20110517数学作业解答.doc

20110517数学作业(选做)1已知：向量，O为坐标原点，动点M满足：.(1)求动点 M 的轨迹 C 的方程；（2）已知直线、都过点，且，、与轨迹C分别交于点D、E，试探究是否存在这样的直线？使得BDE是等腰直角三角形.若存在，指出这样的直线共有几组(无需求出直线的方程)；若不存在，请说明理由.2已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、 三点. （1）求椭圆的方程；（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，当内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在定直线上，并求该直线的方程3. 设等比数列的前n项和为Sn，已知（1）求数列通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为的等差数列。（）求证：（）在数列中是否存在三项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由。4. 已知函数f(x)=m(x1)22x+3+lnx（m1）(1)当时，求函数f(x)在区间1，3上的极小值；（2）求证：函数f(x)存在单调递减区间a，b；（3）是否存在实数m，使曲线C：y=f(x)在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值，若不存在，说明理由20110517数学作业(选做)1已知：向量，O为坐标原点，动点M满足：.(1)求动点 M 的轨迹 C 的方程；（2）已知直线、都过点，且，、与轨迹C分别交于点D、E，试探究是否存在这样的直线？使得BDE是等腰直角三角形.若存在，指出这样的直线共有几组(无需求出直线的方程)；若不存在，请说明理由.2已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、 三点. （1）求椭圆的方程；（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，当内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在定直线上，并求该直线的方程3. 设等比数列的前n项和为Sn，已知（1）求数列通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为的等差数列。（）求证：（）在数列中是否存在三项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由。4. 已知函数f(x)=m(x1)22x+3+lnx（m1）(1)当时，求函数f(x)在区间1，3上的极小值；（2）求证：函数f(x)存在单调递减区间a，b；（3）是否存在实数m，使曲线C：y=f(x)在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值，若不存在，说明理由参考解答1(1)解法：设- 1分则=- 4分动点M 的轨迹为以、为焦点，长轴长为 4的椭圆-5分由 - 6分动点M 的轨迹 C的方程为-7分解法：设点，则-2分- 4分点 M 的轨迹C是以为焦点，长轴长为 4 的椭圆-5分-6分动点M 的轨迹 C的方程为-7分 (2)由（1）知，轨迹C是椭圆，点是它的上顶点， 设满足条件的直线、存在，直线的方程为-则直线的方程为，-8分将代入椭圆方程并整理得：，可得，则.-9分将代入椭圆方程并整理得：，可得，则.-10分由BDE是等腰直角三角形得-12分或-13分方程的根判别式，即方程有两个不相等的实根，且不为1.方程有三个互不相等的实根.即满足条件的直线、存在，共有3组-14分（注：只答存在1组，给2分）2解：（1）设椭圆方程为将、代入椭圆E的方程，得解得. 椭圆的方程 （4分）（2），设边上的高为 当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为 设的内切圆的半径为，因为的周长为定值6所以， 所以的最大值为所以内切圆圆心的坐标为 （10分）（3）将直线代入椭圆的方程并整理得设直线与椭圆的交点，由根系数的关系，得直线的方程为：，它与直线的交点坐标为同理可求得直线与直线的交点坐标为下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：，因此结论成立综上可知直线与直线的交点在直线上（16分)3. 4. 解：()（x0）当时，令，得x1=2，x2=f(x)，的变化情况如下表：x(0，)（，2）2（2，+）+00+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，当x2时，函数f(x)取到极小值，且极小值为f(2)=ln2 4分（）令0，得mx2(m+2)x+1=0 （*）因为(m+2)24m=m2+40，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b（a0，b0，即方程（*）有两个不等的正根，因此1时，令0，得x1=1，x2=，则x2（0，1），易得g(x)在x1处取到极小值，在x2处取到极大值所以g(x2)g