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三、数列的极限观察数列当时的变化趋势. 问题: 当无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是, 如何确定?通过上面演示实验的观察:当无限增大时, 无限接近于1. 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 给定 由 只要时, 有给定只要时, 有给定只要时, 有给定只要时, 有成立. 定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在正整数, 使得对于时的一切, 不等式都成立, 那末就称常数是数列的极限, 或者称数列收敛于, 记为 或如果数列没有极限, 就说数列是发散的. 注意：定义 使时, 恒有其中记号每一个或任给的; 至少有一个或存在. 数列收敛的几何解释:当时, 所有的点都落在内, 只有有限个(至多只有个)落在其外. 注意：数列极限的定义未给出求极限的方法. 例1 证明证 注意到 .任给 若要 只要或 所以, 取 则当时, 就有.即 重要说明：（1）为了保证正整数N，常常对任给的给出限制； （2）逻辑“取 则当时, 就有”的详细推理见下，以后不再重复说明或解释，对函数极限同样处理逻辑推理. 由于，所以当时一定成立，即得成立. 严格写法应该是：任给 不妨取， 若要=e ,只要 所以, 取 则当时, 由于，所以当时一定成立，即得成立. 也就是成立=.即小结: 用定义证数列极限存在时, 关键是任意给定寻找N, 但不必要求最小的N. 例3证明, 其中. 证 任给
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