭圆与双曲线性质探究一： 椭圆两焦点为，点Q为椭圆上除顶点外的任一点，过点作的一个外角平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是圆的一部分（1）证明此命题为真命题（2）你能否类比到双曲线上，给出一个类似的命题？并证明【点睛】求动点轨迹的过程巩固椭圆双曲线定义的应用，由“外角平分线”类比为“内角平分线”的过程进行讨论、猜想；在论证的过程中引导归纳总结，得出类比不是简单的生搬硬套，必须遵循两者定义的区别；动画演示，增强直观感觉，体验失败后的成功感XBAYOP探究二：已知椭圆上A、B两点关于原点对称，点是椭圆上任意一点，且点与、两点均不重合，设直线、的斜率分别为、，那么是否为定值？ （1）猜想结论，并证明（2）类比到双曲线中，写出一个类似的命题，并证明之【点睛】探究过程可以从特殊位置开始，猜出结论，再进行一般论证类比到双曲线时，引导根据两个曲线的定义差别，找出类比的规律再次让学生体会类比的命题是否正确需要严格论证，让学生经历从特殊到一般的探究过程以及掌握严格的论证推理方法其实，二次曲线，上述命题中的结论可以统一为即：当m,n同正且不相等时，是椭圆，无论焦点在x轴还是y轴，均成立；当m,n异号时，是双曲线，也成立.探究三：如图，点是双曲线上的动点，是双曲线的焦点，点是的平分线上一点，且.某同学用以下方法研究：延长交于点，可知为等腰三角形，且为的中点，得.类似地：点是椭圆上的动点，是椭圆的焦点，是的平分线上一点，且，则的取值范围是 _ . 【点睛】前面都是椭圆类比到双曲线，此题是由双曲线类比到椭圆，而且与探究一也有呼应作用，一方面加强学生对椭圆双曲线定义的理解，另一方面也是类比思想的深化三比较中区别椭圆与双曲线不同点 椭圆与双曲线同属于圆锥曲线，但形状不同，不是所有性质都一样的在椭圆中，有四个顶点，有两条准线，图形是封闭的；在双曲线中，有两个顶点，有两条准线，图形是开放的，而且有两条渐近线有关渐近线的问题是双曲线所特有的，而椭圆就没有有些结论相似但不相同例如：过椭圆的左焦点F作直线与椭圆交于A、B两点，则以线段EF为直径的圆与椭圆的左准线相离；过双曲线的左焦点F作直线与双曲线的左支交于A、B两点，则以线段EF为直径的圆与双曲线的左准线相交这是由于它们离心率范围不同造成的有些问题在处理时尤其要慎重区别对待例1 中，分别是双曲线的左右焦点，在该双曲线的右支上运动的内切圆圆心为，求证：的横坐标为定值【证明】设内切圆分别与AB、BC、CA切于D、E、F，则,因为在该双曲线的右支上，所以，设，则，所以因此的横坐标为定值【点睛】其实对于双曲线来说，本题中的内切圆圆心恰好在定直线上运动，但该结论不能推广至椭圆例2 如图，设椭圆：的右焦点为，直线与曲线：相切，且交椭圆于两点，求证：的周长为定值【解】设切点为T，连结OT、OA，设，在圆中，将代入得， 在椭圆中，右准线为，因此，从而， 这样，同理可得即的周长为定值10【点睛】对于一般椭圆来说，本题中的周长恰好等于长轴长，但该结论不能推广至双曲线【配套练习题】一填空题：1. 双曲线渐近线方程为，则其离心率_2.设点是双曲线右支上的任意一点，分别是其左、右焦点，若是平面上一定点，则的最小值为_3.若在椭圆上，则过P的椭圆的切线方程是类比到双曲线上的命题为：_.4F是椭圆 的左焦点，过F且倾斜角为600的直线交椭圆与A、B两点，若AF=2BF，则椭圆的离心率e=_5. 已知椭圆的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，则的最大值和最小值之和为_二解答题：6已知直线，双曲线（1）若直线与双曲线E的其中一条渐近线平行，求双曲线E的离心率；XBAYOM（2）若直线过双曲线的右焦点，与双曲线交于P、Q两点，且，求双曲线的方程7. 若AB是椭圆的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则是否为定值？并证明你的结论类比到双曲线有何结论？8.如图，在平面直角坐标系中， 已知圆，椭圆， 为椭圆右顶点过原点且异于坐标轴的直线与椭圆交于两点，直线与圆的另一交点为，直线与圆的另一交点为，其中设直线的斜率分别为（1）求的值；（2）记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线必过点【解答】一填空题：1. 或2. 3. 若在双曲线上，则过P的椭圆的切线方程是4.5. 二解答题：6. 解：（1）因为双曲线的渐近线为，所以，双曲线的离心率（2） 设直线，代入得， ，所以， 因为得，整理得， 因为，所以，得，所以双曲线C：7.解：用“点差法”，设，则， 由得，即为定值类似地，若AB是双曲线