4等差数列的通项公式.doc

第4课时等差数列的通项公式【学习目标】1.加深对等差数列通项公式的认识，能解决一些简单的问题；2.利用通项公式求等差数列的各项、项数、公差、首项；3.培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力.【课前预习】1.判断下列数列是否为等差数列:(1) -1，-1，-1，-1，-1(2) 1，(3) 1，0，1，0，1，0(4) 2，4，6，8，10，12(5) 7，12，17，22，27解：(1)是；(2)不是；(3)不是；(4)是；(5)是. 2. 若数列a1, a2, an-1, an是等差数列,则数列an, an-1, a2, a1是等差数列吗?为什么?解：数列an, an-1, a2, a1是等差数列,它的首项为an,公差为数列a1, a2, an-1, an的公差的相反数.3. 已知下列数列是等差数列,试在括号内填上适当的数:(1) (),6,13,();(2) 1,(),();(3) 21,(),(),3.解：(1)-1,20；(2)2-1,3-2；(3)15,9.4. 已知a是与a+的等差中项,则a=_.提示：a=2.【创设情境】观察数列an:4,7,10,13,16,如何写出它的第100项a100呢?问题1说出该数列的通项公式.(结合前面所学知识,引导学生进行归纳)问题2这个数列是等差数列吗?为什么?如果是等差数列,它的公差是多少?(引导学生看到连续两项的差是定值,即a2-a1=3, a3-a2=3, a4-a3=3,)问题3对于这个数列,我们已经知道了它是等差数列,那么现在不用归纳的方法,你能求出它的通项公式吗?(让学生观察a2-a1=3, a3-a2=3, a4-a3=3,引导学生进行叠加,进而求出该数列的通项公式)问题4设数列an是一个首项为a1,公差为d的等差数列,你能求出它的通项公式吗?(从特殊到一般,让学生经历数学发现的完整过程)通过讨论,结合前面的具体问题,给出等差数列通项公式的推导过程以及通项公式.证明:因为数列an是等差数列,所以当n2时,有a2- a1=d,a3- a2=d,an- an-1=d.将上面n-1个等式的两边分别相加,得an- a1=(n-1)d,所以an= a1+(n-1)d.当n=1时,上面的等式也成立.理解概念 1. 强化推导方法中“叠加法”的使用,同时,指出这一推导思想也是以后求等差数列通项公式的重要思想. 2. 等差数列通项公式an中的n是取值于从1开始的正整数,而在等差数列通项公式的证明过程中,n是取大于或等于2的正整数,所以要独立验证n=1时的情形.巩固概念问题5利用推导的公式,写出“问题情境”中问题的通项公式.(首项a1=4,公差d=3,所以an= a1+(n-1)d=4+(n-1)3=3n+1)问题6求等差数列8,5,2,的第20项；-25,-30是不是这个数列的项?如果是,是第几项；如果不是,请说明理由.(首项a1=8,公差d=-3,则an= a1+(n-1)d=8+(n-1)(-3)=-3n+11,所以a20=-320+11=-49.令-3n+11=-25,解得n=12,所以-25是这个数列的第12项.令-3n+11=-30,解得n=,而nN*,所以-30不是这个数列中的项)【合作探究】1.在等差数列an中,已知a3=10, a9=28,求a12.处理建议：分析确定一个等差数列的两个基本量是a1,d,则条件可以用来建立二元方程.答案：a12=4+(12-1)3=37.题后反思： 利用等差数列的首项和公差(一般称为基本量),通过解方程或方程组进行计算是等差数列的基本运算方式; 知道了等差数列的首项和公差可以求数列的任意一项; 知道等差数列的任意两项,可以确定该数列的任意一项.变式1：从上面的求解过程可以看到: a3比a1多2个d, a9比a1多8个d,则a9比a3多6个d,即a9=a3+6d.能不能不需要求出a1,也能求出a12呢?处理建议：引导学生从项与项的关系进行思考.解：由a9=a3+6d,得d=3,所以a12=a3+9d=37(或a12=a9+3d=37).题后反思： 通过等差数列的任意两项的关系,可以获得更具一般性的等差数列的通项公式:由(m,nN*,mn)得an-am=(n-m)d,所以an=am+(n-m)d. 将an=am+(n-m)d变形为d=,这和我们学过的什么知识很相似?(让学生先思考,不要急于让学生回答)变式2：在等差数列an中,已知ap=q,aq=p(pq),求ap+q.解:法一:两式相减得(p-q)d=q-p,因为pq,所以d=-1.则ap=a1+(p-1)(-1)=q,所以a1=p+q-1,所以ap+q=a1+(p+q-1)d=(p+q-1)+(p+q-1)(-1)=0.2.已知等差数列an的通项公式为an=3n+1,请你作出它的图象.处理建议:此数列的通项公式an=3n+1是从“问题情境”得到,可先由学生讨论,尝试进行作图;然后教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生所作图象,纠正可能出现的错误.解:如图:题后反思:等差数列an的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)是关于n的一次式,但等差数列只是其对应一次函数的一系列孤立的函数值；一次函数的定义域是实数集R,图象是一条直线,等差数列的图象只是直线上均匀分布的一些点.变式：已知数列an的通项公式an=kn+b,其中k,b是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是什么?处理建议：先由学生回忆,讨论判定数列an是不是等差数列的方法,投影学生的处理过程,纠正可能出现的错误.解：当n2时, an-an-1=(kn+b)-k(n-1)+b=kn+b-(kn-k+b)=k,它为常数,所以数列an是等差数列.它的首项为a1=k+b,公差为k.题后反思： 若k=0,则数列an是公差为0的等差数列,即为常数列b,b,b,； 若k0,则数列an是关于n的一次式,一次项的系数k即为公差d.3.在等差数列an中,若a1+a9=32, a4=13,求a6, a5.处理建议：可先由学生讨论,利用基本量解方程组,进而进行求解,投影学生的处理过程,纠正可能出现的错误.本题的关键是引导学生观察所给项的下标,通过它们与a1,d的关系,找出项的和之间的关系式.解因为a1+ a9= a4+ a6=2 a1+8d= a1+ a9=32, a4=13,所以a6=19.而a5= a1+4d=(a4+ a6)=16.题后反思： 在处理等差数列的计算时,有时候可以用整体的思想来解题. 在等差数列an中,首项为a1,公差为d,若m、n、p、q、sN*,且m+n=p+q=2s,则有am+an=ap+aq=2as.证明:请学生给出.也可理解成: as是am与an (或ap与aq)的等差中项.变式:已知等差数列an中, a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8.解:由a3+a4+a5+a6+a7=450,得5 a5=450,所以a5=90.所以a2+ a8=2 a5=180.【随堂小练】1. -30是不是等差数列0,-,-11,的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.解:由题意得an=-n+.令-n+=-30,解得n=,而nN*,所以-30不是这个数列的项.2. 在等差数列an中,已知a5=10, a12=31,则首项a1=_,公差d=_.提示: a1=-2,d=3.3. 在等差数列an中,若a5=a, a10=b,则a15=_.提示: a15=2b-a.4. 某货运公司的一种计费标准是:1km以内收费5元,以后每千米加收2.5元.如果运输某批物资80km,那么需支付多少元运费?解:需支付运费5+(80-1)2.5=202.5(元).【学后