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2008年华中科技大学招收硕士研究生.入学考试自命题试题数学分析一、 求极限 解: 一方面显然另一方面，且由迫敛性可知。注：可用如下两种方式证明1） 令，则即，从而2） 由有。二、证明为某个函数的全微分，并求它的原函数。证明：记，则，是某个函数的全微分设原函数为，则三、设是空间区域且不包含原点，其边界为封闭光滑曲面：用表示的单位外法向量，和，证明：证明：设的方向余弦为。因为的方向余弦为，所以，由于原点不在空间区域，根据高斯公式，有注：当原点也在该区域时，结论也成立，详细参考课本P296第8题答案。四、设为连续函数，证明：证明：记，由于为连续函数，故在上连续，从而在上可积。而对每个，存在，从而累次积分也存在，同理也存在。于是即五、设，证明收敛并求其极限。证明：一方面由归纳法易知，即有界。另一方面于是单调，从而收敛。设，则解得六、设反常积分绝对收敛且，证明收敛。证明：由于，故，当时，此时再由绝对收敛知，对，有取，则故收敛。注：这里还差0不是 的瑕点这一条件，若不然讨论由下题可知绝对收敛，但发散。这是因为发散；收敛。七、讨论反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散），其中为常数。解：记1） 先讨论（可以用瑕积分收敛判别的推论）由可知，当时，是定积分，只需考虑当时，由收敛知收敛，且绝对收敛；当时，由发散知发散。2） 再讨论当时，由收敛知绝对收敛当时，条件收敛，这是由于对任意，有，而单调趋于0，由狄利克雷判别法知收敛。另外，其中满足狄利克雷条件，是收敛的。但是发散的。所以当时，是条件收敛的。综上所述， 当时，条件收敛；当时，绝对收敛；当时，发散。八、将函数展开为余弦级数。解：对作偶式周期延拓，则的傅里叶系数为：即，（）九、证明函数在上可微证明：对，收敛记，则。与在上均连续由于对，因此即在上收敛故在上可微且十、设在上二阶可
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