课时跟踪检测 (四十六) 空间角.doc

课时跟踪检测 (四十六)空间角一保高考，全练题型做到高考达标1如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60(1)求证：BD平面PAC(2)若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD又因为PA平面ABCD所以PABD因为PAACA，所以BD平面PAC(2)设ACBDO因为BAD60，PAAB2，所以BO1，AOCO如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则P(0，2)，A(0，0)，B(1,0,0)，C(0，0)所以(1，2)，(0,2，0)，设PB与AC所成角为，则cos 2如图，已知在六面体ABCDEF中，四边形ABCD与四边形DBFE均为菱形，且ABBDDF，AFCF(1)判断直线CF与平面ADE的位置关系，并给予证明；(2)求直线FA与平面FBC所成角的余弦值解：(1)直线CF平面ADE证明如下：因为四边形ABCD为菱形，所以BCAD因为AD平面ADE，BC平面ADE，所以BC平面ADE同理可证BF平面ADE又BCBFB，所以平面ADE平面BCF因为CF平面BCF，所以直线CF平面ADE(2)如图，连接AC，设ACBDO，连接FO，因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD因为AFCF，O为AC的中点，所以FOAC因为四边形DBFE是菱形，且BDDF，所以DBF为等边三角形因为O为BD的中点，所以FOBD又ACBDO，所以FO平面ABCD所以OA，OB，OF两两垂直以O为坐标原点，OA，OB，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设AB2，则BD2，OB1，OAOF，所以O(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(，0,0)，F(0，0，)，D(0，1,0)，所以(，1,0)，(0，1，)，设平面FBC的法向量为n(x，y，z)，则有所以取y，得n(1，1)为平面FBC的一个法向量又(，0，)，设直线FA与平面FBC所成的角为，则sin |cos，n|因为090，所以cos 即直线FA与平面FBC所成角的余弦值为3(2016兰州市实战考试)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，PAPB，O为AB的中点，ODPC(1)求证：OCPD；(2)若PD与平面PAB所成的角为30，求二面角DPCB的余弦值解：(1)证明：连接OP，PAPB，O为AB的中点，OPAB侧面PAB底面ABCD，OP平面ABCD，OPOD，OPOCODPC，OPPCP，OD平面OPC，ODOC，又OPOC，OPODO，OC平面OPD，OCPD(2)取CD的中点E，以O为原点，OE，OB，OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz在矩形ABCD中，由(1)知ODOC，AB2AD，不妨设AD1，则AB2侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，DA平面PAB，CB平面PAB，DPACPB，DPA为直线PD与平面PAB所成的角，DPA30，CPB30，PAPB，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(1，1,0)，P(0,0，)，从而(1,1，)，(0，2,0)，(0,1，)设平面PCD的法向量为n1(x1，y1，z1)，由得可取n1(，0,1)设平面PCB的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，由得可取n2(0，1)于是cos n1，n2，二面角DPCB的余弦值为4(2017沈阳市教学质量监测)如图，在长方体AC1中，ADAB2，AA11，E为D1C1的中点(1)在所给图中画出平面ABD1与平面B1EC的交线(不必说明理由)；(2)证明：BD1平面B1EC；(3)求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值解：(1)连接BC1交B1C于M，连接ME，则直线ME即为平面ABD1与平面B1EC的交线，如图所示(2)证明：在长方体AC1中，DA，DC，DD1两两垂直，于是以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，因为ADAB2，AA11，所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，D1(0，0,1)，B(2,2,0)，B1(2,2,1)，C(0,2,0)，E(0,1,1)所以(2，2,1)，(2,0,1)，(0，1,1)，设平面B1EC的法向量为m(x，y，z)，所以m，m，从而有，即不妨令x1，得到平面B1EC的一个法向量为m(1,2,2)，而m2420，所以m，又因为BD1平面B1EC，所以BD1平面B1EC(3)由(2)知(0，2,0)，(2，2,1)，设平面ABD1的法向量为n(x1，y1，z1)，所以n，n，从而有，即不妨令x11，得到平面ABD1的一个法向量为n(1,0,2)，因为cosm，n，所以平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值为二上台阶，自主选做志在冲刺名校如图1，已知正三角形ABC，以AB，AC为边在同一平面内向外作正三角形ABE与ACD，F为CD中点，分别沿AB，AF将平面ABE，平面ADF折成直二面角，连接EC，CD，如图2所示(1)求证：CD平面ABE；(2)求二面角EACB的余弦值解：(1)证明：取AB的中点G，连接EG，则EGAB，由题意知二面角CABE为直二面角，EG平面ABCFF为CD的中点，ACAD，AFFC，AFFD又二面角CAFD为直二面角，DF平面ABCF，DFEG由题意知BACACF60，CFAB，又DFCFF，EGABG，平面CDF平面ABE，又CD平面DCF，CD平面ABE(2)连接GC，由于ACBC，所以GCAB于点G，以G为坐标原点，GB，GC，GE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设ABC的边长为2，GEGC，则G(0,0,0)，C(0，0)，A(1,0,0)，E(0,0，)，