实验四 离散线性时不变系统分析难点.doc

实验四 离散线性时不变系统分析 一、 实验目的1. 常见离散信号的表示和运算；2. 掌握离散LSI系统的单位序列响应、单位阶跃响应和任意激励下响应的MATLAB求解方法；3.掌握离散LSI系统的复频域分析方法；4. 掌握离散LSI系统的零极点分布与系统特性的关系。二、实验原理及方法1. 离散信号表示与运算 离散时间信号是指在离散时刻才有定义的信号，简称离散信号，或者序列。离散序列通常用x(n)来表示，自变量必须是整数。离散时间信号的波形绘制在Matlab中，一般用stem函数。函数stem的基本用法和plot函数一样，它绘制的波形图的每个样本点上都有一个小圆圈，默认是空心的。如果要实心，需使用参数fill，filled或“.”。由于Matlab中矩阵元素的个数有限，所以只能表示一定时间范围内的有限长度的序列；而对于无限序列，也只能在一定范围内表现出来。1、产生并绘制一个单位样本序列运行程序clfn=-10:20;u=zeros(1,10) 1 zeros(1,20);stem(n,u);xlabel(时间序号);ylabel(振幅);title(单位样本序列);axis(-10 20 0 1.2);实验结果如图1所示或者自定义impDT.m的文件 function y=impDT(n) y=(n=0); %当参数n0时冲激为1，否则为0 。 保存后,可调用该函数产生单位样值序列。调用时n必须是整数或者整数向量。n=-3:3;x=impDT(n);stem(n,x,.);xlabel(n),grid on;title(单位冲激序列);axis(-3 3 -0.1 1.1);2、生成一个实数值的指数序列：运行程序：clf;n=0:35; a=1.2;K=0.2;x=K*a.n;stem(n,x);xlabel(时间序号n);ylabel(振幅);实验结果如图2所示3、产生一个正弦信号：运行程序：n=0:40;f=0.1;phase=0;A=1.5;arg=2*pi*f*n-phase;x=A*cos(arg);stem(n,x);axis(0 40 -2 2);grid;title(正弦序列);xlabel(时间序号n);ylabel(振幅);axis;实验结果如下图3所示2. 离散LSI系统的时域分析描述一个N阶线性时不变离散时间系统的数学模型是线性常系统差分方程，N阶LSI离散系统的差分方程一般形式为 （1）也可用系统函数来表示 （2）系统函数反映了系统响应和激励间的关系。一旦上式中，的数据确定了，系统的性质也就确定了。特别注意必须进行归一化处理，即。对于复杂信号激励下的线性系统，可以将激励信号在时域中分解为单位序列或单位阶跃序列的线性叠加，把这些单元激励信号分别加于系统求其响应，然后把这些响应叠加，即可得到复杂信号作用于系统的零状态响应。因此，求解系统的单位序列响应和单位阶跃响应尤为重要。由图6-1可以看出一个离散LSI系统响应与激励的关系。图4 离散LSI系统响应与激励的关系(1) 单位序列响应（单位响应）单位响应是指离散LSI系统在单位序列激励下的零状态响应，因此满足线性常系数差分方程(6.1)及零初始状态，即 ， (3)按照定义，它也可表示为 (4)对于离散LSI系统，若其输入信号为，单位响应为，则其零状态响应为 (5)可见，能够刻画和表征系统的固有特性，与何种激励无关。一旦知道了系统的单位响应，就可求得系统对任何输入信号所产生的零状态响应。MATLAB提供了专门用于求连续系统冲激响应的函数impz()，其调用格式有h,n=impz(b,a)求解离散系统的单位响应，其中，；h,n=impz(b,a,N) 求解离散系统的单位响应，采样点数由N确定，；impz(b,a) ：在当前窗口，用stem(n,h)绘出图形。（2）单位阶跃响应 单位阶跃响应是指离散LTI系统在单位阶跃序列激励下的零状态响应，它可以表示为 (6)上式表明，离散LSI系统的单位阶跃响应是单位响应的累加和，系统的单位阶跃响应和系统的单位响应之间有着确定的关系，因此，单位阶跃响应也能完全刻画和表征一个LSI系统。MATLAB提供了专门用于求离散系统单位阶跃响应的函数stepz( )，其调用格式有s,n=stepz(b,a) ：求解离散系统的单位阶跃响应，其中，；s,n=stepz(b,a,N) ：求解离散系统的单位阶跃响应，采样点数由N确定，；stepz(b,a) ：在当前窗口，用stem(n,s)绘出图形。(3) 任意激励下的零状态响应已经知道，离散LSI系统可用常系数线性差分方程(6.1)式来描述，Matlab提供的函数dlsim( )能对上述差分方程描述的离散LSI系统的响应进行仿真，该函数不仅能绘制指定时间范围内的系统响应波形图，而且还能求出系统响应的数值解。其调用格式有dlsim(b,a, x) ：求解输入序列为x的零状态响应需要特别强调的是，Matlab总是把由分子和分母多项式表示的任何系统都当作是因果系统。所以，利用impz (b,a)，stepz(b,a)，dlsim(b,a,x)函数求得的响应总是因果信号。同时，卷积和也是LSI系统求解零状态响应的重要工具之一。假设系统的输入信号为，单位响应为，则系统的零状态响应可由（5）式求解。Matlab提供了专门用于求离散系统卷积和的函数conv( )，其调用格式有y=conv(x,h) ：求解序列x，h的卷积和，若序列x的长度为n1，序列h的长度为n2，卷积和y的长度为n1+n2-1。这一点需要特别注意，否则，作图时容易造成横纵坐标长度不匹配。（4）带初始状态的任意激励下的全响应任意激励下的离散LSI系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和，表示为 （7）在理论学习的过程中，同学们对低阶差分方程的求解已颇为头痛，高阶差分方程直接求解几乎不可能。Matlab提供了用于求离散系统全响应的函数filter( )，其调用格式有y=filter( b,a,x) ：求解零状态响应；y=filter(b,a,x,zi) ：求解初始条件为zi的系统的全响应，zi向量的长度为max(length(a),length(b)-1，返回值为系统的全响应。z = filtic(b,a,y,x)：将初始状态转换为初始条件，其中，；z = filtic(b,a,y)：将初始状态转换为初始条件，其中，。3 离散LSI系统的复频域（Z域）分析（1）利用Z变换解差分方程在前面图4中表示了离散系统的响应与激励的关系，由图可知，系统的响应既可以用时域的方法求解，也可以用Z域的方法求解。当已知系统输入序列的Z变换，系统函数时，系统响应序列的Z变换可由求出。Matlab提供了用于求序列Z变换和Z反变换的函数，其调用格式有X=ztrans(x)：求无限长序列x的Z变换，返回Z变换的表达式，注意这里x，X都是符号表达式；x=iztrans(X)：求X（z）的Z反变换x(n)，返回Z反变换的表达式，注意这里x，X都是符号表达式；r,p,c=residuez(b,a)：把b(z)/a(z)展开成部分分式；b,a=residuez(r,p,c):根据部分分式的r、p、c数组，返回有理多项式。例1 z变换clear all, close all, clc;syms nx1 = (1/2)n; 序列x1X1 = ztrans(x1) 直接用ztrans函数计算z变换x2 = n*(n-1)/2;X2 = ztrans(x2)X2s = simplify(X2) 化简X2例2 逆z变换clear all, close all, clc;syms z; 定义符号zX = z2/(z2-1.5*z+0.5); 定义变换式Xx = iztrans(X) 直接用iztrans函数计算逆z变换 例3 用z变换解差分方程一离散系统的差分方程为若激励，求响应y(n)。clear all, close all, clc;syms n a b z; %定义符号n,a,b,zx = an; X = ztrans(x);H = 1/(1-b*z(-1); %由差分方程直接写系统函数HY = H*X;y1 = iztrans(Y);y = simplify(y1)（2）系统的零极点分布与系统因果性和稳定性的关系因果系统的单位响应一定满足当时，=0，那么其系统函数的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域是圆外区域。系统稳定要求 ，对照z变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为： (8)MATLAB提供了用于求系统零极点的函数，其调用格式有roots()：利用多项式求根函数来确定系统函数的零极点位置；roots(a)：求极点位置，a为系统函数分母多项式所构成的系数向量；roots(b)：求零点位置，b为系统函数分子多项式所构成的系数向量；zplane(b,a)：绘制由行向量b和a构成的系统函数的零极点分布图；zplane(z,p)：绘制由列向量z确定的零点、列向量p确定的极点构成的零极点分布图。例4：已知离散系统的系统函数为求该系统的零极点及零极点分布图，并判断系统的因果性和稳定性。a=1 -1.1 1.5 -0.7 0.3;z=roots(b) p=roots(a) subplot(221),zplane(b,a);title(系统的零极点分布图);subplot(223),impz(b,a,20);title(系统的单位响应);z =p = -0.5000 + 0.8660i0.2367 + 0.8915i -0.5000 - 0.8660i0.2367 - 0.8915i 0.2500 + 0.9682i0.3133 + 0.5045i 0.2500 - 0.9682i0.3133 - 0.5045i系统极点在单位圆内，零点在圆上，系统稳定。三、实验内容及步骤1. 某离散LSI系统的差分方程表示式为满足初始条件，求系统输入为时的零输入、零状态及全响应；使用filter子函数对系统差分方程进行求解，同时将求解结果与理论