数学物理方法姚端正CH7作业解答.pdf

1 数理方法数理方法 CH7 作业解答作业解答 P119 习题 习题 7 1 1 确定下列初值问题的解 1 0 2 xxtt uau 0 0 xu 1 0 xut 解 由AlembertD 公式 该问题的解为 tatxatx a d a txu atx atx 2 1 1 2 1 3 0 2 xxtt uau 3 0 xxu xxut 0 解 由AlembertD 公式 该问题的解为 txxtaxd a atxatxtxu atx atx 22333 3 2 1 2 1 2 求解无界弦的自由振动 设弦的初始位移为 x 初始速度为 xa 解 由题意 该问题的定解问题为 0 2 xxtt uau 0 0 xu 0 xaxut 方程0 2 xxtt uau的通解为 21 atxfatxftxu 将初始条件代入通解中 得到 21 xxfxf 21 xaxafxaf 即 21 xxfxf 联立解得 0 2 1 xxf xf 所以 该问题的特解为 21 atxatxfatxftxu 3 求解弦振动方程的古沙问题 xxxu xxxu uu xxtt 解 方程 xxtt uu 的通解为 21 txftxftxu 将 式代入定解条件 得 2 0 21 xxff x x 2 将 式代入定解条件 得 0 2 21 xfxf 记yx 2 则 两式记为 2 0 21 y yff 2 0 21 y fyf 由 两式解得 0 2 21 f y yf 0 2 12 f y yf 所以 0 0 2 2 1221 ff txtx txftxftxu 在 式中 令0 y 得 0 0 0 21 ff 则得 0 0 0 21 ff 所以 0 2 2 21 txtx txftxftxu 或者 在 式中 令0 y 得 0 0 0 12 ff 则得 0 0 0 21 ff 所以结果也可写为 0 2 2 txtx txu P124 1 求解定解问题 1 0 0 0 0 2 xu xu atxuau t xxtt 解 由冲量原理 原定解问题可转化为以下定解问题 axxv xv vav t xxtt 0 0 2 由AlembertD 公式 该问题的解为 2 2 1 tax tax atxaxtda a txv 则由叠加原理 原定解问题的解为 23 0 2 0 2 1 6 1 xtatdatxaxtdtxvtxu tt 3 2 0 0 0 0 8 xu xu uu y yyxx 解 由冲量原理 原定解问题可转化为以下定解问题 8 0 0 xv xv vv y xxyy 由AlembertD 公式 该问题的解为 ydyxv yax yax 888 2 1 则由叠加原理 原定解问题的解为 2 00 4 88 ydydyxvyxu yy 2 求解下列定解问题 1 xxu xu xtuu t xxtt sin 0 0 0 sin 解 令 uuu xxu xu uu t xxtt sin 0 0 0 0 0 0 0 sin xu xu xtuu t xxtt 由AlembertD 公式 txdu tx tx sinsinsin 2 1 由无界纯强迫振动解的公式 得 ttx tx t dtxtxddu 0 0 cos cos 2 1 sin 2 1 txxtdtxdtx tt sinsinsin sin sin sin sin 00 上式最后一步用了分部积分法 则xtuuusin 4 3 3 0 0 0 2 xu xu xuau t xxtt 解 令 uuu 3 0 0 0 0 2 xu xu uau t xxtt 0 0 0 0 2 xu xu xuau t xxtt 由AlembertD 公式 td a u atx atx 33 2 1 由无界纯强迫振动解