机械优化设计第五章PPT课件.ppt

5 1概述 约束最优化问题的数学模型是 s t 5 1 机械优化设计问题和一般工程实际优化问题绝大多数属于约束非线性规划问题 根据求解的方式不同 可分为直接法和间接法两大类 第五章约束最优化方法 1 直接法是直接用原来的目标函数限定在可行域内进行搜索 且在搜索过程中一步一步地降低目标函数值 直到求出在可行域内的一个最优解 如随机方向法等 间接法是将约束最优化问题 通过变换转为无约束最优化问题 然后采用无约束最优化方法得出最优解 如惩罚函数法等 2 5 2惩罚函数法 一 基本原理 目的 将有约束优化问题转化为无约束优化问题来解决 方法 以原目标函数和加权的约束函数共同构成一个新的目标函数 x r1 r2 成为无约束优化问题 通过不断调整加权因子 产生一系列 函数的极小点序列x k r1 k r2 k k 0 1 2 逐渐收敛到原目标函数的约束最优解 新目标函数 3 新目标函数 其中 惩罚项 惩罚项的值恒为非负 加权因子 即惩罚因子 r1 r2 函数的极小点序列x k r1 k r2 k k 0 1 2 其收敛必须满足 无约束优化问题 4 由此表明惩罚函数法是用惩罚函数去逼近原目标函数f x 的一种函数逼近过程 其总体求解过程是按一定的法则不断调整罚因子的值 构成一系列的无约束优化问题 求得无约束最优点序列 用这个最优点序列不断逼近原约束目标函数的最优点 因此 惩罚函数罚又称序列无约束最小化方法 简称SUMT法 根据迭代过程是否在可行域内进行 惩罚函数法又分为外点惩罚函数法 内点惩罚函数法和混合惩罚函数法三种 5 一 基本思想 内点法将新目标函数 x r 构筑在可行域D内 随着惩罚因子r k 的不断递减 生成一系列新目标函数 xk r k 在可行域内逐步迭代 产生的极值点xk r k 序列从可行域内部趋向原目标函数的约束最优点x 内点惩罚函数法只能用于求解不等式约束的优化问题 X1 X2 X 例 求下述约束优化问题的最优点 min f x xx R1s tg x 1 x 0 内点惩罚函数法 6 式中 惩罚因子是一个递减的正值数列 即 降低系数c 0 c 1 或称为障碍项 7 三 步骤 选取合适的初始点x 0 以及r 0 c 计算精度 1 2 令k 0 2 构造惩罚 新目标 函数 增广函数 3 调用无约束优化方法 求新目标函数的最优解xk 和 xk r k 4 判断是否收敛 运用终止准则 若均满足 停止迭代 有约束优化问题的最优点为x xk 若有一个准则不满足 则令并转入第3步 继续计算 8 解用内点法求解该问题 首先构造内点惩罚函数 9 联立求解得 对于任意给定的惩罚因子 函数为凸函数 用解析法求函数的极小值 即令 得方程组 10 图5 2所示为当r 4 1 2 0 36时 惩罚函数的等值线图 从图中可以清楚地看出 当r逐渐减小 直至趋近于0时 无约束极值点的序列 将在可行域内逐步逼近原问题的约束最优解 当时不满足约束条件 应舍去 无约束极值点为 11 图内点惩罚函数的极小点向约束最优点逼近 12 四 几个参数的选择 13 3 初始点x 0 的选择 要求 在可行域内 不要离约束边界太近 方法 人工估算 需要校核可行性 计算机随机产生 也需校核可行性 14 五 方法评价 用于目标函数比较复杂 或在可行域外无定义的场合下 由于优化过程是在可行域内逐步改进设计方案 故在解决工程问题时 只要满足工程要求 即使未达最优解 接近的过程解也是可行的 初始点和序列极值点均需严格满足所有约束条件 不能解决等式约束问题 15 4 3外点惩罚函数法 衰减函数法 一 基本思想 外点法将新目标函数 x r 构筑在可行域D外 随着惩罚因子r k 的不断递增 生成一系列新目标函数 xk r k 在可行域外逐步迭代 产生的极值点xk r k 序列从可行域外部趋向原目标函数的约束最优点x 例 求下述约束优化问题的最优点 min f x xx R1s tg x 1 x 0 新目标函数 4 外点法可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题 16 对于约束优化问题 17 当迭代点位于可行域外时 惩罚项 0 使得惩罚函数大于原目标函数 这就构成对不满足约束条件时的一种惩罚 当迭代点离约束边界愈远 惩罚项的值愈大 惩罚愈重 但当迭代点不断接近约束边界和等式约束曲面时 惩罚项的值减小 且趋近于0 惩罚项的作用逐渐消失 迭代点也就趋近于约束边界上的最优点 对应于不等式约束函数的惩罚项 其中 18 对于任意给定的惩罚因子 函数为凸函数 用解析法求函数的极小值 即令 得方程组 解用外点法求解该问题 首先按式 5 5 构造外点惩罚函数 19 联立求解得 图5 3为当r 0 3 1 5 7 5时 惩罚函数的等值线图 从图中可以清楚地看出 当r逐渐增大 直至趋近于 时 无约束极值点的序列 将在可行域外逐步逼近原问题的约束最优解 20 图5 3外点惩罚函数的极小点向约束最优点逼近 21 通过本例的分析 可以更加形象地理解外点法是通过调整一系列递增的正值罚因子 相应地求罚函数的无约束极值来逼近约束问题最优解的一种方法 几点说明初始罚因子和递增系数c的选取应恰当 通常取c 5 10 取值过大 会使惩罚函数的等值线变形或偏心 导致求解无约束优化问题困难 取值过小 势必增加迭代次数 许多计算表明 取 1 c 10常常可以得到满意的结果 22 5 3随机方向搜索法 一 基本思想 随机产生初始点 随机产生搜索方向S k 进行搜索 但要确保 新迭代点在可行域中 目标函数值的下降性 二 随机数的产生 1 伪随机数 用数学模型 从计算机 的随机数发生器 中产生的随机数 随机数的特性有较好的概率统计特性 抽样的随机性 分布的均匀性 前后数之间的独立性 周期性长 23 给出随机数t0 2z 1 用递推公式 ti ti 1 modM 产生随机数列t0 t1 t2 其中 乘子 modM 整除M取余数 ti ti 1乘以 后除以M所得的余数 3 乘同余法 24 4 产生任意区间内的伪随机数列 三 随机产生初始点 估计设计变量的上 下限 xil xi xiu i 1 2 n 在区间 0 1 中产生伪随机数列 ri xi 0 xil ri xiu xil 判断是否gu xi 0 0 若满足 则x 0 xi 0 若不满足 则转向 25 四 随机产生搜索方向 x 0 x m x 1 x 2 x