八年级第三章3.6三角形、梯形中位线(第2课时)(王东).doc

3.6 三角形、梯形中位线（1）审核人:赵友忠【目标导航】1. 掌握三角形中位线的概念、性质；2. 会利用三角形中位线的性质解决有关问题【要点梳理】1. 三角形中位线的概念：连接三角形_的线段叫做三角形的_2. 三角形中位线的性质：三角形的中位线_第三边，并且等于第三边的_【问题探究】知识点1. 三角形中位线的概念（重点；了解）例1怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼与一个平行四边形解:【变式】1：把一个等边三角形剪成四个全等的三角形2：把一个任意三角形剪成四个全等的三角形3：把一个任意三角形剪拼成一个平等四边形知识点2. 三角形中位线的性质（重点；掌握）例2探索：如图1，DE是ABC的中位线，DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？为什么？ABCDE图1 解:知识点3. 三角形中位线性质的应用（重点；运用）例3如图2，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，四边形EFGH是平行四CHFEDBAG图2边形吗？为什么？解:【变式】若四边形ABCD是矩形，则四边形EFGH是形若四边形ABCD是菱形，则四边形EFGH是形【课堂操练】1. 如果一个三角形的面积为8cm2，那么它的3条中位线所围成的三角形的面积为_cm22. 如果四边形ABCD的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形EFGH是_形如果AC24cm，BD32cm，那么四边形EFGH的周长等于_cm；3. 如图3，在ABC中，AHBC于点H，点E、D、F分别是三边的中点，则四边形EDHF是_形ACBADCB图4图5EFCA图3HDB4. 如图4，ABC中，AD是A的平分线，BDAD，AB=12，AC=18 （1）延长BD交AC于点E，你能求得图中哪些线段的长度？ （2）取BC的中点F，连接DF，你能求得DF的长度吗？5. 已知ABC周长为64cm，顺次连接各边中点得到一个三角形，再顺次连接所得三角形的各边中点，又得到更小的三角形则第五次得到的三角形的周长为_cm6. 如图6，已知ABC中，AD是中线，点E在AD上，AE=ED，连接CE并延长交AB于点F，请你先用刻度尺量一下线段AF与BF，它们之间有什么数量关系？你能说明理由吗？CBAEFD图67.（2010广东广州）在ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC5，则DE的长是（ ）A2.5B5C10D15【每课一测】（完成时间：45分钟，满分：100分）一、选择题（每题5分，共25分）1 顺次连结矩形四边的中点所得的四边形是（ ）A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.以上都不对2 如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结四边形中点所得的四边形是（ ）A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.以上都不对3 如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来的四边形的对角线（ ）A.互相平分 B.互相垂直 C.相等 D.相等且互相平分4 已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是（ ）. A3cm B26cm C24cm D65cmBCA图75（2010 浙江衢州）如图7，D，E分别是ABC的边AC和BC的中点，已知DE2，则AB（）A1 B2 C3 D4二、填空题（每题5分，共25分）6 已知以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为8cm，则原三角形的周长为 cm7 一个三角形的周长是12cm，则这个三角形各边中点围成的三角形的周长 .8 ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则线段CD是ABC的_，线段DE是ABC_9 如图8，D、E、F分别是ABC各边的中点，（1）如果EF4cm，那么BC _cm；如果AB10cm，那么DF_cm；（2）中线AD与中位线EF的关系是_10（2010福建宁德）如图9，在ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点若EF的长为2，则BC的长为_. ABCEFDAEFCB图9图8三、解答题（每题10分，共50分）FEDCBA11在中，点D、E、F分别在、上，且是的中点求证：解: 12已知ABC中，D是AB上一点，ADAC，AECD，垂足是E、F是BC的中点，试说明BD2EF解:EFDBAC13如图，四边形ABCD中，ABCD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM、CD分别交于点E、F试说明BENNFC.解: 14已知：ABC中，AB10 （1）如图，若点D，E分别是AC，BC边的中点，求DE的长； （2）如图，若点A1，A2把AC边三等分，过A1，A2作AB边的平行线，分别交BC边于点B1，B2，求A1B1+A2B2的值； （3）如图，若点A1，A2，A10把AC边十一等分，过各点作AB边的平行线，分别交BC边于点B1，B2，B10根据你所发现的规律，直接写出A1B1+A2B2+A10B10的结果解:15已知：如图所示，BD、CE分别是ABC的外角平分线，过点A作AFBD，AGCE，垂足分别为F、G连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证FG（AB+BC+AC）若（1）BD、CE分别是ABC的内角平分线（如图）；（2）BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线（如图），则在图、图两种情况下，线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明解: 【参考答案】【要点梳理】1. 两边中点,中位线2. 平行于,一半【问题探究】例1取三角形两边中点【变式】取三边中点，并分别连接（图1）；取三边中点，并分别连接（图2）；剪一个三角形，记为ABC；分别取AB、AC的中点D、E，连接DE；沿DE将ABC剪成两部分，并将ADE续点E旋转180，得四边形BCFD（图3）EDCBAF图3图2例2DEBC，DEBC例3平行四边形【变式】菱形 矩形【课堂操练】1. （1）22. 平行四边形，563. 等腰梯形4. （1）AE=12，EC=6；（2）DF=6 5. 26. AF=BF提示：过点D画AB的平行线交FC于点P，由三角形中位线定理可得7. A【每课一测】1【答案】B2【答案】A3【答案】B4【答案】B5【答案】D 6 167 6cm8 中线，中位线9 8、5、互相平分10411说明四边形DBFE是平行四边形，通过对边相等即可。12说明三角形ACD为等腰三角形，通过三线合一，证明E为CD中点即可。13连结对角线AC,取AC中点G，连结MG、NG，可得三角形MGN为等腰三角形，再利用平行线转移角，可得两角相等。14（1）5（2）10（3）5015（1）FG（AB-BC+AC） （2）FG（-AB+BC+AC）3.6 三角形、梯形中位线（2）审核人:赵友忠【目标导航】1. 探索并掌握梯形中位线的概念、性质。2. 会利用梯形中位线的性质解决有关问题。经历探索梯形中位线性质的过程，体会转化的思想方法。【要点梳理】1. 梯形中位线的概念：连接梯形两腰_的线段，叫做梯形的_.2. 梯形中位线的性质：梯形中位线_于梯形的两底，并且等于梯形_.EBDACF3. 将梯形问题转化为_问题.【问题探究】知识点1. 梯形中位线概念（重点，了解）例1怎样将一张梯形硬纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个三角形？知识点2. 梯形中位线的性质（重点，掌握）例2梯形ABCD的中位线MN与梯形的两底边AD、BC有怎样的位置关系和数量关系？为什么？【变式】当梯形ABCD的上底AD0，即两个端点A、D重合时，对于梯形中位线EF，你有什么发现？知识点3.梯形中位线的运用（重点，运用）例3如图，梯子各横木间互相平行，且A1A2A2A3AAA4A5，B1B2B2B3B2B4B4B5，已知横木A1B148cm，A2B244cm，A1A2A3A4A5B5B4B3B2B1求横木A3B3，A4B4，A5B5的长。解:【变式】若将题中A2B244cm改为A3B344cm，其余横木的长如何求解？若改成A5B544cm呢？A4B444cm呢？【课堂操练】1. 已知梯形中位线长是5cm，高是4cm，则梯形的面积是。2. 等腰梯形的腰长是6cm，中位线是5cm，则梯形的周长是。3. 梯形上底与中位线之比是2：5，则梯形下底与中位之比是。4. 如图，梯形ABCD中，AD/BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FOEO=3，则BCAD等于（ ）A4 B6 C8 D10BADCEFDO5. 如图，梯形ABCD中，ADBC，点E是AB中点，连结EC、ED、CEDE，CD、AD与BC三条线段之间有什么样的数量关系？请说明理由。6. 如图，梯形ABCD中，AD/BC，M、N分别为BD、AC的中点试判断线段MN与AD、BC之间存在什么关系？7. 如图，矩形ABCD中，ADBC，E是CD一点，EA、EB分别平分DAB和CBA，F是AB的中点。（1）猜想AEB的形状。（2）试说明EF是梯形的中位线。（3）试说明：ABAD+BC8. （2010湖北十堰）如图，已知梯形ABCD的中位线为EF，且AEF的面积为6cm2，则梯形ABCD的面积为（ ）ADBCEFA12 cm2 B18 cm2 C24 cm2 D30 cm2【每课一测】（完成时间：45分钟，满分：100分）一、选择题（每题5分，共25分）1已知ABC的周长为50cm，中位线DE=8cm，EF=10cm，则另一条中位线DF的长是 （ ）A5cm B7cm C9cm D10cm2 梯形ABCD中，M、N分别为对角线AB、BD中点，则MN的长为（ ）A1cm B2cm C3cm D4cm3 一个梯形中位线的长是高的2倍，面积是18cm2，则这梯形的高是 （ ）A3cm B6cm C6cm D3cm4 等腰梯形的两腰延长后相交，所构成的三角形的中位线恰好是该梯形上底，则该三角形中位线与原梯形的中位线的比是（ ）A1：2 B1：3 C2：1 D2：35 （2010四川达州）如图，在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由AMNC的小路（M、N分别是AB、CD中点）.极少数同学为了走“捷径”，沿线段AC行走，破坏了草坪，实际上他们仅少走了( )A. 7米 B. 6米 C. 5米 D. 4米二、填空题（每题5分，共25分）6 如图，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，则（1）四边形EFGH是 形；（2）若四边形EFGH的周长为30cm，则梯形ABCD的周长为 cm 7等腰梯形中位线长为4cm，腰长为6cm，它的周长是_ _8已知梯形上、下底之比为23，中位线长20cm，则梯形上底和下底分别是_9 如图，梯形ABCD中，BCAD对角线ACBD，且AC5cm，BD12cm,则该梯形的中位线的长是 cm10（2010江苏无锡）如图，梯形ABCD中，ADBC，EF是梯形的中位线，对角线AC交EF于G，若BC10cm，EF8cm，则GF的长等于 cm三、解答题（每题10分，共50分）11已知：如图，E、F、G、H分别是CD、BC、AB、DA的中点，试说明：四边形EFGH是平行四边形 12如图，在等腰梯形ABCD中，两条对角线AC与BD互相垂直，试说明：这个等腰梯形的中位线与高相等13如图，四边形ABCD中，AD=BC，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，猜想线段PM、PN有什么关系？14梯形ABCD中，上底AD=4cm，下底BC=10cm，中位线EF分别交对角线AC、BD于点G、H （1）度量线段EG与FH它们之间有什么关系？你能说明其中的道理吗？ （2）求线段GH的长BDGEHCFA15（2010四川乐山）在ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，直线l过点O.过A、B、C三点分别做直线l的垂线，垂足分别是G、E、F，设AG=h1，BE=h2，CF=h3.（1）如图（1），当直线lAD时（此时点G与点O重合）.求证：h2+h3= 2h1；（2）将直线l绕点O旋转，使得l与AD不垂直.如图（2），当点B、C在直线l的同侧时，猜想（1）中的结论是否成立，请说明你的理由；如图（3），当点B、C在直线l的异侧时，猜想h1、h2、h3满足什么关系.（只需写出关系，不要求说明理由）h2h1EFGOCABDh3lh3h1h2EFlCABDO(G)Oh2h1h3FEGlCABD图（3）图（2）图（1）【参考答案】【要点梳理】1.中点 中位线2.平行 两底之和的一半3.三角形【问题探究】例1 剪一个梯形，设为梯形ABCD。 取CD的中点N。 沿AN将梯形剪成两部分，并将AND结点N旋转180，得ABE（如图1）。 取AB中点M，连接MN。NCABDE图1例2梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半【变式】梯形中位线变成三角形的中位线，三角形是梯形的特殊情况例332 36 40【变式】改成A4B4=44cm时，可以设A2A3=x,通过列方程求解【课堂操练】1.202.223.8:54. B5. CDADBC6. ADMNBC，且MN=（BCAD） 7.（1）AEB为直角三角形；（2）先说明AFE是等腰三角形，得FAE=FEA，再由FAE=DAE，得DAE=FEA，从而ADFEBC，从