高三数学(理科)：导数及其应用(解析版).doc

2011高三数学(理科)：导数及其应用知识要点梳理知识点一： 导数的相关概念1、导数的物理意义：事物的瞬时变化率，如：表示运动物体在时刻的瞬时速度；气球半径 关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率等.2、导数的几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即 。也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0)处的切线的斜率是，切线方程为 。知识点二：导数的运算1、几种常见函数的导数公式： ； (aQ)； ； ； 2、导数的四则运算法则： ； ； 知识点三：导数的应用1、求切线方程的一般方法，可分两步：（1）求出函数在处的导数；（2）利用直线的点斜式得切线方程。注意：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.2、判定函数的单调性（1）函数的单调性与其导数的关系设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤(1) 确定函数f(x)的定义域；(2) 求导数；(3) 在定义域内解不等式；(4) 确定f(x)的单调区间。3、求函数的极值与最值（1）极值的概念一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，(1) 如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；(2) 如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的个极小值，记作y极小值=f(x0)。极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。注意： 在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。 函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能 有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或 最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整 个定义区间上的最小值。 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值 的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问 题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。 可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有 切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的 切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。（2）求极值的步骤 确定函数的定义域； 求导数； 求方程的根； 检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右 正，则f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法)4、求函数的最值函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间a,b上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。（1）最值与极值的区别与联系： 函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数 的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念； 极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个； 极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内 部，也可能在区间的端点。 有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。（2）在区间a，b上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤 求函数y=f(x)在(a，b)内的导数 求函数y=f(x)在(a，b)内的极值 将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值， 最小的一个为最小值。规律方法指导 函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的 具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调 性。 函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值 未必小于极大值。f(x0)=0仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件，点x0是f(x)的极值点，当 且仅当在x0的左右f(x)的符号产生变化。 函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间a,b上必有一个最大值和 一个最小值，但是最值点可以不唯一。 在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式y=f(x),并注明其定义域，当 在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数f(x)的最值点。 利用导数可以判定函数的单调性，从而也可以利用导数证明某些不等式。利用导数证明某些不等式 的基本步骤：依据题意构造函数、判定函数的单调性、利用单调性证明要证明的不等式。【典例精析】1.导数定义的应用2BCAyx1O34561234例1 (2008北京高考）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为， _ 解：由图可知，根据导数的定义知例(2006重庆高考)已知函数,其中，（）略，（）若且，试证：解：，易知故， 所以解得2. 利用导数研究函数的图像例3 （2009安徽高考）设b,函数的图像可能是 解：，由得，当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负故选C或当时，当时，选C点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也是考试的热点题型.例4（2009年湖南卷）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是yababaoxoxybaoxyoxybA B C D解: 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处函数的变化率是递增的，故图像应越来越陡峭由图易知选A.点评：这是一道非常精彩的好题，题目考察了导数的概念函数的变化率以及图像的变化规律，是以高等数学中函数图像的凹凸性为背景命制的，虽然试题的设计来源于高等数学，但考察的还是中学所学的初等数学知识这也是近年来高考命题的一大特色3.利用导数解决函数的单调性问题例5（2008全国高考）已知函数，（）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围解：（1）求导得当时，在上递增；当，求得两根为，即在递增，递减， 递增。（2）因为函数在区间内是减函数 ，所以当时恒成立，结合二次函数的图像可知解得点评：函数在某区间上单调转化为导函数或在区间上恒成立问题，是解决这类问题的通法本题也可以由函数在上递减，所以求解【变式1】（2004年全国高考）若函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，求实数的取值范围解：，令得或，结合图像知，故点评：本题也可转化为恒成立且恒成立来解【变式2】(2005年湖南高考)已知函数存在单调递减区间，求a的取值范围；解：因为函数存在单调递减区间，所以在上解，从而有正解当时，为开口向上的抛物线，总有正解；当时，为开口向下的抛物线，要使总有正解，则,解得 综上所述，a的取值范围为【变式3】（2009浙江高考）已知函数 若函数在区间上不单调，求的取值范围解：函数在区间不单调，等价于在区间上有实数解，且无重根又，由，得。从而或解得或所以的取值范围是点评：这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势，充分体现高考“能力立意”的思想，高考中应高度重视。（4）利用导数的几何意义研究曲线的切线问题例6 （2009江西高考）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 A或 B或 C或 D或解：设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选.点评：函数的切线问题，切点是关键，因为它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中往往需要设出切点【变式】（2008辽宁高考）设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）ABCD解：由曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，可得曲线在点处切线的斜率范围为，又，设点的横坐标为，则，解得，故选5. 利用导数求函数的极值与最值例7（2009天津卷理）已知函数其中（1） 当时，求曲线处的切线的斜率； （2） 当时，求函数的单调区间与极值。 （I）解：（II） 以下分两种情况讨论。（1），则.当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值 （2），则，当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值 点评: 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。例8（2008年天津高考）已知函数（），其中若函数仅在处有极值，求的取值范围解：，显然不是方程的根为使仅在处有极值，必须成立，即有解不等式，得这时，是唯一极值因此满足条件的的取值范围是6.利用导数解决实际问题例9用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为（m），则长为 (m)，高为.故长方体的体积为从而令，解得（舍去）或，因此.当时，；当时，故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值，从而最大体积，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m例10(2009年湖南高考)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元 （）试写出关于的函数关系式； （）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？解 （）设需要新建个桥墩，所以 （） 由（）知， 令，得，所以=64 当064时0. 在区间（64，640）内为增函数，所以在=64处取得最小值，此时，故需新建9个桥墩才能使最小w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【真题检测】1、已知函数且是的两个极值点，（）求的取值范围；（）若，对恒成立。求实数的取值范围解：（1），由题知：；（2）由（1）知：，对恒成立，所以：2、已知是实数，函数（）若，求的值及曲线在点处的切线方程；（）求在区间上的最大值解：（）由易得a=0，从而可得曲线在处的切线方程为 KS*5U.C#（）先求出可能的极值点x1=0，x2=，再讨论极值点与区间0,2端点的位置关系令，得当即时，在上单调递增， ；当即时，在上单调递减， ；当即时，在上单调递减，在上单调递增，函数f(x)（0 x 2)的最大值只可能在x=0或x=2处取到，因为f(0)=0，f(2)=84a，令f(2) f(0)，得a 2，所以综上，3、已知函数 （I）求f(x)在0，1上的极值； （II）若对任意成立，求实数a的取值范围； （III）若关于x的方程在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围解：（I），令（舍去）单调递增；当单调递减上的极大值 （II）由得， 设，依题意知上恒成立， 上单增，要使不等式成立，当且仅当 （III）由令，当上递增；当上递减而，恰有两个不同实根等价于4、已知函数，（）当时，求的极值；KS*5U.C#（）若存在单调递减区间，求的取值范围解：（）， 当时， 由或 x1单调递增极大值单调递减时，取得极大值为0，无极小值 （），存在单调递减区间，在内有解，即在内有解 若，则，在单调递增，不存在单调递减区间；若，则函数的图象是开口向上的抛物线，且恒过点，要使在内有解，则应有 或，由于，；KS*5U.C#若，则函数的图象是开口向下的抛物线，且恒过点， 在内一定有解；综上，或当a0的解, 则方程ax2+2x-1=0至少有一个不重复正根, 而方程ax2+2x-1=0总有两个不相等的根时, 则必定是两个不相等的正根 故只需=4+4a0, 即a-1当a0的解, 则方程ax2+2x-1=0至少有一个不重复正根, 而方程ax2+2x-1=0总有两个不相等的根时, 则必定是两个不相等的正根 故只需=4+4a0, 即a-1 即-1a0当a0的解, 则方程ax2+2x-1=0至少有一个不重复正根, 而方程ax2+2x-1=0总有两个不相等的根时, 则必定是两个不相等的正根 故只需=4+4a0, 即a-1 即-1