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随机信号作为滤波器的输入 p 107 111 传统滤波器 低通 高通 带通 带阻对信号的不同频率分量进行取舍传统滤波器在很多应用场合不符合实际需要 1 例子 信道均衡器设计 通过对接收信号的线性组合 从x恢复出y 更一般化的信号估计问题 基于接收信号 构造一定结构的估计器 从中恢复出期望的信号 又称信号估计问题 2 例子 信道均衡器设计 通过对接收信号不同时刻的线性组合 从x恢复出y 3 滤波器设计的步骤 确定估计器的实现结构 IIR FIR预先假设信号的统计特性 输入 噪声等 独立同分布输入确定性能准则 目标函数 及其参数确定优化方法 估计器系数的求解 4 最小均方误差准则 实现最佳滤波的常用准则 5 线性均方误差估计 一般化问题模型 对非时变系统 注意和书 6 2 1 6 2 4 的比较 6 误差性能函数 7 滤波器系数求解 原则 与6 2 11一致 8 正交性原理 随机矢量的内积定义为 正交 内积等于0 对于最小均方误差估计 当实现最佳估计时 正交性原理 当实现最佳估计时 估计误差与所采用的观测信号正交可以证明 正交性原理和最小均方误差是等价的 9 MMSE参数估计主要结论 仅依赖于期望信号和输入数据性能曲面是滤波器参数的二次函数 函数曲面是凸曲面 且存在唯一全局最小点 在偏离最佳估计系数时 所造成的超量误差只决定于输入数据的相关矩阵 正交性原理提供滤波器参数估计的直观解释和参数估计途径滤波器参数也可由相关矩阵的特征值和特征向量计算得到 10 平稳过程的最佳有限冲激响应滤波 考虑一般线性最优估计问题中只有一路观测信号 利用信号不同时刻值的线性组合实现信号估计 考虑非时变问题 基于最小均方准则 可以得到 11 平稳过程的最佳有限冲激响应滤波 频率域解释 维纳 霍夫方程 基于正交性原理 12 线性预测 13 预测误差和观测值相互正交 是最佳线性预测的充要条件 14 线性预测与AR模型的关系假设信号是一个p阶AR模型 对其应用一个p阶预测器 得到预测误差为 即预测误差是白噪声 预测过程又称白化 whiten AR模型白化滤波线性预测 16 后向预测 利用某一时刻以后p时刻的数据的线性组合来预测该时刻的值 17 相关矩阵按行逆序 后向预测方程 再按列逆序 18 线性预测的基本性质 对平稳信号 前向预测算子是最小相位的 后向预测算子是最大相位线性预测系数可由自相关矩阵的特征矢量和特征值求解 预测误差可由相关矩阵的行列式求解 19 线性预测应用例子 信道均衡 20 线性预测应用例子 信道均衡 规则方程 输入信号为零均值 独立同分布信号信道传输矩阵第m列 21 最小均方误差 22 非因果维纳滤波器 双边z变换 不一定是因果系统 物理不可实现 平稳过程的最佳无限冲激响应滤波 23 因果IIR维纳滤波器 要求 H n 为单边序列 右边序列 极点在单位圆内 平稳过程的最佳无限冲激响应滤波 维纳 霍夫方程 24 一种简单情况 滤波器输入为白噪声 求单边z变换 平稳过程的因果最佳无限冲激响应滤波 维纳 霍夫方程 25 当x n 是规则过程时 白化滤波器一定存在 一般情况 先设计一个滤波器将输入信号白化 平稳过程的因果最佳无限冲激响应滤波 H z 是可逆的最小相位系统 w n 可以看成是随机信号下x