第六章期权定价公式PPT课件.ppt

第六章期权定价公式 1期权的基本概念 2期权的损益 3B S公式的初步认识 4金融中的一些重要参数 5期权定价的连续模型 6期权定价的离散模型 7B S公式的统计分析 1 1期权的基本概念 一 期权合约的定义期权是指合约买方 期权的买者 向卖方 期权的写者 支付一定的费用 称为 期权费 或 期权价格 买方在规定期限内 或约定日期 按事先约定的价格或执行价格向合约卖方购买或出售一定数量某种产品 或标的资产 的权利的契约 期权是一种金融衍生工具 2 1期权的基本概念 二 期权合约的种类按期权买者的权利划分 期权可分为看涨期权 CallOption 和看跌期权 PutOption 看涨 认购 期权 到期日时买方有购买的权利 卖方有出售的义务 交易者之所以买入看涨期权 是因为他预期标的资产的价格会在合约期限内上涨 如果判断正确 按协定价买入标的资产并以市价卖出 就可以赚取其差额 看跌 认沽 期权 到期日时买方有出售的权利 卖方有购买的义务 3 1期权的基本概念 按期权买者执行期权的时限划分 期权可分为欧式期权和美式期权 欧式期权 只能在期权到期日执行 美式期权 可以在有到期日和到期日之前的任何时间执行 修正的美式期权 百慕大期权或大西洋期权 可以在期权到期日之前的一系列规定日期执行 4 1期权的基本概念 按照期权合约的标的资产划分 金融期权合约可分为利率期权 货币期权 或称外汇期权 股价指数期权 股票期权以及金融期货期权 5 1期权的基本概念 三 期权的基本要素 1 这种期权能够买 对于看涨期权而言 或者卖 对于看跌期权而言 的对象 或者说 合约是关于哪种资产的合约 我们称这种资产为标的物 underlyingasset 以股票为标的物的期权 每份期权通常包括100份特定的股票 例如 持有一份以IBM公司股票为标的物的看涨期权 是一份可以买100份IBM公司股票的权利 6 1期权的基本概念 2 执行价格这个价格是执行期权合约时 可以以此价格购买标的物的价格 对于以IBM公司股票为标的物的看涨期权 如果执行价格为150美元 则在执行这种期权时 按每份股票150美元购买 7 1期权的基本概念 3 期权有效的时间区间由到期日来确定 时间区间可以是一天 一个星期 或者一年 以IBM公司股票为标的物的看涨期权 如果到期日为六个月 则在这六个月里 权利都是有效的 4 期权应该包括是否可以在到期日之前执行这种权利 如果在到期日之前的任何时间以及到期日都能执行 我们称这种期权为美式期权 如果只能在到期日执行 称为欧式期权 8 1期权的基本概念 四 期权的特征1 权利和义务的不对称性期权的买者有权利无义务 到期日可选择执行或不执行期权 卖方有配合买方执行期权的义务 作为给期权卖者承担义务的报酬 期权买者要支付给期权卖者一定的费用 称为期权费 Premium 或期权价格 OptionPrice 期权费视期权种类 期限 标的资产价格的易变程度不同而不同 9 1期权的基本概念 2 损失有限特性例1 A公司股票当前股价是40元 对于三月到期的看涨期权 如果目前市场价格是4元 则购买股票和股票期权的损益如下表 10 到期时的股价 元 买进股票投资为40元 买进看涨期权投资为4元 利润 利润率 利润 利润率 30 35 40 45 50 55 60 10 5 0 5 10 15 20 25 12 5 0 12 5 25 37 5 50 4 4 4 1 6 11 16 100 100 100 25 150 275 400 11 1期权的基本概念 3 杠杆性购入买入期权 设某股票S 38 K 40 C 4 t 3个月 则购入一份期权合约的支出是400 如果期权有效期内股票价格始终小于40 买入者亏损400 如果股票价格大于40 买入者开始收回投资 如果股票价格大于44 买入者开始盈利 如果股票价格升至48元 买入者盈利400元 而如果投资者直接买入股票 400元只能购入10 5股股票 每股获利10元 总计获利105元 另一方面 如果股票价格仅升至41元 规模股票可盈利31 5元 而购买买入期权则会发生亏损 二者的差距反映了期权的杠杆效应 12 2期权的损益 假设一种欧式看涨期权 它以某种股票为标的物 该股票在时间t的价格以表示 期权的执行价格为 到期日为 期权在时间t的价格为 13 期权卖方 期权的写者 看涨期权的损益 期权买方 14 期权的基本收益形式 看涨期权的买方收益K C S 标的资产价格 K 执行价格 C 看涨期权价格 15 看涨期权的卖方 收益CK标的资产价格 16 看跌期权的损益 对于欧式看跌期权而言 上述结果正好反过来 假设一种看跌期权 它以某种股票为标的物 该股票在时间t的价格以表示 期权的执行价格为 到期日为T 期权在时间t的价格为 17 看跌期权的损益 看跌期权的买方 看跌期权的卖方 18 看跌期权的买方 K P收益K标的资产价格 P不考虑期权价格R K S SK S 标的资产价格 K 执行价格 P 看跌期权价格 19 看跌期权的卖方 收益PK标的资产价格 K P 20 3B S公式的初步认识 既然期权的持有者获得的是权利而不需要承担什么义务 他就必须花钱购买这个权利 那么 公平的价格应该是多少 这是证券投资学研究的重要内容 21 无套利定价原理 定价原理 无套利定价原理 具有相同收益不同头寸的价格应该相同 在到期日现金流完全相同的两个组合 它们期初的现金流必定也完全相同 期权在到期日的执行与否是不确定的 这种不确定性使得在到期日的收益变得不确定 因而难于直接利用无套利原理对期权进行定价 22 克服困难不确定性 以便采用无套利原理对期权进行定价 二项式定价方法 布莱克 舒尔斯定价方法 蒙特卡罗模拟法 期权定价方法 23 影响期权价格的因素 距到期日的时间 距到期日的时间越长 美式期权的价格越高 因为期权价格发生有利于买方的机会越多 标的资产价格的稳定性 标的资产的价格波动越大 越不稳定 期权的价格越高 市场利率 市场利率越高 买入期权未来支付执行价的现值越低 其价值越高 卖出期权未来执行时得到的收入的现值越低 其价值也越低 24 执行价格 在标的资产到期日价格相同的条件下 执行价格越高 买入期权的价格越低 卖出期权的价格越高 标的资产价格 标的资产的市场价格越高 买入期权的价格越高 卖出期权的价格越低 现金股利的影响 当期权不受现金股利保护时 公司发放现金股利将降低股票买入期权的价值 提高股票卖出期权的价值 影响期权价格的因素 25 3B S公式的初步认识 本章的主要目的 如何确定以金融证券为标的物的欧式期权的价格 研究思路 价格是收益的现值不考虑期权的价格 欧式看涨期权的收益 其中 26 27 28 布 29 定价的公式 30 4金融中的一些重要参数 31 4金融中的一些重要参数 32 4金融中的一些重要参数 33 4金融中的一些重要参数 34 4金融中的一些重要参数 35 5期权定价的连续模型 Black Scholes和Merton发现了看涨期权定价公式 Scholes和Merton也因此获得1997年的诺贝尔经济学奖模型基本假设8个无风险利率已知 且为一个常数 不随时间变化 标的股票不支付红利期权为欧式期权 36 模型基本假设 无交易费用 股票市场 期权市场 资金借贷市场投资者可以自由借贷资金 且二者利率相等 均为无风险利率股票交易无限细分 投资者可以购买任意数量的标的股票对卖空没有任何限制标的资产为股票 其价格S的变化为几何布朗运动 37 期权是标的资产的衍生工具 其价格波动的来源就是标的资产价格的变化 期权价格受到标的资产价格的影响 因此期权定价使用的是相对定价法 即相对于证券价格的价格 因而要为期权定价首先必须研究证券价格 期权的价值正是来源于签订合约时 未来标的资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化 在现实中 资产价格总是随机变化的 需要了解其所遵循的随机过程 研究变量运动的随机过程 可以帮助我们了解在特定时刻 变量取值的概率分布情况 为什么研究证券价格变化的过程 38 证券价格的变化过程 目的 找到一个合适的随机过程表达式 来尽量准确地描述证券价格的变动过程 同时尽量实现数学处理上的简单性 基本假设 证券价格所遵循的随机过程 其中 S表示证券价格 表示证券在单位时间内以连续复利表示的期望收益率 又称预期收益率 2表示证券收益率单位时间的方差 表示证券收益率单位时间的标准差 简称证券价格的波动率 Volatility z遵循标准布朗运动 一般 和 的单位都是年 很显然 这是一个漂移率为 S 方差率为 2S2的伊藤过程 也被称为几何布朗运动 39 为什么证券价格可以用几何布朗运动表示 一般认同的 弱式效率市场假说 证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息 马尔可夫过程 只有变量的当前值才与未来的预测有关 变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关 几何布朗运动的随机项来源于维纳过程dz 具有马尔可夫性质 符合弱式假说 投资者感兴趣的不是股票价格S 而是独立于价格的收益率 投资者不是期望股票价格以一定的绝对价格增长 而是期望股票价格以一定的增长率在增长 因此需要用百分比收益率代替绝对的股票价格 几何布朗运动最终隐含的是 股票价格的连续复利收益率 而不是百分比收益率 为正态分布 股票价格为对数正态分布 这比较符合现实 40 几何布朗运动的深入分析 1 在很短的时间 t后 证券价格比率的变化值为 可见 在短时间内 具有正态分布特征其均值为 标准差为 方差为 41 几何布朗运动的深入分析 2 但是 在一个较长的时间T后 不再具有正态分布的性质 多期收益率的乘积问题因此 尽管 是短期内股票价格百分比收益率的标准差 但是在任意时间长度T后 这个收益率的标准差却不再是 股票价格的年波动率并不是一年内股票价格百分比收益率变化的标准差 42 几何布朗运动的深入分析 3 如果股票价格服从几何布朗运动 则可以利用Ito引理来推导证券价格自然对数lnS所遵循的随机过程 这个随机过程的特征 普通布朗运动 恒定的漂移率和恒定的方差率 在任意时间长度T之后 G的变化仍然服从正态分布 均值为 方差为 标准差仍然可以表示为 和时间长度平方根成正比 43 两个重要结论 1 1 几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分布令t时刻G的值为lnS T时刻G的值为lnST 其中S表示t时刻 当前时刻 的证券价格 ST表示T时刻 将来时刻 的证券价格 则在T t期间G的变化为 这意味着 进一步从正态分布的性质可以得到 44 两个重要结论 1 也就是说 证券价格对数服从正态分布 如果一个变量的自然对数服从正态分布 则称这个变量服从对数正态分布 这表明ST服从对数正态分布 这正好与 作为预期收益率的定义相符 45 两个重要结论 2 股票价格对数收益率服从正态分布 由于dG实际上就是连续复利的对数收益率 因此几何布朗运动实际上意味着对数收益率遵循普通布朗运动 对数收益率的变化服从正态分布 对数收益率的标准差与时间的平方根成比例 将t与T之间的连续复利年收益率定义为 则 46 结论 几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过程 47 参数的理解 几何布朗运动中的期望收益率 短时期内的期望值 根据资本资产定价原理 取决于该证券的系统性风险 无风险利率水平 以及市场的风险收益偏好 由于后者涉及主观因素 因此的决定本身就较复杂 然而幸运的是 我们将在下文证明 衍生证券的定价与标的资产的预期收益率是无关的 较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收益率几何平均的结果 而较短时间内的收益率则是算术平均的结果 48 参数的理解 是证券价格的年波动率 又是股票价格对数收益率的年标准差因此一般从历史的价格数据中计算出样本对数收益率的标准差 再对时间标准化 得到年标准差 即为波动率的估计值 一般来说 时间越近越好 时间窗口太长也不好 采用交易天数而不采用日历天数 49 5期权定价的连续模型 股票价格遵循几何布朗运动 表示证券价格 表示证券在单位时间内以连续复利计算的期望收益率 又称预期收益率 表示证券收益率单位时间的标准差 即证券价格的波动率 dz遵循标准布朗运动 50 伊藤引理 伊藤引理若已知的运动过程 利用伊藤引理能够推知函数的运动过程由于任何衍生品价格均为其标的资产价格及时间的函数 因而可利用伊藤引理推导衍生品价格的运动过程 51 伊藤引理 Ito 1951 设某随机变量的变动遵循伊藤过程 令为随机变量以及时间的函数 则的价格变动过程可以表示为 伊藤引理 52 2020 3 19 53 伊藤引理的推导 证明 将伊藤过程离散化 由维纳过程的性质可知 利用泰勒展开 忽略高阶段项 可以展开为 6 1 54 在连续时间下 即 因此 式6 1可以改写为 从而 伊藤引理的推导 55 伊藤引理的推导 56 由 6 2 可得 6 3 由 6 3 得到 6 4 伊藤引理的推导 57 由于 x2不呈现随机波动 所以 其期望值就收敛为真实值 即 当 t 0时 由 6 1 的改写式可得 伊藤引理的推导 58 伊藤引理的运用 股价运动是一种简单的伊藤过程 以股票为标的资产的衍生品价格f S t 其运动过程可通过伊藤引理得到 59 1 原理衍生品与标的资产 股票 价格不确定性的来源相同与二叉树期权定价模型的思想类似 我们通过构造股票与衍生品的组合来消除这种不确定性 Black Scholes微分方程 60 2 思路 由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种不确定性 dz 影响 若匹配适当的话 这种不确定性就可以相互抵消 布莱克和舒尔斯建立起一个包括一单位衍生证券空头和若干单位标的证券多头的投资组合 若数量适当的话 标的证券多头盈利 或亏损 总是会与衍生证券空头的亏损 或盈利 相抵消 因此在短时间内该投资组合是无风险的 那么 在无套利机会的情况下 该投资组合在短期内的收益率一定等于无风险利率 Black Scholes微分方程 61 3 B S微分方程的推导股票及衍生品的运动过程分别为 为消除不确定性 构造投资组合 衍生品 1 股票 Black Scholes微分方程 62 投资组合的价值为 投资组合的价值变动为 价值变动仅与时间dt有关 因此该组合成功消除了dz带来的不确定性 Black Scholes微分方程 63 根据无套利定价原理 组合收益率应等于无风险利率r 无套利机会 此即Black Scholes微分方程 Black Scholes微分方程 64 任意依赖于标的资产S的衍生品价格f应满足该方程衍生品的价格由微分方程的边界条件决定 例 欧式看涨期权的边界条件为 C 0 t 0C ST T max ST K 0 理论上通过解B S微分方程 可得买入期权的价格 Black Scholes微分方程 65 观察B S微分方程及欧式买入期权的边界条件发现 C S t 与S r t T 以及K有关 而与股票的期望收益率 无关 这说明欧式买入期权的价格与投资者的风险偏好无关 在对欧式买入期权定价时 可假设投资者是风险中性的 对所承担的风险不要求额外回报 所有证券的期望收益率等于无风险利率 Black Scholes微分方程 66 假设股价期望收益率为无风险利率r 则 欧式买入期权到期时的期望收益为 将该期望收益以无风险利率折现 得到欧式买入期权价格 Black Scholes微分方程 67 对数股票价格的分布为 得 此即Black Scholes期权定价公式 其中 Black Scholes微分方程 68 Black Scholes微分方程 69 风险中性定价原理 从BS微分方程中我们可以发现 衍生证券的价值决定公式中出现的变量为标的证券当前市价 S 时间 t 证券价格的波动率 和无风险利率r 它们全都是客观变量 独立于主观变量 风险收益偏好 而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中 由此我们可以利用BS公式得到的结论 作出一个可以大大简化我们的工作的风险中性假设 在对衍生证券定价时 所有投资者都是风险中性的 70 风险中性定价原理 所谓风险中性 即无论实际风险如何 投资者都只要求无风险利率回报 风险中性假设的结果 我们进入了一个风险中性世界所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值 尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克 舒尔斯微分方程而作出的人为假定 但BS发现 通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况 也适用于投资者厌恶风险的所有情况 也就是说 我们在风险中性世界中得到的期权结论 适合于现实世界 71 AnExample 假设一种不支付红利股票目前的市价为10元 我们知道在3个月后 该股票价格要么是11元 要么是9元 现在我们要找出一份3个月期协议价格为10 5元的该股票欧式看涨期权的价值 由于欧式期权不会提前执行 其价值取决于3个月后股票的市价 若3个月后该股票价格等于11元 则该期权价值为0 5元 若3个月后该股票价格等于9元 则该期权价值为0 为了找出该期权的价值 我们可构建一个由一单位看涨期权空头和 单位的标的股票多头组成的组合 若3个月后该股票价格等于11元时 该组合价值等于 11 0 5 元 若3个月后该股票价格等于9元时 该组合价值等于9元 为了使该组合价值处于无风险状态 我们应选择适当的值 使3个月后该组合的价值不变 这意味着 11 0 5 9 0 25因此 一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0 25股标的股票 无论3个月后股票价格等于11元还是9元 该组合价值都将等于2 25元 72 在没有套利机会情况下 无风险组合只能获得无风险利率 假设现在的无风险年利率等于10 则该组合的现值应为 2 25e 0 1 0 25 2 19由于该组合中有一单位看涨期权空头和0 25单位股票多头 而目前股票市场价格为10元 因此 10 0 25 f 2 19 f 0 31这就是说 该看涨期权的价值应为0 31元 否则就会存在无风险套利机会 73 从该例子可以看出 在确定期权价值时 我们并不需要知道股票价格上涨到11元的概率和下降到9元的概率 但这并不意味着概率可以随心所欲地给定 事实上 只要股票的预期收益率给定 股票上升和下降的概率也就确定了 例如 在风险中性世界中 无风险利率为10 则股票上升的概率P可以通过下式来求 10 e 0 1 0 25 11p 9 1 p P 62 66 又如 如果在现实世界中股票的预期收益率为15 则股票的上升概率可以通过下式来求 10 e 0 15 0 25 11p 9 1 p P 69 11 可见 投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率 而股票的预期收益率决定了股票升跌的概率 然而 无论投资者厌恶风险程度如何 从而无论该股票上升或下降的概率如何 该期权的价值都等于0 31元 74 两个重要结论 股票价格服从对数正态分布风险中性定价原理 75 如何理解B S期权定价公式 1 可看作证券或无价值看涨期权的多头 可看作K份现金或无价值看涨期权的多头 2 可以证明 为构造一份欧式看涨期权 需持有份证券多头 以及卖空数量为的现金 76 Black Scholes期权定价公式用于不支付股利的欧式看涨期权的定价 通过Call Put平价公式可计算欧式看跌期权的价值 注意 该公式只在一定的假设条件下成立 如市场完美 无税 无交易成本 资产无限可分 允许卖空 无风险利率保持不变 股价遵循几何布朗运动等 如何理解B S期权定价公式 77 Black Scholes公式的运用 假设一种不支付红利股票目前的市价为42元 某投资者购买一份以该股票为标的资产的欧式看涨期权 6个月后到期 执行价格为40元 假设该股票年波动率为20 6月期国库券年利率为10 问 该份期权价格应为多少元 解 由上述条件知 S 42 K 40 T t 0 5 0 2 r 0 1 78 Black Scholes公式的运用 79 根据Call Put平价公式有 计算得到欧式看跌期权价格为 P 0 81 元 Black Scholes公式的运用 80 Black Scholes期权定价法的优缺点 能够得到套期保值参数和杠杆效应的解析表达式 从而为衍生资产的交易策略提供较清晰的定量结论解析解本身没有误差只能给出欧式期权的解析解 而且 该方法也难以处理期权价格依赖于状态变量历史路径及其它的一些较复杂的情况 81 6期权定价的离散模型 把整个持有期分成若干个时间区间 并假定在每个时间区间内股票的价格只有上升和下降两种状态 且价格上升和下降的百分比也已知 这样可以得出股票在期权到期日有限个确定的价格状态 从而克服了不确定性 期权的价格就可以利用无套利原理从这有限个确定的股票价格 期权的收益 来进行估计 时间区间分得越小 在到期日确定的股票价格状态越多 计算越复杂 所得期权价格估计越接近于真实的价格 82 基本假设 假设1 标的股票不支付红利假设2 证券市场是无摩擦的和完全竞争的 且不存在套利机会 83 标的股票的价格服从二项分布产生的过程 图6 1一期二项式生成过程 看涨期权的简单二项模型 84 这里 股票现在的价格 股票价格上涨的概率 一期的无风险利率 股票价格上涨的幅度 股票价格 下跌的幅度 85 例子 注 对的假设 在这个假设之下 不管经过多少期 股票的价格永远不会跌到零以下 但是 对股票价格上涨的界没有限制 86 每期的无风险利率为 对的限制为 这是无套利条件 直观地可以看出 无论是 这时 无风险利率总比股票的风险回报率高 还是 这时 无风险利率总比股票的风险回报率低 都存在套利机会 不失一般性 假设 87 以股票为标的物的欧式看涨期权 执行价格为 到期日为一期 它的现价以表示 该期权在到期日的支付如下图图6 2欧式看涨期权的支付 88 构造无风险套期保值证券组合 以价格买一份股票 写份以股票为标的物的看涨期权 称为套期保值比率 下图说明了这个套期保值证券组合的到期支付 如果这个套期保值证券组合在每种状态下的到期支付都相等 则这个证券组合是无风险的 图6 3套期保值证券组合的到期支付 89 让支付相等 得到 从上式中解出看涨期权的份数 6 5 把例子里的数字代入 得到 3 53因此 无风险套期保值证券组合包括买一份股票 写3 53份看涨期权 在两个状态下的支付相等 如下表 不确定状态证券组合支付好状态1 2 20元 3 53 3元 13 40元坏状态0 67 20元 3 53 0元 13 40元 90 因为套期保值证券组合是无风险的 它的终端支付应该等于它的现价乘以 即 从这个式子得出期权的价格 设则 6 6 91 这里定义的总是大于0而小于1 具有概率的性质 我们称之为套期保值概率 从的定义可以看出 无套利条件成立当且仅当大于0而小于1 即 保证是概率 92 是当市场达到均衡时 风险中性者所认为的值 即 股票价格上涨的概率 作为风险中性者 投资者仅仅需要投资在风险股票上的回报率为无风险利率 从中解出值 得到