第一轮复习自己整理绝对经典2016轨迹方程--第一轮.doc

轨迹方程常用方法总结 轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。1直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。例1:已知线段，直线相交于，且它们的斜率之积是，求点 的轨迹方程。 解：以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立坐标系，则，设点的坐标为，则直线的斜率，直线的斜率 ,由已知有，化简，整理得点的轨迹方程为例2：过点任作互相垂直的两直线和，分别交轴于点，求线段中点的轨迹方程。 解：设点坐标为，由中点坐标公式及在轴上得，化简得当时，此时的中点它也满足方程，所以中点的轨迹方程为。练习：1平面内动点到点的距离与到直线的距离之比为2，则点的轨迹方程是 。2.动点p与定点A(1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为1，则p点的轨迹方程是： （ ）A.x2+y2=1 B.x2+y2=1(x1） C.x2+y2=1(x1） D.y=3.一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是（ ） A.x2+y2=2(x+y) B.x2+y2=2|x+y| C.x2+y2=2(|x|+|y|) D.x2+y2=2(xy)4.动点P到直线x=1的距离与它到点A（4，0）的距离之比为2，则P点的轨迹是：（ ） A.中心在原点的椭圆 B.中心在（5，0）的椭圆C.中点在原点的双曲线 D.中心在（5，0）的双曲线5.已知圆x2+y2=4，过A（4，0）作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程是（ ）A、(x2)2+y2=4 B、(x2)2+y2=4(0x1)C、(x1)2+y2=4 D、(x1)2+y2=4(0x1)2定义法 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。例3：若为的两顶点，和两边上的中线长之和是，则的重心轨迹方程是_解：设的重心为，则由和两边上的中线长之和是可得，而点为定点，所以点的轨迹为以 为焦点的椭圆。所以由可得，故的重心轨迹方程是例4：动圆过定点，且与圆相切，求动圆圆心轨迹方程。解：根据题意，说明点到定点的距离之差的绝对值为定值，故点的轨迹是双曲线。 ， 故动圆圆心的轨迹方程为练习：1.方程表示的曲线是（ ） A椭圆 B双曲线 C线段 D抛物线2.已知圆C：及一点P（3，0），求过点P且与已知圆内切的圆的圆心M的轨迹方程3.若一动圆与两圆x2+y2=1, x2+y28x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为（ ） A.抛物线 B.圆 C.双曲线的一支 D.椭圆4.点M到F（3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M的轨迹方程是（ ） A.y2=12x B.y2=12x(x0) C.y2=6x D.y2=6x(x0)3.相关点法(代入法)用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标（x0，y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法相关点法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程：某个动点在已知方程的曲线上移动；另一个动点随的变化而变化；在变化过程中和满足一定的规律。例5:已知A（2，0），B，点C在直线上移动，求ABC重心G的轨迹方程。分析：重心G的运动是由点C在直线上运动引起的，因而设G（x,y），再用 表示出点C的坐标，就可以建立起点G的轨迹方程.例6：曲线x2+4y2=4关于点M（3，5）对称的曲线方程为 例7：已知是以为焦点的双曲线上的动点，求的重心 的轨迹方程。 解：设 重心，点 ，因为，则有， 故代入 ，得所求轨迹方程例8：从双曲线上一点引直线的垂线，垂足为，求线段的中点的轨迹方程分析：从题意看动点的相关点是，在双曲线上运动，所以本题适合用相关点法。解：设动点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为在直线上， 又垂直于直线，即由解得 又点在双曲线上，代入，得动点的轨迹方程为练习：1.设圆，过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程.2.已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BPPA=12，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程3.从定点A（0，4），连接双曲线上任一点Q，若，求点P的轨迹方程。4.已知ABC，A(-2，0)、B(0，-2)，第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动，求ABC的重心的轨迹方程4.点差法 圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程。例9：椭圆中,过的弦恰被点平分,则该弦所在直线方程为_解：设过点的直线交椭圆于、，则有 可得，而为线段的中点，故有，所以，即。所以所求直线方程为化简可得练习：1.已知以为圆心的圆与椭圆交于、两点，求弦的中点的轨迹方程。2.抛物线焦点弦的中点轨迹方程是 3.动圆与x轴相切，且被直线y=x所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 4.经过抛物线y2=4x的焦点的弦中点轨迹方程是 5.倾斜角为的直线交椭圆+y2=1于A、B两点，则线段AB中点的轨迹方程是 5.参数法 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。例10：过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程. 解：设，直线的斜率为，则直线的斜率为.直线OA的方程为，由解得，即，同理可得.由中点坐标公式，得，消去，得，此即点的轨迹方程.6交轨法 若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。例11：已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，、是椭圆长轴的两个端点，求直线和的交点的轨迹方程。解1:(利用点的坐标作参数)令，则，而.设与的交点为，因为共线，所以 因为共线，所以，两式相乘得， 而，即代入，得，即交点的轨迹方程为解2: (利用角作参数)设，则所以 , 两式相乘消去即可得所求的点的轨迹方程为 。总结归纳1要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围由曲线和方程的概念可知