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2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1已知，那么的大小关系是 （ C ）A. B. C. D.2方程的整数解的组数为 （ B ）A3. B4. C5. D6.3已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为 （ D ）A B C D4已知实数满足，则的最小值为 （B ）A. B0. C1. D.5若方程的两个不相等的实数根满足，则 实数的所有可能的值之和为 （ B ） A0. B. C. D.6由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足.这样的四位数共有 （ C ）A36个. B40个. C44个. D48个.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1已知互不相等的实数满足，则2使得是完全平方数的整数的个数为 1 3在ABC中，已知ABAC，A40，P为AB上一点，ACP20，则4已知实数满足，则第二试 （A）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.解 设直角三角形的三边长分别为（），则.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因为为整数，所以. 根据勾股定理可得，把代入，化简得，所以，因为均为整数且，所以只可能是解得所以，直角三角形的斜边长，三角形的外接圆的面积为. 二（本题满分25分）如图，PA为O的切线，PBC为O的割线，ADOP于点D.证明：.证明：连接OA，OB，OC. OAAP，ADOP，由射影定理可得，. 又由切割线定理可得，D、B、C、O四点共圆，PDBPCOOBCODC，PBDCOD，PBDCOD，. 三（本题满分25分）已知抛物线的顶点为P，与轴的正半轴交于A、B（）两点，与轴交于点C，PA是ABC的外接圆的切线.设M，若AM/BC，求抛物线的解析式.解 易求得点P，点C.设ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为.显然，是一元二次方程的两根，所以，又AB的中点E的坐标为，所以AE.因为PA为D的切线，所以PAAD，又AEPD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得. 又由DADC得，即，把代入后可
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