立体几何答案.doc

立体几何一、基础知识回顾：1. 给出下列四个推理：若点A平面，则直线AB平面；若A、B、C三点可以确定一个平面，则点B直线AC；若经过A、B、C三点的平面有无数个，则A、B、C三点共线；若直线AB平面，直线AB平面，则与是同一个平面.在以上推理中，正确的有 3 个.2. 下列命题：四边相等的四边形的菱形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 若四边形有一组对角都是直角，则该四边形是圆内接四边形；在空间，过已知直线外一点，引该直线的平行线，可能不只一条； 四条直线两两平行，无三线共面，它们可确定6个平面； 空间四边形的内角和一定是360；有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 其中正确的命题个数是 2 .3. 如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是 。4. ABC的边AB=5，BC=3，AC=4，设分别以此三边为轴，把ABC旋转一周，所得旋转体的体积为VAB，VBC，VAC，则它们的大小关系是 VBC.VACVAB 5. 已知一个棱长为6cm的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5cm的钢球，则球心到盒底的距离为 10 cm.6. 如图，为空间四点，在中，.等边三角形以为轴运动.当=_时，面.7. 关于直线 m、n 和平面 a、b 有以下四个命题： 当 ma ，nb ，ab 时，mn， 当 mn，m a ，nb 时，ab， 当 ab = m，mn 时，na 且 nb， 当 mn，ab = m时，na 或nb。其中假命题的序号是 .8. 已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线一定是 D A.圆或椭圆 B. 椭圆或双曲线 C. 双曲线或抛物线 D. 抛物线或椭圆二、例题精讲：例1. 如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB且AM=FN，求证：MN平面BCE. 证：在BC上取点P，使=,连结MP，则MP/AB,且=在BE上取点Q，使=,连结MQ，则NQ/FE,且= 连结PQ CA=BF,AM-FN CM=BN = = MP=NQ MP/AB,NQ/FE.AB/FE MP/NQ MNQP是平行四边形 MN/PQ又MN面BCE,PQ面BEC MN平面BCE.例2. 如图，四边形ABCD为矩形，BC上平面ABE，F为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证：AEBE；ABCDEFMN(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点 求证：MN平面DAE(1) BF平面ACE,AE面ACE BFAE BC面ABE,AE面ABE BCAE 又BFBC=B,BF面BCE,BC面BCE AE面BCE BE面BCE AEBE(2) 取QE中点P，连结PA,PN在EDC中EP=PD,EN=NCPNDCAM=AB,ABDCPNAMMNPA是平行四边形MN/PAMN面DAE PA面DAEMN平面DAEAEDBC例3如图，已知空间四边形中，是的中点求证：（1）平面CDE；（2）平面平面 （3）若G为的重心,试在线段AE上确定一点F,使得GF/平面CDE（1）在CAB中，BC=AC,AE=EB CEAB 在DAB中，AD=BD,AE=EB DEAB CEDE=E,CE面CDE,DE面CDE 平面CDE （2）由（1）知AB面CDE 又AB面ABC 平面平面（3）结论：F是AE的三等分点（距点E较近）即AF=AE理由：连结AG并延长交DC于H，连结FG，EHG是ADC的重心=AF=AE即=FG/EHFG面CDE,EH面CDEFG/面CDE,即GF/面CDE例4. 一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点. （1）求证：（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP/平面FMC, 并给出证明.（1）由三视图可知，ABCD为正方形FDA为等腰三角形且FDAECB连结BD,FBN为AC中点N必在BD上且为BD中点FDAD,FDDC.ADDC=D,AD面ABCDDC面ABCDAD面ABCDAC面ABCDFDAC又BDAC,FDBD=D,FD面FDBAC面FDBGN面FDBGNAC（2）结论：P即为点A 理由：取FC中点H，连结HG,HM,GA GH分别为FD,FC中点GHDC AM=AB,ABDCGHAM GHMA为平行四边形GA/HM GA面FMC,HM面FMC GA/面FMCP点即为A点例5. 如图所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点 在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积（1）求的表达式； （2）当为何值时，取得最大值？PEDFBCA（3）当取得最大值时，在线段AC上取一点M，使得，求证：平面.（1）（翻折不改变“”） EFAB即BEEFPEEF PEAE,EFAE=E EF面ACFE,AE面ACFEPE面ACFEPE为四棱锥P-ACFE的高V(X)=SPEBE=XPE=BE=X在BDC中CDDB,FEDBCD/DB,FEDBCD/FE=EF=DC=3=S=S-S =ABCD-BEEF =3-X=-V(X)=( -)X =X-XE在BD上0xV(X)= XX(0x)(2) V(X)= -X,0x 令V(X)=0得X=6(X= -6舍去)列表X(0,6)6(6, )V(X)+0V(X)极大值当X=6时，V(X)取得最大值（3）AC=CM=AC-AM=-=1-在BDC中，BE=6,DE=DB-BE=-6EF/DC=1-=MF/AB即MF/AMMF面APE,AE面APEMF/面APE三、课后巩固练习：1 D、E分别是三棱锥PABC的侧面PAB，PBC的重心，AC=a，则DE的长为 .2. 边长为a的正方形的直观图的面积为 .3. 如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC，CD的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个正三棱锥，则此三棱锥的体积是 4. 一圆柱形铁管的高是底面半径的5倍，其全面积为，同一段铁丝在铁管上缠绕4圈，使得铁丝的两个端点落在圆柱的同一条母线上，则铁丝的最短长度为 5. 已知直线平面，直线平面，则下列四个命题：；其中正确命题的序号是_.6设为两两不重合的平面， 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中正确命题的序号为 .7. 给出下列关于互不相同的直线和平面的四个命题：（1）则与m不共面；（2）、m是异面直线，；（3）若，则；（4）若 其中真命题是 （1）（2）（3） （填序号）8. 用平行于四面体ABCD一组对棱AC和BD的平面截此四面体得一四边形MNPQ.()求证：MNPQ是平行四边形. ()若ACBD，能截得菱形吗?如何截?()在什么情况下，可以截得一个矩形?()在什么情况下，能截得一个正方形吗?如何截?()若ACBDa，求证：平行四边形MNPQ的周长一定.()若ACa，BDb，AC和BD所成的角为， 求四边形MNPQ面积的最大值()AC/面MNPQ，AC面ADC，面MNPQ面ADC=PQAC/PQ 同理AC/MNPQ/MN同理MQ/NPMNPQ是平行四边形（线/面线/交线）()能，M、N、Q、P分别为AB、BC、DC、DA中点()ACBD()AC=BD且ACBD，M、N、P、Q为AB、BC、DC、DA中点 ()设=t，则=1-tPQ=tAC=ta，MQ=（1-t）BD=（1-t）aCMNPQ=2（PQ+MQ）=2a为定值 ()设=t，则=1-t SMNPQ=PQMQSin=ta（1-t）b Sin =t（1-t）abSin=-(t-)2+abSin 当t=时，（SMNPQ）min= abSinD1A1B1C1KNCBAMD9. 如图，分别是正方体的棱的中点（1）求证：/平面；（2）求证：平面平面（1）连结KN 1，则KN AA1 KNAA1是平行四边形 AN/ A1K AN面，A1K面 /平面（2）设A1CKM=0，连结BC1 A1K2= A1D1+D1K2，A1K2=A1A2+AM2 A1D1= A1D1，D1K=A A1K2 =A1M2，即A1K= A1M 是、是正方体 0为KM中点 A1OKM K C1= C1 D1，MB=AB，C1 D1AB K C1MB K C1BM为平行四边形 BC1/KM B1CBC1 BC1KM B1CA1O=C，B1C面A1B1C，A1O面A1B1C KM面A1B1C KM面A1MK 面A1B1C面A1MK10. 如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。 求证：（1）EF平面ABC； （2）平面平面. （1）在A1BC中 A1E =EB, A1F=FC EF/BC EF面ABC,BC面ABC EF平面ABC （2）直三棱柱 BB1面A1B1C1 A1D面A1B1C1、 BB1A1D即A1DBB1 又A1DB1C，B1CBB1 =B1 B1C面BB1C1C，B1B面BB1C1C A1D面BB1C1C A1D面A1FD 平面平面11. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点 （I）求证：CD平面A1ABB1； （II）求证：AC1/平面CDB1 （I）AC=BC，AD=DB （II）连结BC交B1C于H，连结DH CDAB BD=DA，BH=HC1 直三棱柱 DH/AC1 B1B面ABC AC1面CDB1 CD面ABC DB面CDB1 CDB1B AC1/面CDB1 又ABB1B=B ABA1ABB1 B1BA1ABB1 CD平面A1ABB112. 如图，在三棱锥中，是等边三角形，PAC=PBC=90 （1）证明：ABPC（2）若，且平面平面，求三棱锥体积。（1）PA=PB，PAC=PBC=90O，PC=PC RtPBCRtPAC CB=CA 取AB中点D，连结PD，CD 则PDAB，CDAB又PDCD=D，PD面PDC，CDC面PDCAB面PDCPC面PDCACPC（2）设AB=