高等数学下 复旦大学出版 习题四.doc

习题四1. 利用定义计算下列定积分：（1） 解：将区间a, bn等分，分点为记每个小区间长度为取则得和式 由定积分定义得 (2) 解：将区间0, 1 n等分，分点为记每个小区间长度取则和式2. 用定积分的几何意义求下列积分值:；解:由几何意义可知,该定积分的值等于由x轴、直线x=1、y=2x所围成的三角形的面积，故原式=1.解：由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为R的圆在第一象限内的面积，故原式=.3. 证明下列不等式：；证明：当时，即由积分的保序性知：即 (2) 证明：当时，由积分的保序性知：即4. 证明：（1） 证明：当时，于是而由夹逼准则知：(2) 证明：由中值定理得其中故5.计算下列定积分：解：原式.;解：原式,其中解：原式解：原式解：原式6. 计算下列导数：解：原式.解：原式7. 求由参数式所确定的函数y对x的导数.解：8. 求由方程所确定的隐函数的导数.解：方程两边对x求导，有又 故 .9. 利用定积分概念求下列极限：解：原式解：原式10. 求下列极限：解：原式解：原式11. a, b, c取何实数值才能使 成立.解：因为时，而该极限又存在，故b=0.用洛必达法则，有所以 或 .12. 利用基本积分公式及性质求下列积分：;解：原式.；解：原式=解：原式=3解：原式=;解：原式=解：原式=解：原式=.解：原式=.解：原式=.解：原式=解：原式=;解：原式=解：原式=解：原式=.；解：原式=.;解：原式=.;解：原式=.解：原式=13. 一平面曲线过点（1，0），且曲线上任一点（x, y）处的切线斜率为2x2，求该曲线方程.解：依题意知：两边积分，有又x=1时，y=0代入上式得c=1，故所求曲线方程为.14. （略）.15. 利用换元法求下列积分：;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=；解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=.;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=.;解：原式=.;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式又故上式;解：原式(28) 解：原式,又故上式=.;解：原式,又, 所以,故上式.解：原式 + = t + c1 = ln |sin t+cos t| + c2故16. 用分部积分法求下列不定积分：;解：原式=;解：原式=;解：原式=.;解：原式=;解：原式=.;解：原式=;解：原式=;解：原式=.;解：原式=.解：原式又 所以 故 17. 求下列不定积分：;解：原式=;解：原式=.;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式;解：原式=;解：原式=又 故原式=.18. 求下列不定积分，并用求导方法验证其结果正确否：;解：原式=验证：所以，结论成立.;解：原式=验证：所以，结论成立.;解：原式=.验证：所以，结论正确.;解：原式=验证： 所以，结论正确.;解： 所以，原式=验证： 故结论成立.;解：原式=验证：.故结论成立.;解：原式=验证： 所以，结论成立.;解：原式=验证：所以，原式成立.;解：原式=验证：故结论成立. (n 1，且为正整数).解：故 验证： 故结论成立.19. 求不定积分.解： 故原式=又由函数的连续性，可知：所以 20. 计算下列积分：;解：原式;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解： 所以，原式=.;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式;解：原式=.解：原式=21. 计算下列积分（n为正整数）：（1） 解：令,当x=0时t=0，当x=1时t=,由第四章第五节例8知 (2) 解：由递推公式 可得 22. 证明下列等式： (a为正常数)；证明：左右所以，等式成立.(2)若，则.证明：左.所以，等式成立.23. 利用被积函数奇偶性计算下列积分值（其中a为正常数）(1) 解：因为a, a上的奇函数，故 ;解：因为即被积函数为奇函数，所以原式=0.;解：因为为奇函数，故 原式=.解：因为是奇函数，故原式=24. 利用习题22(2)证明：,并由此计算 (a为正常数)证明：由习题22(2)可知又 故等式成立.25. 已知, 求.解：原式=26. 用定义判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：;解：原式=解：原式= (n为正整数)解：原式=;解：原式=;解：原式=.解：原式=27. 讨论下列广义积分的敛散性：;解：原式=故该广义积分当时收敛；时发散.解：原式=综上所述，当k1时，该广义积分收敛，否则发散.28. 已知，求：解：(1)原式=解：29. 已知,其中 求c.解：所以.30. 证明：无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2.证明：如果，那么对于(使),存在x0，当时 即 成立，显